1:26.66 119 1:10.97 119,5 53,31 115,7 23,59 116,4 Keskmin e 1:26.78 118 1:12:35 119,5 49,28 113,5 20,63 116 2.1. Kokkuvõte Termopaarid saavutasid kiiremini maksimumpunktid kui vedeliktermomeetrid. Hülsiga termopaar oli aeglasem kui hülsita. Vedeliktermomeetrid saavutasid kõrgemaid temperatuure. Vedeliktermomeetritest saavutas maksimumpunkti kiiremini peenema kapillaariga termomeeter. Kui ventilaator oli välja lülitatud, siis maksimumpunkti saavutamiseni läks peaaegu kuus korda rohkem aega.
b) Leidke f(x) kasvamisvahemik, ekstreemumid. c) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 15. On antud f-n f(x) = e x x. 1) Leidke x, mille korral f ´(x) = 0. 2) Skitseerige f(x) graafik lõigul [0; 2]. 3) Arvutage antud funktsiooni graafikuga ning sirgete x = 1 ja x = 2 ning x-teljega piiratud kujundi pindala. 16. On antud f-n f(x) = x ln 6 x ln x Leidke 1) määramispiirkond, maksimumpunkti abstsiss, 2) graafiku ja x-telje lõikepunkt. 3) Koostage joone y = f(x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x-telge.
1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Koostage antud funktsiooni y = f(x) graafikule puutuja võrrand punktis, kus see lõikub joonega y = x2 + a. 3) Milliste a väärtuste korral on funktsioon f ( x) x 2 8 ln x a kogu oma määramispiirkonnas positiivne? 39. (2009) On antud funktsioon f ( x) x 2 4 2 x 1 Leidke selle funktsiooni 1) nullkohad; 2) negatiivsuspiirkond; 3) tuletis; 4) maksimumpunkti koordinaadid. 5 40. (2009) On antud funktsioonid f x sin x sin x ja g(x) = sin 2x . 6 6 1) Näidake, et f (x) = -cos x . 2) Leidke võrrandi g(x) = -cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ]. 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f (x) ja y = g(x)
Palun rõhutage õpilastele, et enne vastama asumist tuleb KOGU KÜSIMUS hoolikalt läbi lugeda. Kõige viimane ülesanne tasemetöö lehel on lisaülesanne, mille täitmine ei ole õpilasele kohustuslik. ÕPILANE TÄIDAB LISAÜLESANDE PEALE PÕHITÖÖ LÕPETAMIST. Lisaülesande täitmata jätmi- se eest õpilane punkte ei kaota. Lisaülesande punkte ei arvestata ka tasemetöö punktide arvestamisel ja märkimisel. Hindeskaala aluseks on 46 tasemetöö maksimumpunkti (mitte 52 punkti koos lisaülesandega). Õpetajal on õigus õpilase hinnet 5% ulatuses tõsta või langetada. Selle otsuse tegemisel võib aluseks võtta lisaülesande lahendatuse. Tunni lõpus korjatakse tööd ära kõigilt õpilastelt korraga. Töö esilehele märgib õpetaja kolme õppeveerandi ja töö hinded ning vabale reale täiendava teabe õpilase õpingute kohta (parandusõppel, logopeediline ravi, õpib individuaalse õppekava alusel, kodune keel on vene või muu keel).
eksaminandide jaoks oli probleemiks saadud vastuse kriitiline hindamine (NB! Tulemus ei saa olla suurem kui 1, ega väiksem kui 0!) 3 ( ) 3. (10 punkti) On antud funktsioon f ( x) = x 2 - 4 (2 x - 1) . Leidke selle funktsiooni 1) nullkohad; 2) negatiivsuspiirkond; 3) tuletis; 4) maksimumpunkti koordinaadid. ___________________________________________________________________________ Lahendus. ( ) 1) X 0 : f ( x) = 0 ; x 2 - 4 (2 x - 1) = 0 ; x - 4 = 0 x1; 2 = ±2 2 2 x - 1 = 0 x3 = 0,5 X 0 = {- 2;0,5;2} ( ) 2) X - : f ( x) < 0; x 2 - 4 (2 x - 1) < 0 X - = (- ;-2 ) (0,5;2 ) ( )
koht - 1/3 ; min. koht 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) ( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) 6/e 2) y = -x +6 d) Millise a korral on funktsioonil y a ln x x 3x ekstreemum punktis x = 1 2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2
1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus: 1) X1=( ; 1/3 ), X2=(3 ; ); X=( 1/3 ; 3); 2) y = 20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - x lnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) X=( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) xmax= 6/e 2) y = x +6 y a ln x x 2 3x d) Millise a korral on funktsioonil ekstreemum punktis x = 1 Määrake ekstreemumi liik. Vastus: a = 1; x = 1 on miinimumkoht ex y ln x2
Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum
b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks d. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti ümbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". Läbides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". Läbides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. e. Fermat` lemma: Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f`(x1)=0. e.i. Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum
1 kahanemisvahemikud on ( ; ) ja (3; ) . 3 3) Lõigul 2; 4) omandab kuupfunktsioon suurima väärtuse kas selle lõigul otspunktides või maksimumpunktis. c) Leiame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 graafiku maksimumpunkti ordinaadi. Kuupfunktsioonil saab olla vaid üks lokaalne maksimum. Eelnevast on näha, et kohal x 3 funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks, järelikult antud funktsioonil on lokaalne maksimum kohal x 3 . Arvutame maksimumpunkti ordinaadi: y(3) = 33 5 3 2 3 3 7 2 . d) Arvutame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 väärtused lõigu 2; 4) otspunktides: y ( 2) 27, y (4) 3. Järjestame funktsiooni leitud väärtused: f 4 f 3 f 2 .
Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte äärmise taseme viirutatud piirkonnas määravad miinimum- ja maksimumpunkti. II meetod põhineb lubatavate lahendite hulga 3. teoreemil, et ülesande min ja max saavutatakse mingite lubatavate lahendihulkade tipus. LP ülesandes on alati kolm võimalus 1) optimaalne lahend eksisteerib 2) sihifunktsioon on tõkestamata zmax= lõpmatus 3) lahend puudub. kitsendused vastuoluline 7. Kaks näidet LP ülesande kohta 1. Dieediülesanne: leib juust päevanorm 1. a11=1 a12=2 b1=3kcal 2. a21=1 a22=4 b2=4 ühik valku hind: c1=6 c2=21
1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kospekti joonisel (lk 93) 4.4 vasakpoolsel graafikul on kujutatud nõgusat joont. Liikudes
Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti vahemikus (a, b). ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid
väite. II piisav tingimus Punkti a, kus on täidetud lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus 1) või 2), nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks. Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a ja diferentseeruv vahemikes (a, a) ning (a, a+), >0. Siis kehtivad väited 10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "+" "-", siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. (maksimumpunkti läbides läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks). 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. (miinimumpunkti läbides läheb funktsiooni kahamine üle kasvamiseks). 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 20. Joone kumerus ja nõgusus2, käänupunktid . Joone asümptoodid.
Pärnu Koidula Gümnaasium ( x -1) ( 4 - 2 x ) - 6 1 2 B-3 Leia võrrandi = 125 x lahend või lahendite summa. 25 3 log 6 123 B-4 Arvuta log 6 27 + 2 . log108 6 B-5 Joonisel on y= f ( x ) graafik Leia mitu maksimumpunkti on selle funktsiooni graafikul. B-6 Leia lõigule [ 0;3] jäävate funktsiooni y = 1,5 2 x 3 - 2 x 2 - 4 x +8 suurima ja vähima väärtuse summa. B-7 Leia võrrandi (5 2 x - 61
Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist j.arku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise m.argi abil. Paneme t.ahele, et joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti .umbruses n~ogus, so .ulespoole kaarduv ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti .umbruses kumer, so allapoole kaarduv. . Ulej.argmise paragrahvi teoreemis 4.5 me t~oestame, et graafik on n~ogus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. 31. Nogusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
36 Järgnevalt on esitatud klasteranalüüsi tulemuste illustreerimiseks joonis kinnisvarahinna indeksi (House Price Index, HPI) amplituudi kohta perioodil 2005-2013. Jooniselt 6 on selgelt näha, et Läti, Eesti, Iirimaa ning Leedu eristuvad teistest riikidest HPI suurema ulatuse poolest. Antud riikide kinnisvaraturu tsüklid on valitud perioodil olnud kõige suurema amplituudiga, jättes suure lõhe kinnisvarahinna indeksi miinimum- ja maksimumpunkti vahele. Vaadeldaval perioodil on kinnisvarahindade vähima muutuse teinud läbi Euroopa vanimad arenenud kinnisvaraturuga riigid – Saksamaa, Prantsusmaa, Suurbritannia. Joonis 6. Kinnisvarahinna indeksi amplituud perioodil 2005-2013. Allikas: EuroStat, autori koostatud. Kõige suurem standardhälve on olnud Läti kinnisvara hinnaindeksil, mille väärtus antud perioodi lõikes kõikus keskväärtusest 30,4 indeksipunkti ulatuses (vt Lisa 2). Eesti ja
¨mbruses (x1 - , x1 + ); 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f (x) f (x1 ). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti u ¨mbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". L¨abides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". L¨abides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. Lokaalseid ekstreemume saab vaadelda nt joonisel 2.13. Seal kujutatud funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum ja punktis x3 lokaalne miini- mum. Funktsiooni lokaalseid ekstreemume ei tohi segi ajada funktsiooni absoluut- sete ekstreemumitega, millest oli juttu §2.11
1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u ¨mbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f (x) f (x1 ). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Kui funktsioon ei ole konstantne lokaalse maksimumipunkti u ¨mbruses, siis on selles punktis funktsiooni graafikul "tipp". L¨abides maksimumpunkti vasakult paremale asendub funktsiooni kasvamine kahanemisega. Seevastu on lokaalne maksimum funktsiooni graafiku "org". L¨abides seda punkti vasakult paremale asendub funktsiooni kahanemine kasvamisega. Lokaalseid ekstreemume saab vaadelda nt joonisel 2.13. Seal kujutatud funktsioonil on punktis x1 lokaalne maksimum ja punktis x3 lokaalne miini- mum. Funktsiooni lokaalseid ekstreemume ei tohi segi ajada funktsiooni absoluut- sete ekstreemumitega, millest oli juttu §2.11
asįinkroonnrootori trrehaatrilise elrk kiiruse-nromendi-tutrtrusjoone fioonis 1.5). Nagu jooniselt näIra, võib lįįhisrootoriga asürrkroonmootori rrrehaanilisel tr.rnnusjoonel oļla roļrken-r kui üks nraksimtrnrurrnkt. Enarrrikul jūtudel on teine maksimunrpr-rnkt ļnootol'i vastĮliįiļįtĮĮStalitluse aļas elrk kiiruse-motnerrdi tasandi kvadrandis, kus libisttts s ) 1 ja vaid ļrarvadeļ jtrlrtudel on rnõļernad nraksimrrmid esitneses kvadran<įis. Kalre maksimumpunkti vaĮiele jääv trlonrendikõvera rlriirrimunrpunkt (sadulpunkt) on aga tavaliseit esitrreses kvaclraIrdis rring rrrõjtrtab oļuliselt mootori käivitusprotsessi. MinirrraaIse mometrdi T,,,i,, väät1lisest sõļtttĮr ntcotori koormatavus käivitanriseļ. Erranrik asünkroonmootoreid tootvaid firmasid annab kataloogides mootol'i tttoIrlettdi StĮuruse ninrįtltonrerrdi suhtes kolnres punktis, s. o. tnaksitnaaļse nromerrdi TnrajT,1' rliiIrintaalse
teave, tulemuste protokollid ja pärast olümpiaadide toimumist ülesanded (tavaliselt koos lahendustega). Olümpiaadideks valmistumisel on abiks ka TÜ Teaduskooli kursu- sed. AJALUGU Olümpiaadi I voorus (ehk piirkonnavoorus) osalevad 6.–12. klasside õpi- lased. Lõppvoorus osalevad õpilased 9.–12. klassini. Lõppvooru kutsutakse iga piirkonna võitja, kes on saavutanud 60 protsenti maksimumpunkti- dest, ja peale selle paremate tulemustega õpilased punktiarvestuse alusel. Kokku 25 õpilast 9.–12. klassidest. Olümpiaadi voorude küsimused on ühtsed. Teemad on klassidel erinevad. Olümpiaad toimub üle aasta. 160 LISA 9 BIOLOOGIA Olümpiaad peetakse kolmes voorus: kooli-, piirkonna- ja lõppvoor. Bio- loogiaolümpiaad toimub kahes erinevas vanuseastmes: põhikooliõpilastele (6.–9. klass) ja gümnaasiumiõpilastele (10
annaabi.ee 
