Loogikaelemendid matemaatika" just reaalarvude matemaatika. digitaalskeemides (Meenutame, et reaalarvud on kõikvõimalikud murdosaga arvud: nn. "komaga arvud"). — Kombinatoorika Kombinatsioonid. Variatsioonid. Permutatsioonid. Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate Diskreetne tõenäosus funktsioonidega. Õpikus on käsitletud nendest kõiki peale tõestusmeetodite ja kombinatoorika.
lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Irratsionaalarvudega ja lõpmatute perioodiliste arvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikebi ümardatult on 3,14; 31,73. Kui arvud on esitatud kujul
Arvu absoluutväärtus. Reaalarvude järjestus ja tehted reaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Arvu absoluutväärtuse mõiste Reaalarvu x absoluutväärtuseks (ehk mooduliks, tähistatakse |x| ) nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x, kui x 0, |x| = -x, kui x < 0. Geomeetriliselt tõlgendades tähendab arvu absoluutväärtus seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugust nullpunktist. 3 3
Aja homogeensus: vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. Aja ja ruumi homogeensus tagab teadmiste kogumise. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju Kandja 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud ..) Skalaar füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus..), Tehted skalaaridega on nii nagu tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada kahe vektoriga, mille summa annab esialgse vektori. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik? On sageli vajaminev tegevus, et valmistada hetkel vajaliku suunaga vektorit. 13. Mis on vektorite skalaarkorrutis? Tooge kursusest kaks näidet. 14
Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a on suurem kui b või a võrdub b või a on väiksem kui b. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb a +1 selliselt, et
Sissejuhatus,lausearvutus,loogikaseadused Milliste matemaatikavaldkondadega Diskreetne Matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele pideva matemaatika valdkondadega, ehk nendega, kus tegeletakse pidevate funktsioonidega. Näiteks matemaatiline analüüs, integraal- ja differentsiaalaarvutused. Milliste arvudega diskreetne matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega. Mis on verbaalne esitus? Mistahes info esitamine lingvistilise keele abil, nii suulisel kui kirjalikul kujul. Näiteks ajaloo ja filosoofia puhul on tegemsit aladega, kus kogu info on verbaalsel kujul. Mis on formaalne esitus? Mistahes info esitamine, reeglina kirjalik info,ilma lingvistilise keele abita, ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Näiteks matemaatika, füüsika, keemia, kus infot esitakse nii formaalselt kui verbaalselt. Milline omadus peab olema formaalsetel esitlustel?
kommutatiivne. Järeldus2 AB + ( BC + CD ) = ( AB + BC ) + CD vektorite assotsiatiivsus. Järeldus3 BB = 0 AB = AB + BB on olemas null vektor. Järeldus4 BA = ( -a ) AA = AB + BA 0 = a + ( -a ) eksisteerib vastandvektor. Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega. Aksioom*1 Igale reaalarvule ja vektorile a seatakse vastavusse parajasti üks vektor b, nii et b = a. Aksioom*2 ( a ) = ( ) a Aksioom*3 ( a + b ) = a + b Aksioom*4 ( + ) a = a + a Aksioom*5 1 a = a Viimastest aksioomidest saab teha järeldused: Järeldus*1 0 a = 0 Järeldus*2 ( - a ) = ( -1) a
Lausearvutus: Diskreetne matemaatika ei tegele pidevate funktsioonidega. Diskreetne mate ei tegele reaalarvudega. Verbaalne esitus on lingvistilise keele kasutamine info edastamiseks. Formaalne esitus on ilma lingivtilise keele kasutamise info edastamine, peamiselt sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt mõistetav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene.
(Ei küsi - Arvo Mere) 10^40 Tugev gluuon (meson?), 10^38 Elektromagnetiline footon, 10^15 Nõrk - uikon, 10^0 Gravitatsiooniline graviton. 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor-füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud...) Skalaar-füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus...) Tehted skalaaridega on nii nagu ikka tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. Nihutada iga järgneva vektori alguspunkt eelneva lõpppunkti(kehtib ka paljude vektorite puhul ja on lihtsam) [(kõik on vektorid) x=1+2+3+...+n] x 1 3 2 4 2 1 x Rööpküliku meetod: Nihutab vektorid ühte alguspunkti(paljude vektorite korral liialt keeruline kui mitte võimatu) 1 x 2 10
LAUSEARVUTUS Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. Verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. Formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjun...
7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju kandja 10^40 Tugev - gluuonid, 10^38 Elektromagnetiline - footon, 10^15 Nõrk - vahebosonid, 10^0 Gravitatsiooniline - graviton 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor-füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt(nihe, kiirus, kiirendus, jõud...) Skalaar-füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus...) Tehted skalaaridega on nii nagu ikka tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. Nihutada iga järgneva vektori alguspunkt eelneva lõpppunkti(kehtib ka paljude vektorite puhul ja on lihtsam) [(kõik on vektorid) x=1+2+3+...+n] Rööpküliku meetod: Nihutab vektorid ühte alguspunkti(paljude vektorite korral liialt keeruline kui mitte võimatu) 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik?
Reaalarvude hulk R · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1.4 Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused · Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet: P(A)= m/n 1.5 Reaalarvu absoluutväärtus |a|={a, kui a0 või {-a, kui a<0
rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud jne). Skalaar on füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus Integreerime lõigul 0 ja (temperatuur, mass, tihedus jne). Skalaaridega teostatakse tehteid nagu reaalarvudega. Nurkkiirendus
90o 180o Osake, mille spinn lõpmatustest. Supersümmeetriat võib esitleda mitmeti. Üks viis on 2 on väita, et aegruumil on rohkem mõõtmeid, kui meie suudame tajuda. Neid mõõtmeid kutsutakse Grassmanni mõõtmeteks, sest neid ei väljendata tavaliste reaalarvudega, vaid Grassmanni Osake, mille arvudega. Tavaarvud justkui kommuteeruvad, s.t pole vahet, mis spinn on 1/2 järjekorras neid korrutada: 6 korda 5 on sama palju kui 5 korda 6. seevastu Grassmanni arvud antikommuteeruvad: x korda y on 360o 360o
3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega, tehted vektoritega, tehted maatriksitega, kaubahalli kassiiri tegevus kauba hinna määramisel jne. 4. Milline operaator on determineeritud? Tooge näide! () x- fx 1 2 Determineeritud operaatoriks nimetatakse operaatorit, mis seab muutuja x väärtusele vastavusse ühe või mitu muutuja f(x) kindlat väärtust. 5. Mis on argument? f(x) Muutujat x nimetatakse x f() 2
LAUSEARVUTUS Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. Verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. Formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunk...
90o 180o Osake, mille Supersümmeetriat võib esitleda mitmeti. Üks viis on väita, et spinn on 2 aegruumil on rohkem mõõtmeid, kui meie suudame tajuda. Neid mõõtmeid kutsutakse Grassmanni mõõtmeteks, sest neid ei väljendata tavaliste reaalarvudega, vaid Grassmanni arvudega. Tavaarvud justkui Osake, mille kommuteeruvad, s.t pole vahet, mis järjekorras neid korrutada: 6 korda spinn on 1/2 5 on sama palju kui 5 korda 6. seevastu Grassmanni arvud antikommuteeruvad: x korda y on sama mis y korda x. 360o 360o Joon. 2. 6
abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB! MÕTLEMINE on alati verbaalne ehk toimub mingi lingvistilise keele Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. abil. Mistahes formaalne esitus on algupäraselt verbaalse info "salvestamiseks". Diskreetse Matemaatika alla kuuluvad:
Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac * Rooma numbrid I =1; X=10; C=100; M=1000; V=5; L=50; D=500 Rooma numbrid moodustavad mittepositsioonilise arvusüsteemi. Kasutatakse seitset numbrit. Enam kui kolm korda üht märki ei kirjutata. Kui väiksema väärtusega number asub suurema järel, siis numbrite väärtused liidetakse, nt VIII=8
sajandil ning selle jaoks võib kasutada piirväärtuseid [lk 319]. Praeguseks on aga tore irratsionaalarvude sissetoomisest mõeldagi geomeetrili- selt: irratsionaalarvud täidavad ratsionaalarvudest arvteljele jäänud auke, nende liitmine tähendab – nagu ratsionaalarvude liitminegi – lihtsalt arvtelje nihutamist. 88 Kompleksarvud* Reaalarvudega saab kõik igapäevatoimetused korda aetud... kui just ei taha igal arvuhulgad õhtul leida ruutvõrrandile lahendit. Tõepoolest, ükski reaalarvu ruut ei ole ju negatiivne. Näiteks ning ka ehk meie ruutvõrrandi lahendiks ei kõlba 1 ega ka . Lihtsam on seda vahest näha isegi ruutfunktsiooni graafikult:
. . . . . . 216 28. ¨ Ulevaade teist j¨arku pindadest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3 I. MAATRIKSID JA DETERMINANDID ~ 1. MAATRIKSI MOISTE. TEHTED JA NENDE OMADUSED ¨ 1.1. Uldm~ oisted Olgu R reaalarvude hulk. K~oike, mida saab teha reaalarvudega, eel- dame lugejale teadaolevaks. Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja veerud ning on paigutatud u ¨marsulgudesse, nimetatakse maatriksiks. Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nime- tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m~ o~ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v~ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks
. . . . 216 28. ¨ Ulevaade teist j¨arku pindadest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3 I. MAATRIKSID JA DETERMINANDID ˜ 1. MAATRIKSI MOISTE. TEHTED JA NENDE OMADUSED ¨ 1.1. Uldm˜ oisted Olgu R reaalarvude hulk. K˜oike, mida saab teha reaalarvudega, eel- dame lugejale teadaolevaks. Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja veerud ning on paigutatud u ¨marsulgudesse, nimetatakse maatriksiks. Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nime- tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m˜ o˜ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu)
täiesti tõene, osaliselt laene, peaaegu väär vms. Hägusloogika semantika kirjeldamiseks laiendame klassikalise interpretatsiooni mõistet .Klassikalist interpretatsiooni saab sellisel juhul vaadelda kui hägusa interpretatsiooni erijuhtu, kus kasutatakse ainult tõesusastmeid 0 ja 1. Samas peab hägusloogika semantika olema vastavuses loogikareeglitega ja meie intuitsiooniga ning lahendama soriitide paradoksid. Me asendasime tõeväärtused tõene ja väär vastavalt reaalarvudega 1 ja 0. Sellisel juhul on mõistlik vaadelda tõesusastme x eitust kui tõesusastet 1 x. Tõesusastmete x ja y konjunktsiooni väärtuseks võib võtta neist arvudest väiksema. Nende disjunktsiooni väärtuseks sobib aga suurem arvudest x ja y. Nii annavad klassikalised loogikatehted ja hägustehted tõesusastmetel 1 ja 0 sama tulemuse. Miinimum- ja maksimumfunktsioonide kasutamine on antud juhul loomulik, sest nendel funktsioonidel on konjunktsiooniga ja
VEAD ANDMETE KASUTAMISEL * Muutuja on jäänud initsialiseerimata. Siinkohal tuleb alati kaaluda: kas muutuja vajab algväärtustamist ja kui vajab, siis kus (programmi alguses, tsükli alguses)? * Massiivi indeks ületab lubatud piiri. VEAD ARVUTAMISEL * Muutuja ületäitumine. * Avaldise vahetulemuse ületäitumine. * Jagamine nulliga. * Funktsiooni kasutamine väljaspool määramispiirkonda (ruutjuur negatiivsest arvust). * Täpsuse kadu täisarvulisel jagamisel. * Täpsuse kadu tehetel reaalarvudega. VEAD VÕRDLEMISEL * Vale võrdlusmärgi kasutamine (range võrratuse asemel mitterange võrratus). * Võrreldavate konstantide +-1 võrra vale väärtus. VEAD JUHTKONSTRUKTSIOONIDES * Tsükli lõpetamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tsükli alustamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tingimuslause (if tingimus then ...) on jäänud ilma alternatiivita (else ...). * Valikulause (case ...) ei käsitle kõiki võimalikke väärtusi või ei
VEAD ANDMETE KASUTAMISEL * Muutuja on jäänud initsialiseerimata. Siinkohal tuleb alati kaaluda: kas muutuja vajab algväärtustamist ja kui vajab, siis kus (programmi alguses, tsükli alguses)? * Massiivi indeks ületab lubatud piiri. VEAD ARVUTAMISEL * Muutuja ületäitumine. * Avaldise vahetulemuse ületäitumine. * Jagamine nulliga. * Funktsiooni kasutamine väljaspool määramispiirkonda (ruutjuur negatiivsest arvust). * Täpsuse kadu täisarvulisel jagamisel. * Täpsuse kadu tehetel reaalarvudega. VEAD VÕRDLEMISEL * Vale võrdlusmärgi kasutamine (range võrratuse asemel mitterange võrratus). * Võrreldavate konstantide +-1 võrra vale väärtus. VEAD JUHTKONSTRUKTSIOONIDES * Tsükli lõpetamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tsükli alustamiseks vajalik tingimus ei osutu kunagi täidetuks. * Tingimuslause (if tingimus then ...) on jäänud ilma alternatiivita (else ...). * Valikulause (case ...) ei käsitle kõiki võimalikke väärtusi või ei
[a, b) := {x ∈ R | a 6 x < b} ning lõigu (closed interval, сегмент) [a, b] := {x ∈ R | a 6 x 6 b}. Arvsirgest kui reaalarvude hulga mudelist lähtudes defineerime kaks uut objekti ∞ ja −∞ järgmiste tingimustega: i) −∞ < ∞ ja ii) −∞ < x < ∞ iga x ∈ R korral. Rõhutame, et −∞ ja ∞ ei kuulu reaalarvude hulka, seetõttu ei saa neid liita ega korru- tada, ei omavahel ega reaalarvudega. See-eest hõlbustavad nad paljudel juhtudel tingimuste üleskirjutamist, näiteks tähistame (−∞, b) := {x ∈ R | x < b} , (a, ∞) := {x ∈ R | a < x} , analoogiliselt (−∞, b] := {x ∈ R | x 6 b} , [a, ∞) := {x ∈ R | a 6 x} . Neid nelja hulka nimetame tõkestamata intervallideks, neile lisandub (−∞, ∞) := R. Definitsioon. Olgu ε > 0. Reaalarvu (ehk punkti) a ∈ R puhul nimetatakse tema
annaabi.ee 
