Funktsioonid I Kordamine. 1. Leia määramispiirkond. a. y 4 x 3 3 x 1 X=R 3x 6 b. y x 1 x 2 4 X=R{-2, 1, 2} c. y x 2 6x 8 X ;2 4; x3 d. y X 4;0 4; x 3 16 x 2. Leia nullkohad, pos., neg. piirkonnad. a. y x 3 6 x 2 9 x 54 X 3;3 6; ; X ;3 3;6 4 ...
lineaar- ja ruutfunktsioon; funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond; funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad; funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumid; paaris- ja paaritufunktsioon; perioodiline funktsioon; pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel; pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid Võrdeline sõltuvus y = ax a Pöördvõrdeline sõltuvus y x
www.andmill2.planet.ee/gmat.html Funktsioonid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0
Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a
Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2. Arvuta parabooli haripunkti koordinaadid. Lahendus: ,, Leiame: Nüüd asendame leitud xh väärtuse 2 ülesandes antud ruutfunktsiooni valemisse muutuja x asemele ja arvutame haripunkti ordinaadi väärtuse: Oleme saanud parabooli haripunkti koordinaadid:H(2;1). 3
Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku harud paiknevad teises ja neljandas koordinaatveerandis. Funktsiooni y = ax² + bx + c graafik on parabool. Ruurfunktsiooni y = 2x² + 3x 5 nullkohtade leidmiseks lahendatakse ruutvõrrand 2x² + 3x 5 = 0. Kui ruutvõrrandil pole lahendeid, siis graafik ei läbi ega puuduta x - telge. Kui ruutvõrrandil on kaks võrdset lahendit, siis paraboolil ja x-teljel on ühiseid punkte ainult üks.
Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y väärtuste hulk. Funktsiooni esitusviisideks on valem e. analüütiline esitus, graafik, tabel, arvupaarid ning nooldiagramm. Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on 0 nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks (X0). Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata punktid, kus f(x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkonna (X+) moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata punktid x, kus f(x) > 0. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna (X-) moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata punktid x, kus f(x) < 0.
y= 6+x-x2 y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod Viin kõik võrratuse liikmed paremale poole; Leian võrratuse nullkohad ja katkevuspunktid; Joonestan x-telje ja kannan saadud punktid sinna; Uurin võrratuse avaldise märki igas saadud piirkonnas; Tõmban abijoone läbi nullkohtade ja katkevuspunktide; Vaatan võrratusemärki ja viirutan vastuseks sobiva piirkonna; Kirjutan vastuse välja. x2 + 7x Lahendada võrratus x + 10 4 x2 + 7x x 2 + 7 x - 4 x - 40 x 2 + 3 x - 40 . -40 0 0 x + 10 x + 10 x + 10
19) x(x + 4) 4 20) x(6 x) 9 1 1 - ;2 - ;3 Vastused. ( ;3 0; ); ( ;20 20; ); 5 ; 4 ; ( - ;-4] 1 ; ( - ;-2] 1 ; - 2; 1 - 5; 1 3 ; 4 ; 5 ; 3 ; 5; 4; Ø; Ø; R; R; Ø; Ø; R; R; 2; 3. Korrutist sisaldava võrratuse nullkohtade leidmisel kasutame omadust: kahe teguri korrutis on null, kui üks teguritest on null (s.t. lahendame sulgude sees olevad lineaarvõrrandid). Näide 10. Lahendame võrratuse (x 2)(x + 1) > 0. Lahendus. (x 2)(x + 1) > 0 X0 x 2 = 0 või x + 1 = 0 x1 = 2 x2 = 1 5 Joonise tegemiseks teeme kindlaks x2 ees oleva märgi, selleks korrutame võrratuses x-ga liikmed omavahel. Praeguses näites x · x = x2.
10. Funktsiooni määramispiirkond X sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkond funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) > 0. Funktsiooni negatiivsuspiirkond funktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni
ruutvõrrand. Ruutliige lineaarliige, vabaliige. Ruutliikme kordaja ja 1) lk 42-44 , ül 154-156; Ruutfunktsioon ja 34. 18. 10. 06 Funktsioonid y=ax2+bx lineaarliikme kordaja. ruutvõrrand. Ruutfunktsioon ja Nullkohtade, haripunktide, 1) ül 128, 129, 131, 138, 161, 185 35. 19. 10. 06 ruutvõrrand. kordajate leidmine. 188, 209 Ruutfunktsioon ja Ruutfuktsioon y=ax2+bx+c. 1) lk 47-49, ül 172-174 36. 19. 10. 06 ruutvõrrand
· Parabool y = ax2 + bx + c D = b2 4ac Kui a < 0 ja D > 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole. 4. Funktsioonid ja nende graafikud Valemid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Diferentseeruva funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht
NB! Kasutajafunktsiooni argumentide esitamiseks ei saa nimesid! x_0 #NAME? Koostada VBA funktsioon, mis võimaldab leida nullkohti e poolitusmeetodiga. y_1 1) Kasutada seda funktsiooni nullkohtade täpsustamiseks otsapunktid, mille vahel on nullkoht, 2) Koostada tulpa Nullid Exceli Iffunktsioon, mis võimald täpsustada nullkohti, arvestas märgi vahetust funktsiooni 100 150 200 250 300 350 400 450 F(x) F(c1) b1
Kasutajafunktsiooni argumentide esitamiseks x_0 tulpade nimesid! 2.483818 Koostada VBA funktsioon, mis võimaldab leida nu täpsusega , poolitusmeetodiga. y_1 1) Kasutada seda funktsiooni nullkohtade täpsusta graafikult lõigu otsapunktid, mille vahel on nullkoh 0 2) Koostada tulpa Nullid Exceli If-funktsioon, mis -2 0 2 4 6 täpsustada nullkohti, arvestas märgi vahetust fun -1 naaberväärtustel. -2 -3 -4
Tähistame g(t): = f( Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. dG( (x))= g( = f( . Integreerides asendusega t = saamegi jällegi 5.Polünoomide jagamine. Horneri skeem. Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0. Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr, vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem. Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an on arvud, tahame arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: bn := an bn-1 := an-1 + bnx0 b0 := a0 + b1x0
x+ x x+ Sirge y = mx + b on funktsiooni f graafiku vasakpoolne kaldasümptoot siis ja ainult siis, kui f ( x) m = lim , b = lim ( f ( x) - mx). x - x x - 21 Funktsiooni uurimine Uurime funktsiooni f ( x) = 3 x 3 - 6 x 2 1) määramispiirkond X = (- ; + ) 2) katkevuspunktid Funktsioon on kõikjal pidev, katkevuspunktid puuduvad. 3) nullkohad Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi f (x) = 0 3 x3 - 6x 2 = 0 x3 - 6 x 2 = 0 x 2 ( x - 6) = 0 x1, 2 = 0 ; x3 = 6 X 0 = {0;6} 4) paaris, paaritu või perioodiline Ei paaris, paaritu, ega perioodiline. 22 Funktsiooni uurimine 5) positiivsus- ja negatiivsuspiirkond Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse f (x) > 0 3 x3 - 6x 2 > 0
Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja a n > 0 ning paremalt ja alt, kui a n < 0 . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv. Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade x1 ja x3 järgud on paarisarvud, nullkohtade x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y = Pn ( x ) skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an > 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 2.13 Murdvõrratus Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul
Jooniselt näeme, et f x 0 , kui x ; 0 ja x 2; , seega kasvamisvahemikud on vahemikud ; 0 ja 2; . Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse 3x2 6x < 0. Jooniselt näeme, et f ( x) 0, kui x (0; 2) , Seega kahanemisvahemik on vahemik 0; 2 . 2) Funktsiooni suurim väärtus lõigul [- 1; 4] võib olla lõigu otspunktides või kohal xmax. Eelmises punktis skitseeritud joonise abil tuletise nullkohtade ümbrust uurides saame xmax = 0. Seega funktsiooni lokaalne maksimum ymax = f (0) = 2. Leiame funktsiooni väärtused lõigu otspunktides: f(-1) = - 6, f (4) = 14. Järjestame funktsiooni leitud väärtused: f (-1) < f (0) < f (4) . Seega lõigul [-1; 4] on funktsiooni suurim väärtus 14. Kommentaarid Diferentseeruva funktsiooni ekstreemumpunktide liigi võib määrata kas funktsiooni teist järku tuletise
Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja a n 0 ning paremalt ja alt, kui a n 0 . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv. Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade x1 ja x3 järgud on paarisarvud, nullkohtade x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y Pn x skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 2.13 Murdvõrratus Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul
ühise teljega paraboole (vt joonis 16). Kui võrrandil ax2 + c = 0 on lahendid, siis lõikab parabool x-telge (üldisemalt: abstsisstelge) kahes punktis. Nende punktide x-koordinaate nimetatakse funktsiooni 11 nullkohtadeks. Programmi GeoGebra kasutajad peavad arvestama sellega, et kirjutades sisendreale korralduse Nullokohad[x2-1] saame algebravaatesse tulemuse A(1; 0) ja B(1; 0), st nullkohtade asemel saame lõikepunktid x-teljega. Joonis 16 Teema ,,Ruutfunktsioon y = ax2 + bx" puhul ilmneb graafikute joonestamisel, et üheks lõikepunktiks abstsissteljega on alati koordinaatide alguspunkti (0; 0). Tähelepanu tuleb juhtida sellele, et parabooli teljeks ei ole y-telg, vaid haripunkti läbiv verikaalne sirge. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku konstrueerimist võib alustada väärtuste tabeli
NB! Kasutajafunktsiooni argumentide esitamiseks ei saa kasut tulpade nimesid! Koostada VBA funktsioon, mis võimaldab leida nullkohti etteant täpsusega , poolitusmeetodiga. 1) Kasutada seda funktsiooni nullkohtade täpsustamiseks, võtt graafikult lõigu otsapunktid, mille vahel on nullkoht, 2) Koostada tulpa Nullid Exceli If-funktsioon, mis võimaldab automaatset täpsustada nullkohti, arvestas märgi vahetust fun naaberväärtustel. F(x) F(c1) b1
2 1 ± 1 - 4 3 (- 4) 1 ± 7 1 3 x 2 - x - 4 = 0 ; x1;2 = = x1 = -1; x 2 = 1 6 6 3 x max = -1 ; y max (-1) = -3 (- 3) = 9 Pmax (- 1;9 ) Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti funktsiooni uurimise oskust. Põhjendamatult palju eksaminande avas nullkohtade leidmisel funktsiooni avaldises sulud. Ekstreemumkohtadeks pakuti nullkohti, aeti segamini positiivsus(või negatiivsus)piirkond ja kasvamis(või kahanemis)vahemik. Lubamatult palju eksiti ruutvõrrandite lahendamisel. Endiselt on segamini mõisted ekstreemumkoht, ekstreemum ja ekstreemumpunkt. Ei osatud määrata ekstreemumkohtade liiki. 4. (10 punkti) Kaks kiirabiautot kiirustavad sündmuskohtadele, väljudes samaaegselt haiglast
lahendihulkade ühisosa. 4.4 Ruutvõrratused Üldkuju on Lahendamiseks lahendame ruutvõrrandi, skitseerime graafiku ja leiame graafikult, kus on funktsiooni väärtused pos ja neg 4.5 Intervallmeetod Võrratuse a(x-a1)(x-a2)...(x-an)>0 (kus a>0) lahendamiseks kanname kõigepealt vastava funktsiooni nullkohad arvteljele. Niimoodi jaguneb arvtelg lõplikuks arvuks intervallideks, millest igaühes funktsioon säilitab oma märgi + või -. Tõmbame läbi nullkohtade abijoone, alustades paremalt ülalt. Seejuures abijoon lõikab x-telge, kui nullkoht on paarituarvulise korsusega ning puudutab x-telge, kui on paarisarvulise kordsusega. Saadud jooniselt leiame võrratuse lahendid. 4.6 Murdvõrratused Murdvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. 4.7 Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid Võrrand, kus tundmatut sisaldav avaldis on absoluutväärtuste märkide vahel. Nende lahendamisel tugineme arvu
Kõrgema astme võrratuse lahendamiseks leiame vastava hulkliikme nullkohad. Kandes need nullkohad arvsirgele (x-teljele), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ja ülalt, kui pealiikme kordaja a n > 0 ning paremalt ja alt, kui a n < 0 . Seejuures mingit nullkohta läbime x-telge lõigates, kui selle nullkoha järk on paaritu arv, ning puutudes, kui nullkoha järk on paarisarv. Joonisel on esitatud näide, kus nullkohtade x1 ja x3 järgud on paarisarvud, nullkohtade x2 ja x4 järgud aga paaritud. Niiviisi saadud kõverat võib vaadelda funktsiooni y = Pn ( x ) graafiku skitsina. Sellelt graafikult saab määrata võrratuse lahendid. an > 0 x x1 x2 x3 x4 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused
Reaalsele k- (+, + , + ) => (,,) =(,,) +(,,) + (,,) +, kusjuures lim 0+ / kordsele nullkohale a vastab k lineaarselt sõltumatut DV lahendit, mille saame esitada näiteks kujul: xk-1eax, ..., xeax ja eax. Kuna ()^2+()^2+()^2 = lim 0+ (/ ^^2+^2+^2 ) = 0, ja suunatuletis / avaldub kujul / (,,) reaalsete kordajatega polünoomi korral on kompleksarvulised nullkohad kaaskompleksarvude paarid, siis k-kordne nullkohtade = lim 0+ ((+, + , + )-(,,) / ^^2+^2+^2 )= lim 0+ paar a+- bi tekitab 2k lineaarselt sõltumatut DV lahendit kujul: xk-1eaxcosbx, xk-1eaxsinbx, .., xeaxcosbx, xeaxsinbx ja eaxcosbx ning eaxsinbx
FUNKTSIOONI y = x3 – 4x2 TÄIELIK UURIMINE 1. Funktsiooni määramispiirkond. X = R, sest funktsiooni määrav avaldis ei sisalda murde, astmeid, trigonomeetrilisi funktsioone, logaritme jne. Muutuja x mistahes väärtuse korral saab y väärtust leida. 2. Funktsiooni muutumispiirkond Vt lõppu. 3. Funktsiooni nullkohad. Lahendame võrrandi x3 – 4x2 = 0, x2(x – 4) = 0, millest x1 = x2 = 0, x3 = 4. Nullkohtade hulk on X0 = {0; 4}. 4. Funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad. Skitseerime funktsiooni ligikaudse graafiku. – – – – – – – – – – – – – ++ Joone skitseerimisel arvestame sellega, et 0 on 0 4 kahekordne nullkoht, seega pöördub joon seal tagasi. X+ = ]4; [, X– = ]– ; 0[]0; 4[ 5. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Leiame f (x). f (x) = 3x2 – 8x
Polunoomi ¨ tegurdamine Olgu Pn (x) = a0 x n + a1 x n-1 + . . . + an-1 x + an n-astme polunoom, ¨ kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ~ ja a0 = 0. Vastavalt algebra pohiteoreemile on polunoomil ¨ Pn (x) kompleksarvude hulgal C tapselt ¨ n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1 , x2 , . . . , xr , vastavalt kordsustega k1 , k2 , . . . , kr , siis polunoom ¨ Pn (x) avaldub kujul Pn (x) = a0 (x - x1 )k1 (x - x2 )k2 · · · (x - xr )kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Kui ak R k = 0, 1, . . . , n on reaalarvud, siis mittereaalarvulised nullkohad esinevad kompleksarvu ja tema kaaskompleksarvu paaridena. ¨ G
annaabi.ee 
