2 2 . 3 2) Leidke vahemikus ; 2 2 a) funktsiooni f x nullkohad; b) vahemikud, kus funktsioon f x on positiivne ja kus see on negatiivne; c) funktsiooni f x kasvamis- ja kahanemisvahemikud; d) funktsiooni f x maksimumpunkt. 3 3) Skitseerige funktsiooni f x graafik vahemikus ; . 2 2 2 sin x 1 11. (24.05.2000, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x , x 0; . sin x 1) Selgitage, kas funktsioon f x on määratud lõigul x 0; .
vali Change Object. uspunktiga 0, trendijoone võrrand, R2 võrrand ja telgede tiitlid. Diagramm peab olema võimalikult sarnane näidisega. ith Straight Lines and Markers. ne-More Trendline Options. Avanevas aknas märgista Display R-squared value on Chart, s-Axis Titles-Primary Horizontal, Primary Vertical. Ω saad kopeerida pealkirjaväljalt. itlid ja too välja maksimumpunkt. Diagramm peab olema võimalikult sarnane näidisega. ith Smooth Lines and Markers. rimary Horizontal, Primary Vertical. Sisesta telgedele pealkirjad. Teksti suuna muutmiseks Size&Properties ning vali Text direction valikust Horizontal. Alindeksi sisestamiseks klõpsa ipt. Elements-Legend-Right. hpad ja valides Format Axis. Muuda Major Unit 10. Muuda analoogselt horisontaaltelje s-Axis Titles-Primary Horizontal, Primary Vertical. Ω saad kopeerida pealkirjaväljalt.
x 2 - 4, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 < x < 2 x 2 - 4, kui x 2. X = {(- 2;0 ); (2; )} X = {(- ;-2 ); (0;2 )} 8 Funktsiooni ekstreemumpunkt Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus f ( x) < f (a) ( f ( x) > f (a)) Maksimumpunkt Miinimumpunkt (a;f (a)) y y y = f (x) (a;f (a)) y = f (x) f (x) f (a) f (x) f (x) f (x) f (a)
KOMMENTEERITUD VASTUSED Avo Org PEATÜKK 6. TOOTMINE JA KULUD (LK. 4248) 1. ÕIGE; Majandusteoreetilises (e majandusanalüütilises) arvepidamises tuleb lisaks otsestele e raamatupidamislikele (ilmutatud) kuludele erilist tähelepanu pöörata ka kaudsetele kuludele e alternatiivsetele võimalustele (loobumiskuludele või teisisõnu saamata jäänud tuludele); 2. VALE / ÕIGE; 1) Koguprodukt TP (Q) ei saa olla negatiivne vaid ainult kahanev, sest TP maksimumpunkt on ületatud, just sellele viitab negatiivne piirprodukt MP; 2) Kahaneva koguprodukti puhul on TP kõvera tõus muutunud negatiivseks, kui aga koguprodukt kasvab, on TP kõvera mistahes punkti tõmmatud puutuja positiivse tõusuga; 3. VALE; Kahanevate tulude seadus ; 4. ÕIGE; Kuna firma kogukulud TC on muutuvkulude TVC ja püsikulude TFC summa, siis juhul kui muutuvkulud võrduvad nulliga kuna toodangut pole, on lühiperioodil firma kogukulud TC võrdsed
1 1 2 Kogutulu R (p) = p q = p ( - p + 75) = - p + 75 p . 40 40 Suurim kogutulu on maksimumpunktis, kus R`( p) = 0 ja R``(p) < 0. 1 R`( p) = - p + 75 , 20 1 - p + 75 = 0 20 p = 1500. 1 Kontrollime, kas leitud statsionaarne punkt on maksimumpunkt: R``( p) = - < 0, 20 mis vastab maksimaalsele tingimusele. Ülesanne 4.19. Olgu tulufunktsioon esitatud seosega R(q) = 600 q q2 ning kogukulud seosega C(q) = q3 42q2 + 840q + 5000, kus q on tootmismaht . Leida suurimat kasumit ja suurimat tulu kindlustavad q väärtused. Ülesanne 4.20. Televiisoreid valmistava firma nädala kasum on antud funktsiooniga
12. (2000) On antud funktsioon f ( x) , x (0; ) . sin x 1) Selgitage, kas funktsioon f(x) on määratud lõigul [0 ; ]. 2) Leidke vahemikus ( 0; ) a) Funktsiooni f(x) nullkohad; b) Vahemikud, kus funktsioon f(x) on positiivne ja kus see on negatiivne; c) Funktsiooni f(x) kasvamis- ja kahanemisvahemikud; d) Funktsiooni f(x) maksimumpunkt. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik vahemikus ( 0 ; ). 13. (2001) On antud funktsioon f ( x) ax 2 b ln x . 1) määrake kordajad a ja b, kui f (1) f (2) 1 . 2) Asendage punktis 1) leitud kordajate väärtused funktsiooni avaldisse ning uurige saadud funktsiooni kasvamise ja kahanemise suhtes. 14. (2002) Antud on funktsioon y x 3 3 x 2 . 1) Leidke funktsiooni tuletis.
hüpotees, et ühtlasem tulujaotus soodustab säästmist. Säästude suhe SKP-sse (keskmine säästmiskalduvus) oli statistiliselt olulises positiivses korrelatsioonis investeeringute suhtega SKP-sse (0,437), seega ei lõika tulude ühtlustumine ära tulevase arengu kapitaliressurssi. Keskmise säästmiskalduvuse ja Gini indeksi regressioonivõrranditest osutus parimaks allapööratud harudega parabool, mille maksimumpunkt langes Gini indeksi väärtusele 14,8. Mudel oli statistiliselt usaldatav tõenäosusega 0,999 ning kirjeldas 37,7% keskmise säästmiskalduvuse varieeruvusest. Seega väheneb siirdemajanduse tingimustes keskmine säästmiskalduvus seda kiiremini, mida ebaühtlasemaks tulujaotus osutub. Kodumaiste investeeringute suhe SKP-sse oli Gini indeksiga seotud veelgi tugevamini. Langev sirge (korrelatsioonikordaja 0,69) kirjeldas 48,1% resultaatnäitaja variatsioonist. Seega, mida
kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad. 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte.
Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla
Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumpunkt: Ekstreemumpunktiks on funktsiooni w = f (P ) määramispiirkonna sisepunkt A kui sellel punktil leidub selline ümbrus S(A,r), milles funktsiooni muut f = f ( A) - f ( P ) säilitab märki. 2 Maksimumpunkt: f > 0 A lokaalne maksimum Miinimumpunkt: f < 0 A lokaalne miinimum Statsionaarne punkt: Kui funktsioonil w = f (P ) on määramispiirkonna punktis A kõik osatuletised wi , i = 1,2,..., n ja wi ( A) = 0 , siis on punkt A funktsiooni w = f ( P ) statsionaarne punkt. Lause: Iga ekstreemumpunkt on statsionaarne punkt, vastupidine aga ei pruugi kehtida. 1) Leida statsionaarsed punktid: a) I j osatuletised: wx, wy ? b) wx=0, wy=0 x=?, y=
Joonisel 1 on seos mittelineaarne ja sellel kõveral tõus erinevates punktides erineb. Üldiselt võib graafikud, mida kõige sagedamini kasutatakse majandusmudelites, jagada nelja rühma sõltuvalt sellest, kuidas uuritavad muutujad omavahel seotud on: Ø seos on negatiivne Ø seos on positiivne Ø seosel on kas miinimum või maksimumpunkt Ø seos puudub Positiivse tõusuga Seos puudub lineaarne seos Seos miinimumpunktiga x konstantne y y Seos puudub
Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis üleminekul väärtusest x = x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f ( x0 ) on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt ( x0 ; f ( x0 ) ) funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f ( x ) . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) < 0 . Kui x 0 on miinimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) > 0 .
otsuste juures huvitab. Arrow teoreem ei tähenda, et kollektiivne otsusetegemine on võimatu. Võimalik ja võimatu sõltub sellest, millist infot me otsusetegemise alusena kasutame. Kui vaatame vaid eelistuste järjestust, ei pruugi lõpliku otsuseni jõuda. Teatud tingimustel - ka enamushääletus (mille aluseks on individuaalsed eelistusjärjestused) annab stabiilse tulemuse (ja ei vii tsüklilise hääletamiseni). Kui eelistused on ühetipulised (vaid üks lokaalne maksimumpunkt). Ühetipulised eelistused – inimene eelistab kõikidest valikutest rohkem vaid ühte (nt soovi ellu jääda) Rikub Arrow 3.teoreemi. Kui kõigi hääetajate eelistused on ühetipulised ja otsuseid tehakse enamushääletuse teel, siis otsustavaks saab mediaanhääletaja eelis (kõige keskmisem väärtus) – Duncan Black. Kahetipulised eelistused Maksuhind – kui palju peab inimene täiendavalt maksu maksma, kui valitsuse
Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis üleminekul väärtusest x x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f x0 on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt x0 ; f x0 funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f x . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f x0 0 ja f x0 0 . Kui x 0 on miinimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused:
sõltumatus ebaolulisetest alternatiividest ning alternatiivide piiramatus. 134. Milles seisneb Arrow teoreemi olemus? Arrow teoreemi olemus seisneb selles, et kui on tegemist kolme või enama indiviidiga, siis pole olemas mehhanismi, mis rahuldaks kõiki soovitavaid tingimusi. 135. Milles seisneb ühe- ja mitmetipuliste eelistuste olemus? Ühetipuline eelistus on eelistus, mille puhul esineb kasulikkushinnangu maksimumpunkt ainult ühe hüviste koguse puhul. Mitmetipulise eelistuse puhul esineb kasulikkushinnangus hüppeid. 136. Millist hääletajat nimetatakse mediaanhääletajaks? Kuidas mediaanhääletaja välja selgitatakse? Mediaanhääletaja on mingi tunnuse alusel järjestatud hääletajate rea keskmine liige. Kontrollitakse, kas kõik hääletajad ikka on ühetipuliste eelistustega. Siis järjestatakse nad ja leitakse mediaan. 137
jaoks. Tekib loomulik k¨ usimus: millised on piisavad tingimused, mille rahul- damise korral on kriitilises punktis lokaalne ekstreemum? V~oib arutleda nii: Lokaalsed ekstreemumid on punktid, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega v~oi vastupidi. Seega lokaalses ekstreemumis tuletis vahetab m¨arki. Kui tuletis on positiivne enne ekstreemumit ja negatiivne peale ekstreemumit, siis kasvamine asendub kahanemisega ning vaadeldav punkt on maksimumpunkt. Kui aga tuletis on negatiivne enne ekstreemumit ja posi- tiivne peale ekstreemumit, siis kahanemine asendub kasvamisega ning vaadeldav punkt on miinimimpunkt. Seega v~oime s~onastada j¨argmise v¨aite: Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funkt- siooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨
jaoks. Tekib loomulik k¨ usimus: millised on piisavad tingimused, mille rahul- damise korral on kriitilises punktis lokaalne ekstreemum? V~oib arutleda nii: Lokaalsed ekstreemumid on punktid, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega v~oi vastupidi. Seega lokaalses ekstreemumis tuletis vahetab m¨arki. Kui tuletis on positiivne enne ekstreemumit ja negatiivne peale ekstreemumit, siis kasvamine asendub kahanemisega ning vaadeldav punkt on maksimumpunkt. Kui aga tuletis on negatiivne enne ekstreemumit ja posi- tiivne peale ekstreemumit, siis kahanemine asendub kasvamisega ning vaadeldav punkt on miinimimpunkt. Seega v~oime s~onastada j¨argmise v¨aite: Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funkt- siooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨
annaabi.ee 
