E Diferentsiaalvõrrand Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles on otsitavaks ühe või mitme muutuja funktsioon ning võrrand seob otsitavat funktsiooni ja tema tuletisi sõltumatute muutujatega Difirentsiaalvõrrandite Vastavalt sõltumatute muutujate arvule liigitatakse diferentsiaalvõrrandeid liigitus harilikeks ja osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate otsitava järk funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, üldlahend mis sisaldab suvalist konstanti C Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit,
mittehomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Erilahendi leidmine. 42. Lineaarsed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Homogeense ja mittehomogeense võrrandi kuju, üldlahend mõlemal juhul. 43. Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid, üldlahend, erilahend. Cauchy ülesanne. 44. Kõrgemat järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid 45. . Harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemid. Lahendusmeetodid, näited. 46. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandi mõiste, üldkuju. Üldlahend ja erilahend
nagu Faraday vihjas, et harilik nähtav valgus on tõepoolest elektromagnetilise kiirguse vorm. Ta väitis ka, et infrapuna- ja ultraviolettvalgus on üks ja sama asi ja ennustas lainetüüpide olemasolu, mida tol ajal ei tuntud, aga mida saab samamoodi seletada. Heinrich Rudolph Hertzi 1888. aastal avastatud raadiolained kinnitasid seda teooriat. Tema kõige tuntumad avastused on arvatavasti 'Maxwelli võrrandid'. Maxwelli võrrandeiks nimetatakse lineaarsete osatuletistega diferentsiaalvõrranditest koosnevat süsteemi, mis on klassikalise elektromagnetvälja teooria aluseks. Elektromagnetvälja vaakumis kirjeldavad nii-öelda mikroskoopilised võrrandid kus , on laengu ruumtihedus on voolutihedus. Lineaarsetes keskkondades kirjutatakse elektromagnetvälja makroskoopilise võrrandiga: kus f on vabade laengute
mittejuhtivast ainest saab teoks muutuva elektrivälja vahendusel. Laaditava plaadi tugevnev elektriväli paneb laengukandjad teisel plaadil liikuma. Sellist nähtust nimetatakse nihkevooluks. On ka teada, et laengukandjate liikumisega kaasneb magnetväli. Elektri ja magnetväli on ühtsed nähtused, ning neid tuleb vaadelda sõltuvalt teineteisest. Maxwelli võrrandid on klassikalise elektromagnetvälja teooria aluseks. Maxwelli võrrandeiks nimetatakse lineaarsetest osatuletistega diferentsiaalvõrranditest koosne- vat süsteemi. Elektromagnetvälja vaakumis kirjeldavad nn. mikroskoopilised võrrandid (SI-süsteemis): kus: · on laengu ruumtihedus, · on voolutihedus. Lineaarsetes keskkondades on elektromagnetvälja mugav kirjeldada nn. makros- koopiliste võrranditega: · f on vabade laengute ruumtihedus, · on vabade laengute voolutihedus, · on elektriline induktsioon, · on magnetvälja tugevus.
tarvilik ting z=f(x1...x2), dz=f1dx1...+ fndxn dz=0 piisav tingimus: d2z>0 D1>0, D2>0, D3>0..min d2z>0 D1<0, D2>0, D3<0... max. 9)Täisdif- kirjeldab fn-i kõigi argumentide nullist erinevatele muutustele vastava fn-i väärtuse muutust. Näitab fn-i väärtuste kogumuutust kõigi argumentide lõpmata väikeste muutuste korral. Täisdifer.on summa, mille liidetevateks on argumentide diferentsiaalide korrutise vastavate osatuletistega. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) täisdifferentsiaaliks nimetame U U U avaldist dU = dx1 + dx 2 + ... + dx n Täistuletis näitab kuidas muutub fn-i x1 x 2 x n väärtus argumendi x ühikuliselt kasvades, arvestades nii otsest kui ka kaudset mõju. dy y dx y
füüsikaks. Esimene taotleb oma eesmärke katsete, teine matemaatiliste arvutuste kaudu. Mõlemad arenevad käsikäes ja kontrollivad vastastikku teineteise tulemuste pädevust. Teooria ennustab ka uusi nähtusi. Füüsikateooria stimuleerib matemaatika arengut, püstitades uusi ülesandeid, millele otsitakse uudseid lahendusviise. Niisiis on füüsika täppisteadusena lähisuhteis matemaatikaga. Eraldi distsipliinina käsitatakse matemaatilist füüsikat, mille peamiseks aparaadiks on osatuletistega kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid. Olulist rakendust leiab füüsikas rühmateooria ning maatriksarvutus. Suuresti on kannustanud füüsika arengut elektronarvutite tulek, võimaldades: kompuuterkatseid, protsesside modelleerimist ning simuleerimist (pahamaiguline sõna, kuid paremat esialgu pole). (4) 4 2.FÜÜSIKA OLULISUS Füüsika on tehnika, inseneeria alus (rakendusfüüsika). Teiselt poolt annab tehnika füüsikale
Matemaatiline modelleerimine inseneridele (4 EAP) TE.0933 [email protected] Õppeaines käsitletavad teemad on: 1. Mudelite liigid ja modelleerimise käsitlused. 2. Tutvumine programmipakettiga SCILAB. 3. Maatriksid ja lineaarvõrrandisüsteemid (rakendused). Võrrandid ja võrrandisüsteemid ning nende lahendamine. 4. Funktsioonide lähendamine. 5. Polünoomidega interpoleerimine. 6. Harilikud diferentsiaalvõrrandid, osatuletistega diferentsiaalvõrrandid, nende ligikaudse lahendamise meetodid. 7. Numbrilised meetodid. Simulatsioonid ja numbrilised eksperimendid. 8. Optimaalse juhtimise teooria elemendid. 9. Dünaamiliste protsesside modelleerimine. MUDEL on (tunnetatava) objekti analoog, mis tunnetusprotsessis seda objekti asendab. [J. Lotman. Kultuurisemiootika http://www.ut.ee/lotman/ee/teosed/kultuurisemiootika/kunstmod.htm]
saab analoogiliselt näidata dy= x dxdy. 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni, selle tuletisi ja argumenti. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav on ühe muutuja funktsioon. y''+y=2ex Üldjuhul võib hariliku diferentsiaalvõrradit esitada kujul F(x.y,y',y'',y(n))=0 I järku HDV üldkuju F(x,y,y')=0 I järku HDV normaalkuju on y'=f(x,y) I järku HDV sümmeetriline kuju on M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Osatuletistega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja funktsioon. Zxx+Zyy=0 Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitava funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku selles võrrandis. Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame samasuse sõltumatute muutujate suhtes Definitsioon Olgu F (x; y ; z) määratud piirkonnas R3. Vahemikus (a; b) määratud funktsiooni y = y (x) nimetatakse võrrandi F (x;y;y')=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt
6. Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend.Erilahend. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni, selle tuletisi ja argumenti. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav on ühe muutuja funktsioon. y’’+y=2ex Üldjuhul võib hariliku diferentsiaalvõrradit esitada kujul F(x.y,y’,y’’,y(n))=0 I järku HDV üldkuju F(x,y,y’)=0 I järku HDV normaalkuju on y’=f(x,y) I järku HDV sümmeetriline kuju on M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Osatuletistega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja funktsioon. Zxx+Zyy=0 Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitava funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku selles võrrandis. Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame samasuse sõltumatute muutujate suhtes Definitsioon Olgu F (x; y ; z) määratud piirkonnas Ω R3. Vahemikus (a; b) määratud funktsiooni y = y (x)
(n) … y nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks(DV-ks) a. Diferentsiaalvõrrandi järk on diferentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk.( y ´=3x-5) b. DV-i lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y= f(x), mille asetamisel võrrandisse saama samasuguse c. Näited: d. e. f. Liigitus: 1. Harilikud diferentsiaalvõrrandid- Lineaarsed või mittelineaarsed- Homogeensed või mittehomogeensed 2. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandid- Lineaarsed või mittelineaarsed- Homogeensed või mittehomogeensed 32. DV-t kujul M(x)dx+N(y)dy =0 nimetatakse eraldatud muutujatega võrrandiks dy dy 33. dx =ky . Korrutan dx ja jagan y läbi saan y =kdx . Võtan integraali. Vastus: lny= kx+C ⟹ y= Cekx . Y- populatsiooni suurus
Süntees Protsessi lõpp Analüüs Modelleerimine 7. Modelleerimisülesannete liigitus kasutatavate võrrandite iseloomu järgi. · ainult funktsionaalsete sõltuvustega (sh. algebraliste võrranditega) mudelid; · harilike diferentsiaalvõrranditega mudelid; · osatuletistega diferentsiaalvõrranditega mudelid. 8. Nimetage programmpakettide neli põhigruppi. Automatiseeritud projekteerimissüsteemi funktsioneerimise kindlustamiseks on vaja luua vastavad programmipaketid. Neid pakette võib liigitada nelja gruppi: · rakendusliku iseloomuga programmid - konkreetse konstruktsiooni arvutused, keeruliste sõlmede kompositsioonid, matemaatiline mudel uuritavale objektile;
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks.
Kui t = 0, siis P = A ja g`(0) = x1`(A) * (s1/|s|) + . . . + xm`(A) * (sm/|s|). Järelikult saame suunatuletise s`(A) jaoks järgmise valemi: s`(A) = (1/|s|) * (x1`(A) * s1 + . . . + xm`(A) * sm). 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. · Funktsiooni z = (x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada järgmise summana: z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + , · kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on on kõrgemat järku lõpmatult väike suurus punktide A ja P vahelise kauguse |PA| suhtes piirprotsessis |PA| 0.
Kui t = 0, siis P = A ja g`(0) = x1`(A) * (s1/|s|) + . . . + xm`(A) * (sm/|s|). Järelikult saame suunatuletise s`(A) jaoks järgmise valemi: s`(A) = (1/|s|) * (x1`(A) * s1 + . . . + xm`(A) * sm). 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. · Funktsiooni z = (x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu z saab esitada järgmise summana: z = C1* x1 + C2* x2 + . . . + Cm* xm + , · kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on on kõrgemat järku lõpmatult väike suurus punktide A ja P vahelise kauguse |PA| suhtes piirprotsessis |PA| 0.
differentsiaalidena. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) U U U täisdifferentsiaaliks nimetame avaldist dU = dx1 + dx 2 + ... + dx n x1 x 2 x n Täisdifferentsiaal on summa, mille liidetavateks on argumentide differentsiaalide korrutised vastavate osatuletistega dy y dx y Täistuletised: a) y=f(x;w), kus x=g(w), dy=fxdx+fwdw /:dw, = + dw x dw w x1 = g ( w) dy y dx1 y dx 2 y b) y=f(x1;x2;w), kus = × + × + x 2 = h( w) dw x1 dw x 2 dw w x1 = g (u; v) c) y=f(x ;x ;u;v) 1 2
Harilik diferentsiaalvõrrand võrrand, milles otsitavaks on funktsioon y = f(x) ning mis seob funktsiooni y tema tuletisega y', y'', y''', ..., y(n) ja sõltumatu muutuja x-ga. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitava ühe või mitme muutuja funktsiooni tema tuletiste ja argumentidega. Kui otsitavaks on ühe muutuja funktsioon, siis kõneldakse harilikust diferentsiaalvõrrandist. kui otsitavaks on mitme muutuja funktsioon, on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrrandiga. diferentsiaalvõrrandi järk võrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk. hariliku diferentsiaalvõrrandi lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse koos tema tuletisega on tulemuseks samasus. lahend pole ühene, n-järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju lahendeid (konstandid). konstante on vastavalt nii palju kui suur on DV järk.
nagu mikro ja nihkevool, mis vastavad laetud osakeste liikumisele aine aatomites, molekulides ja ioonides. Muutuva vahelduvelektrivälja toimel tekib pöörismagnetväli. Pöörismagnetväljaga omakorda kaasneb elektrivool, mida kutsutakse nihkevooluks. Nihkevoolu olemust väljendavad Maxwelli võrrandid. Maxwelli võrrandeiks nimetatakse lineaarsetest osatuletistega diferentsiaalvõrranditest koosnevat süsteemi, mis on klassikalise elektromagnetvälja teooria aluseks. 1.2.3 Elektrivoolu liigid Eristatakse kahte liiki elektrivoolu: alalisvool ja vahelduvvool. Alalisvooluks nimetatakse voolu, mille suund ja tugevus ajas ei muutu. Suunaks on valitud positiivsete laengukandjate liikumise suund (vooluringis plussilt miinusele). Alalisvoolu tekitavad alalispinge allikad, näiteks akupatareid. Alalisvoolu saamiseks
J¨arelikult saame (6.22) p~ohjal suunatuletise fs (A) jaoks j¨argmise valemi 1 fs (A) = f (A)s1 + fx2 (A)s2 + . . . + fxm (A)sm . (6.23) |s| x1 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. Funktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse diferentseeruvaks punktis A kui selle funktsiooni t¨aismuudu z saab esitada j¨argmise summana: z = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm + , (6.24) kus C1 , C2 , . . . , Cm on konstandid, mis u ¨ldiselt s~oltuvad punktist A ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus punktide P ja A vahelise kauguse |P A|
Üldlahend. Erilahend. |yu yv| Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni tema tuletiste ja sõltumatute muutujatega. Harilik Kui funktsioon (x,y) on pidev piirkonnas D ja teisendus (u,v) (x,y) on regulaarne piirkonnas ning teisendab piirkonna diferentsiaalvõrrand otsitav on ühe muutuja funktsioon y'' + y = 2ex. Osatuletistega diferentsiaalvõrrand otsitav on mitme muutuja funktsioon zxx + zyy = 0. piirkonnaks D , siis f(x,y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv. Teiseks oluliseks tunnuseks diferentsiaalvõrrandite liigitamisel on võrrandi järk
3) H ( x 0 , y 0 ) = AC - B = 0 2 A Kui eeldada, et näiteks A 0 , ning = 1 = - arctan , siis D f ( x 0 , y 0 ) = 0 ning f 2 B märk sõltub ( ) märgist. See liige aga sisaldab kolmandat järku osatuletisi. Järelikult tuleb uurida kõrgemat järku osatuletistega liikmeid, et anda vastus ekstreemumi olemasolu kohta. M.O.T.T. Teoreem 15.2. (Ekstreemumi piisavad tingimused üldisel kujul) Olgu P kriitiline punkt, milles funktsiooni osatuletised on nullid või ei eksisteeri. ? u Vaatleme funktsiooni tuletist vektori s suunas . s u ? Kui tuletise märk punkti P läbimisel vektori s suunas:
2 x 2 x3 x2 1 9 2x 3 2 2 2 4. 5 1.6.3 Ruumilise kujundi pindala. Kui pinna z f x, y projektsioon xy-tasandil on D, kusjuures funktsioon f koos oma osatuletistega on pidev selles piirkonnas D, siis selle pinnatüki pindala S avaldub valemiga 2 2 z z S 1 x y dxdy. D
16) Seega k du i - du i -1 dt = m v ddz (4.17) w dz kus dui = ui +1 ui ja dui 1 = ui ui1 Tähistades d2u = dui dui1 ja arvestades et d' = du, saame pärast muutujate ümberasetamist ja diferentsiaalide asendamist osatuletistega lõplikult diferentsiaalvõrrandi u u 2 Cv = (4.18) z 2 t Suurust Cv = k/mvw nimetatakse konsolidatsioonimooduliks
Need avalduvad meetrilise tensori g komponentide ja nende esimest ja teist järku tuletiste kaudu. Einsteini tensor kirjeldab seda, et kui kõver on aegruum. Energia-impulsstensor T on ka sümmeetriline tensor, millel on kümme sõltumatut komponenti: Tik = Tki Tensor T kirjeldab seda, et kuidas aine liigub aegruumis ja kuidas on jaotunud energia ja aine aeg- ruumis. Need võrrandid on omavahel seotud kümne mittelineaarse teist järku osatuletistega diferantsiaal- võrrandite süsteemiga. Aine ja energia jaotus ja liikumine põhjustab aegruumi kõverust seda need võrrandid kirjeldavadki. Need võrrandid kirjeldavad ka kõvera aegruumi mõju aine energia jao- tusele ja liikumisele. Tensor on füüsikalist või geomeetrilist suurust kirjeldav matemaatiline objekt. Koordinaatsüsteemi valikust sõltuvad tensorit kirjeldavad komponendid, kuid tensor ise ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust
Need avalduvad meetrilise tensori g komponentide ja nende esimest ja teist järku tuletiste kaudu. Einsteini tensor kirjeldab seda, et kui kõver on aegruum. Energia-impulsstensor T on ka sümmeetriline tensor, millel on kümme sõltumatut komponenti: Tik = Tki Tensor T kirjeldab seda, et kuidas aine liigub aegruumis ja kuidas on jaotunud energia ja aine aeg- ruumis. Need võrrandid on omavahel seotud kümne mittelineaarse teist järku osatuletistega diferantsiaal- võrrandite süsteemiga. Aine ja energia jaotus ja liikumine põhjustab aegruumi kõverust seda need võrrandid kirjeldavadki. Need võrrandid kirjeldavad ka kõvera aegruumi mõju aine energia jao- tusele ja liikumisele. Tensor on füüsikalist või geomeetrilist suurust kirjeldav matemaatiline objekt. Koordinaatsüsteemi valikust sõltuvad tensorit kirjeldavad komponendid, kuid tensor ise ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust
Need avalduvad meetrilise tensori g komponentide ja nende esimest ja teist järku tuletiste kaudu. Einsteini tensor kirjeldab seda, et kui kõver on aegruum. Energia-impulsstensor T on ka sümmeetriline tensor, millel on kümme sõltumatut komponenti: Tik = Tki Tensor T kirjeldab seda, et kuidas aine liigub aegruumis ja kuidas on jaotunud energia ja aine aeg- ruumis. Need võrrandid on omavahel seotud kümne mittelineaarse teist järku osatuletistega diferantsiaal- võrrandite süsteemiga. Aine ja energia jaotus ja liikumine põhjustab aegruumi kõverust – seda need võrrandid kirjeldavadki. Need võrrandid kirjeldavad ka kõvera aegruumi mõju aine – energia – jao- tusele ja liikumisele. Tensor on füüsikalist või geomeetrilist suurust kirjeldav matemaatiline objekt. Koordinaatsüsteemi valikust sõltuvad tensorit kirjeldavad komponendid, kuid tensor ise ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust
annaabi.ee 
