Praktikum 5 redoksreaktsioonid (5)

1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa  tuletis  on 
tuletiste  summa. 
Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja c∈R on konstant, siis selles punktis on  diferentseeruv  ka 
funktsioon cf(x) 
Tõestus:Korrutise   tuletisest   y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)   lähtuvalt,   kui   c∈R  on  konstant,  siis  y=c*f(x)    tuletis   on  y’=f(x)*c’+f 
’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x)
Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja c∈R on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka 
funktsioon y=f(x)+g(x)  
Tõestus:    y=f(x)+g(x)    esmalt ,   toimides   sammhaaval,   tehes  eraldi   tehetena
  komponendid,   saame   
kolmandana
 
saame
 
aga,
 
et
 
 
2).*Korrutise tuletise valemi tuletus:  f(x) f’(x);
f’(x): 
  ning   g’(x)= 
 siis
* Jagatise  tuletise valemi tuletus:
 = 
= 
 
3. Liitfunktsiooni tuletise valemi  tuletamine . Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine.  Logaritmilise  tuletise valemi 
tuletamine.
  LAUSE:  Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud  tuletised  vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil  
g(f(x))
 
on
 
lõplik
 
tuletis
 
kohal
 
x,
 
kusjuures
 
 
  LAUSE:  Kui   lõigul  
  pideval   ja    rangelt    monotoonsel   funktsioonil   y=f(x)   on   kohal   x  nullist   erinev  tuletis,   siis 
pöördfunktsioonil
 
x=f
 -1(y)
 
leidub
 
tuletis
 
kohal
 
f(x),
 
kusjuures 
Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): 
Logaritmiline Lause: Kui f(x)∈D(X) ja f(x)>0 (x∈X), siis
Tõestus:  Lause eeldustel saame 
millest järeldub lause väide  .
4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis
Kui   funktsioon  
  on   esitatud   parameetrilisel   kujul  
,   kusjuures   funktsioonid  
  on   diferentseeruvad   vahemikus   (α,   β)   ja  
  on   lõigul   [α,   β]   rangelt    monotoonne    ning  
,   siis  
,   täpiga   tähistatakse   tuletist   parameetri 
järgi. Tõestus: 
5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus.
Definitsioon
Kui funktsioonil   eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni   teist järku tuletiseks kohal a.
= 
Definitsioon
Kui funktsioonil 
eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 
n-järku tuletiseks kohal a.
Leibnizi valem
Funktsioonide korrutise 
n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga:
Kus  binoomkordajad  
Tõestus
Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise:
Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1.
Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul 
 ja näitame, et sel juhul kehtib ta ka n korral. 
Seega
 
kehtib:
 
Saame:
Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindeksi nihke) j:=k+1(k=j-1)
Saame: 
Kuna 
 
6. Funktsiooni  diferentsiaal  ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid.
Definitsioon
Avaldist   
  nimetatakse   funktsiooni  
  diferentsiaaliks   ehk´esimest   järku   diferentsiaaliks   kohal   x   ja 
tähistatakse 
 või 
Võttes 
, saame
 – argumendi diferentsiaal
Diferentsiaali omadusi
•
Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga.
• Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut  ekvivalentne  funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi 
•
•
•
•
Kõrgemat järku  diferentsiaalid :
Definitsioon
Funktsiooni 
 n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni 
-järku diferentsiaalist 
Saab näidata, et 
7. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon 
kasvab (kahaneb).
Definitsioon
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1   
ϵ (x - δ; x) ja
x2   
ϵ (x; x + δ) korral f (x1)  f (x) > f (x2).
Lause
Kui   funktsioon   y   =   f   (x)   on   rangelt   kahanev   punktis   x,   siis   leidub   selline  δ   >   0,   et 
Lause
Kui f′(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a.
Kui f′(a) = c  0, et
Seega, kui Δa   
ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a.
8. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus.
Rolle’i  teoreem
Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt 
c, kus f ′ (c) = 0.
Tõestus.
Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole 
konstantne  funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′
(x) = 0 iga x   
ϵ (a; b).
Lagrange ’i keskväärtusteoreem
Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c   
ϵ (a; b), et f (b) - f (a) = f ′(c)(b -  
a).
Cauchy keskväärtusteoreem
Kui funktsioonid f ja g  on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub  
vahemikus (a; b) punkt c, et
9. Lagrange'i keskväärtusteoreem:
Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c   (a,b), et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)
Tõestus: Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni L(x)
+ f(a). Funktsioon 
g=f-L  rahuldab  Rolle´i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c
 (a,b), kus 0=g´(c) = f´(c)-L´(c)=f´(c)- 
10. Cauchy keskväärtusteoreem:
Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b),kusjuures g´(x) 0,siis leidub vahemikus 
(a,b) punkt c, et 
s
Tõestus: Kasutame Lagrange´i keskväärtusteoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x):=(f(b)-f(a))g(x)- (g(b)-g(a))f(x).  
Lagrange´i keskväärtusteoreemi põhjal leidub selline punkt c   (a,b), kus 0=(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))- (g(b)-g(a))(f(b)-f(a)=h(b)-
h(a)=h´(c)(b-a)=[(g(b)-g(a))f´(c)-(f(b)-f(a))g´(c)](b-a).   Lähtudes   tõestuse   käigus   saadud   avaldisest   võime   anda   Cauchy 
keskväärtusteoreemi kujul:
Lause(Cauchy   keskväärtusteoreemi   alternatiivne   sõnastus):   Kui   funktsioonid   f   ja   g   on   pidevad   lõigul   [a,b]   ja 
diferentseeruvad   vahemikus   (a,b),   siis   leidub   punkt   c,   et   (f(b)-f(a))g´(c)   =   ((g(b)-g(a))f´(c).   Võttes   Cauchy 
keskväärtusteoreemis   g(x)=x,   saame   (f(b)-f(a))1=   (b-a)f´(c)   ehk   Lagrange´i   keskväärtusteoreemi.   Võttes   Lagrange´i 
keskväärtusteoreemis funktsiooni f, mis rahuldab tingimust f(a)=f(b), saame 0= f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)
f´(c)=0 ehk Rolle´i 
teoreemi. Seetõttu kasutatakse Cauchy keskväärtusteoreemi kohta ka nimetust üldistatud keskväärtusteoreem.
11. Tõestada L’ Hospitali reegel määramatuse   korral .
NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema.
     
 =   =   
1
 =         
 =        
 = 1
 =       
 =  
 =   
1
 =     
 =    = 1
12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem,  Maclaurini  valem.
Olgu y= f (x) mingis punkti   a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab 
tingimusi:
 
 
 
Polünoomi
 
otsime
 
kujul:
 
Leiame
 
vajalikud
 
tuletised:
 
+...+n
 
 
...................
 
 
 
 
 
............
 
Asendades
 
 
valemisse
 
(1)
 
saame
 
otsitava
 
polünoomi:
 
Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x)
Taylori valem : 
Taylori valemi  erijuhtu  a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks 
f(x) = 
13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul)
Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a δ-ümbruses (a-δ,a+δ), siis iga 
korral 
on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige 
 on esitatav Lagrange kujul.
Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi: 
n
(k)
f (a)
f (x) =
(x − a)k + (R f )(x).
∑k k
n
= 0
Kui meil eksisteerib ka    (n + )
1   -järku tuletis   
1
f n+ (b)   ,    b
∈ a, x]   , siis saame jääklikmele nn . 
Lagrange kuju:
Tõestus: Olgu järgnevalt argumendi x väärtus fikseeritud. Otsime Taylori valemi jääkliiget  
(x) kujul:
 
Et
 
F(a)=f(x)
 
ja
 
F(x)=f(x),
 
siis
 
punkti
 
a
 
mingis
 
funktsiooni jaoks  rakendatav  Rolle teoreem, st vahemikus (a,x), kui x>a, või vahemikus (x,a), kui x