leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. Kuhjumispunkti seos jada koonduvusega -
2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste
tõkestatud monotoonselt kasvav jada on koonduv; 11)igast tõkestatud jadast saab ||f +b|| ≤ sup||(f + b)x|| ≤ sup||fx+bx|| ≤ sup(||fx||+||bx||) ≤ sup||fx||+sup||bx|| ≤ ||f|| +||b|| eraldada koonduva osajada; 12)jadal {xn} lõplik PV, kui iga pos. arvu ε korral leidub -3o naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p korral n→n0 |xn+p -xn|<ε(cauchy); x∈X x∈X x∈X x∈X x∈X
Lause 2Iga koonduv jada on t˜okestatud. Lause 4 Kui jada {xn}koondub arvuks a, siis selle jada ¨uldliige on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium) Jada {xn}koondub parajasti siis, kui iga _>0 korral leidub N 2N, et iga naturaalarvu n >N ja naturaalvu p korral kehtib v˜orratus |xn+p −xn|<_.
Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev. Jada ∀n > N xn ∈ Uε(b) {xn} osajadaks {yn} nimetatakse jada, mis on saadud jadast {x n} lõpliku või lõpmatu hulga jadaSaame vastuolu kuna vastavalt eeldusele Uε(a) ∩ Uε(b) = ∅ elementide väljajätmise teel. Bolzano-Weierstrass: Igast tokestatud jadast saab eraldada koonduva 4. Koonduva jada tõkestatuse tõestus. osajada. Edaspidi 7,8 cauchy jada kohta 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos 5. Sõnastada jada piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. jada koonduvusega. 6. Naidata, et kui limn→∞xn = a ja limn→∞yn = a ning xn < zn < yn, siis limn→∞ zn = a.
2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem Definitsioon. Olgu (xn ) mingi arvjada ning (nk ) rangelt kasvav naturaalarvude (indeksite) jada, s.t. nk ∈ N ja n1 < n2 < n3 < . . . . . Jada (xnk ) = (xn1 , xn2 , . . .) nimetatakse esialgse jada (xn ) osajadaks (subsequence, подпоследовательность). Märgime, et indeksite jada (nk ) range kasvavus ja järeldus 1.15 aitavad matemaatilise induktsiooni meetodil tõestada, et iga k ∈ N korral nk > k. (Iseseisvalt!)z Teisisõnu, osajada on jada, mis saadakse esialgsest jadast lõpliku või loenduva arvu liik- mete väljajätmisel. Märgime, et rangelt kasvava naturaalarvude jada (nk ) korral kehtib omadus (tõestage!)z: nk > k, k ∈ N. Omadus 2.12 (a) Tõkestatud jada iga osajada on tõkestatud. (b) Piirväärtuseks a koonduva jada (xn ) iga osajada (xnk ) koondub samuti piirväärtuseks a: kui lim xn = a, siis lim xnk = a. n→∞ k→∞ Tõestus
11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduv aks jadaks. Jada, millel ei ole lõplikku piirväärtust, nimetatakse hajuv aks jadaks. 12. Jada piirväärtuse definitsiooni abil tõestamine Ülesanded vihikust. 13. Tõkestatud jadad (ülalt/alt tõkestatud jada, tõkestatud jada). Monotoonsed jadad. Osajada mõiste. Öeldakse, et jada (x ) on n tõkestatud , kui leidub selline arv M > 0, et |xn| ≤ M (n ∈ N). Tõkestatud jada tähistatakse O(1). Öeldakse, et jada (x ) on n ülalt tõkestatud, kui leidub selline arv M > 0, et xn ≤ M (n ∈ N). Ülalt tõkestatud jada tähistatakse O (1).
Öeldakse, et jada xn on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et IxnIM (n N) DEF 10. Öeldakse, et jada xn on ülalt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnM (n N) DEF 11. Öeldakse, et jada xn on alt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnm (n N) DEF 12. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 11 (Cauchy kriteerium) Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kuivastavalt igale pos.arvule leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib Ixn+p-xnI<, kui n>n0 1.4 Arv e Vaata tõestust! 1.5 Funktsiooni piirväärtus DEF 1. Suurust a nim. funktsiooni f(x) piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise - ümbruse U(a) korral leidub selline arvu x0 -ümbrus U(x0), et f(U(x0 {x0}) c U(a) DEF 2. Kui >0, siis punkti x0 vasakpoolseks -ümbruseks nim
leidub selline arv M>0, et XnM (n e N) tõkestatkse Or(1)*Öeldakse, et jada on *Arv a on reaalarvude hulga X kuhjumispunkt, kui igas arvu a ümbruses leidub alt tõkestatud, kui leidub selline arv m>0, et XnM (n e N). Tõkestakse Or(1) vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.*Arv a on hulga X sisepunkt, kui Monotoonsed jadad- leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15
J¨arelikult X = ∪j∈N∗ Bj ning { Bj | j ∈ N∗ } on l˜oplik v˜oi loenduv osahulk kattele A. 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides 73 Lemma 7.3 Kui X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis j¨argmised tingimused on samav¨ a¨ arsed: 0 1 iga l˜opmatu alamhulk ruumist X omab piirpunkti; 20 igal jadal ruumist X leidub koonduv osajada. T˜oestus. 10 =⇒ 20 . Eeldame, et ruumis X kehtib tingimus 10 . Valime jada ξ = {xn }n∈N ruumi X elementidest. N¨aitame, et jadal ξ leidub koonduv osajada. Kui jadas ξ on ainult l˜oplik arv erinevaid elemente, siis temast ilmselt saab eraldada koonduva osajada. Kui jadas ξ on l˜opmatu arv eri- nevaid elemente, siis saab temast eraldada osajada, mille k˜oik elemendid on erinevad. Seet˜ottu v˜oime eeldada, et jada ξ elemendid on k˜oik erinevad.
rahuldavad võrratust x < - M . Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa
6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus. Vahelduvate märkidega reaks nimetatakse arvrida kujul k ak , kus ak ≥0. Leibnizi tunnus. Vahelduvate märkidega rida koondub, kui on täidetud tingimused 1) ak ≥ ak+1, iga k >n0 (monotoonsus) 2) k = 0 (koondumise tarvilik tingimus) ( MA EI TEADNUD, KAS TÕESTUST ON VAJA, AGA IGAKSJUHUKS PANIN) Tõestus. Vaatleme osasummade osajada k+1 S2n= ak Selles jadas võtame liikmed paarikaupa järgmisel viisil S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) +…+ (a2n-1 - a2n) Esimese tingimuse tõttu on kõik liikmed selles avaldises positiivsed ja ühe liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades S2n = a1 – (a2 -a3)- (a4-a5) -…+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1. Seega on jada, mille üldliige on S2n kasvav ja tõkestatud, järelikult koonduv, st ∃ 2n
6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus. k Vahelduvate märkidega reaks nimetatakse arvrida kujul ak , kus ak 0. Leibnizi tunnus. Vahelduvate märkidega rida koondub, kui on täidetud tingimused 1) ak ak+1, iga k >n0 (monotoonsus) 2) k = 0 (koondumise tarvilik tingimus) ( MA EI TEADNUD, KAS TÕESTUST ON VAJA, AGA IGAKSJUHUKS PANIN) Tõestus. Vaatleme osasummade osajada k+1 S2n= ak Selles jadas võtame liikmed paarikaupa järgmisel viisil S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) +...+ (a2n-1 - a2n) Esimese tingimuse tõttu on kõik liikmed selles avaldises positiivsed ja ühe liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades S2n = a1 (a2 -a3)- (a4-a5) -...+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1.
10. Iga ülalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada on koonduv. x0 parajasti siis, kui iga m<0 korral leidub arv 11. Igast tõkestatud jadas saab eraldada koonduva osajada (Bolzano-Weierstrassi teoreem). {x n } ¿ a∨ ¿ 2
6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus. k Vahelduvate märkidega reaks nimetatakse arvrida kujul ak , kus ak 0. Leibnizi tunnus. Vahelduvate märkidega rida koondub, kui on täidetud tingimused 1) ak ak+1, iga k >n0 (monotoonsus) 2) k = 0 (koondumise tarvilik tingimus) ( MA EI TEADNUD, KAS TÕESTUST ON VAJA, AGA IGAKSJUHUKS PANIN) Tõestus. Vaatleme osasummade osajada k+1 S2n= ak Selles jadas võtame liikmed paarikaupa järgmisel viisil S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) +...+ (a2n-1 - a2n) Esimese tingimuse tõttu on kõik liikmed selles avaldises positiivsed ja ühe liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades S2n = a1 (a2 -a3)- (a4-a5) -...+ u2n, näeme, et osasummad S2n on tõkestatud, sest S2n < a1.
jada (𝑞𝑘 ), seejuures on (−𝑞𝑘 ) jada (𝑢𝑘 ) kõigi negatiivsete liikmete osajada. Selge, et jada (𝑢𝑘 ) iga liige esineb ühes ja ainult Klassikaline laineke on Haari laineke 𝜓(𝑥) ≔ { .Me saame kontrollida, et funktsiooni {𝜓𝑗,𝑘 }𝑗,𝑘∈𝑍 , kus
Järelikult on 1 hulga loenduv osahulk, sest jada moodustati hulga elementidest. Teoreem 4. Loenduva hulga iga lõpmatu osahulk on loenduv. Tõestus. Olgu loenduv hulk ja tema lõpmatu osahulk. Teoreemi 2 põhjal saame hulga elemendid esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana: ={1,2,3,4,...}. Kui jätame sellest jadast välja need liikmed, mis hulka ei kuulu, siis saame lõpmatu osajada, mille elementide hulk on ={1,2,3,...}.. Jada {} liikmed on paarikaupa erinevad, sest see jada saadi erinevate liikmetega jadast elemente välja jättes. Teoreemi 2 põhjal on hulk loenduv. Järeldus 1. Naturaalarvude hulga ja täisarvude hulga kõik lõpmatud osahulgad on loenduvad. Teoreeme 3 ja 4 on loomulik mõista nii, et loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Järgmiseks teeme kindlaks, rea loenduvuse omadusi, mis on seotud ühendi ja otsekorrutisega. Teoreem 5. 1
duv, st xn = OR (1) xn {xn } c v~oi xn = OL (1) xn {xn } c. 37 T~ oestust vt [5], lk 102103. Definitsioon 11. Iga jada, mis saadakse jadast mingi l~opliku v~oi l~opmatu hulga jada elementide v¨ aljaj¨ atmisel, nimetatakse selle jada osajadaks. aide 3. Eraldame jadast {(-1)n (n - 1)/n} kaks osajada N¨ {(-1)2n (2n - 1)/(2n)} = {(2n - 1)/(2n)} (v~oetakse l¨ ahtejadast vaid paarisarvulise indeksiga liikmed) ja {(-1)2n+1 (2n)/(2n + 1)} = {(-2n)/(2n + 1)} (v~oetakse vaid paarituarvulise indeksiga liikmed). Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem). Igast t~okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada, st xn = O(1) {nk } : {xnk } c. T~ oestust vt [5], lk 113.
xn = yn + a, kus yn - 0. Lause Iga ulalt ¨ ~ tokestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon Jada {xn } osajadaks {yn } nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn } lopliku ~ ~ lopmatu voi ~ ¨ atmise hulga jada elementide valjaj ¨ teel. Teoreem (Bolzano-Weierstrassi teoreem) ~ Igast tokestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 18 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad Definitsioon ¨ Oeldakse, et {xn } on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub N N, et iga naturaalarvu n > N ja naturaalarvu p korral ~ kehtib vorratus
1 Stone-Weierstrassi teoreem Olgu n närvivõrgu sisendite arv ja m tema väljundite arv. Kõik närvivõrgu sisendid ja väljundid on reaalarvud x1 ,K, xn , y1 ,K, ym . Närvivõrgu sisendid moodustavad meetrilise ruumi n alamhulka ja väljundid kuuluvad meetrilise ruumi m . Teoreemi matemaatiliseks formuleerimiseks defineerime terve rida mõisteid. Definitsioon 1 Hulka X meetrilises ruumis nimetatakse kompaktseks kui selle hulga igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Definitsioon 2 Meetrilise ruumi hulka X nimetatakse tõkestatuks, kui leidub mingi seda hulka sisaldav kera S ( x0 , r ) , s.t. leidub selline arv R > 0 , et iga x X jaoks kehtib võrratus x R . Definitsioon 3 Hulka X nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldub kõik oma piirpunktid, s.t. kui kõik jada {xn } punktid kuuluvad hulka X ( x1 ,K, xn ,K X ) ja x0 on selle jada piirpunkt ( lim xn = x0 ), siis n
1 Stone-Weierstrassi teoreem Olgu n närvivõrgu sisendite arv ja m tema väljundite arv. Kõik närvivõrgu sisendid ja väljundid on reaalarvud x1 ,K, xn , y1 ,K, ym . Närvivõrgu sisendid moodustavad meetrilise ruumi n alamhulka ja väljundid kuuluvad meetrilise ruumi m . Teoreemi matemaatiliseks formuleerimiseks defineerime terve rida mõisteid. Definitsioon 1 Hulka X meetrilises ruumis nimetatakse kompaktseks kui selle hulga igast jadast saab eraldada koonduva osajada. Definitsioon 2 Meetrilise ruumi hulka X nimetatakse tõkestatuks, kui leidub mingi seda hulka sisaldav kera S ( x0 , r ) , s.t. leidub selline arv R > 0 , et iga x X jaoks kehtib võrratus x R . Definitsioon 3 Hulka X nimetatakse kinniseks, kui ta sisaldub kõik oma piirpunktid, s.t. kui kõik jada {xn } punktid kuuluvad hulka X ( x1 ,K, xn ,K X ) ja x0 on selle jada piirpunkt ( lim xn = x0 ), siis n
n =0 n koondub tingimisi. Teoreem: Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. (fakt) Üldistatud Cauchy tunnus Tähistame: lim u n = lim sup u k - kõikvõimalike osajadade maksimaalse osajada summa piirväärtus n n k n Teoreem: Olgu u n =0 n positiivne rida ja olgu C = lim n u n . Kui n a) C < 1 , siis rida (u n ) koondub; b) C > 1 , siis rida (u n ) hajub, kusjuures lim u n 0 (tarvilik tingimus pole täidetud)
arkidega read. Tingimisi koonduvus Vahelduvate m¨arkidega reaks nimetatakse rida u1 - u2 + u3 - u4 + . . . = (-1)k+1 uk , (8.9) k=1 kus uk > 0, k = 1, 2, . . . Teoreem 1. Kui 1) uk > uk+1 , k = 1, 2, . . . ja 2) lim uk = 0, siis vahelduvate m¨arkidega rida (8.9) koondub. k T~oestus. Vaatleme osasummade osajada 2n S2n = (-1)k+1 uk k=1 Selles jadas v~otame liikmed paarikaupa j¨argmisel viisil S2n = (u1 - u2 ) + (u3 - u4 ) + . . . + (u2n-1 - u2n ) Esimese tingimuse t~ottu on k~oik liikmed selles avaldises positiivsed ja u ¨he liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav
annaabi.ee 
