arve aij aga kordajateks. Definitsioon Arve c1, c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (2) kõiki võrrandeid, nimetatakse selle võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarne võrrandisüsteem Näide Lineaarse võrrandisüsteemi - x1 + x2 + 2 x3 = 1 2 x1 - x2 + 3 x3 = -2 üheks lahendiks on (0; 7/5; -1/5) . Lahendiks on aga ka vektorid (d; 7/5(1 + d); -1/5(1 + d), kus d on suvaline reaalarv. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Definitsioon Lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriksit a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A = aij = am1 am 2 amn nimetatakse süsteemi (2) maatriksiks. Lisades maatriksi A parempoolsesse serva vabaliikmete veeru, saame süsteemi (2) laiendatud maatriksi: a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2
Kui determinandis on kaks rida maatriks A_1,mille jaoks A_A_1 _ niisuguse rööpküliku pindalaga omavahel võrdsed, siis determinant A_1 _A _ I. mis on ehitatud vektoritele alfa ja võrdub nulliga. Lineaarse võrrandisüsteemi beeta kui külgedele ja mis on risti Seega on eelmise omaduse tõttu maatrikskuju, Kronecker-Capelli nende vektoritea ning suunatud nii, determinant võrdne nulliga ka siis, kui teoreem. Näide. et lühem pööre vektorist alfa determinandi Kaks rida on võrdelised. Üldise korrastatud (tunmatud on vektorini beeta ümber vektori y 5. omadus. Kui determinandis mingi rea iga võrdusmärgist vasakul teineteise toimub vastupäeva kui vaadata
· Suurust // nim kompleksarvu mooduliks ja teda arvutame valemiga: · Kehtivad omadused (1-7) · Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada ja tõlgendada punktidena tasandil, kus on fikseeritud ristkoordinaadistik (Cartesiuse koordinaadistik) · Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele vastava kompleksarvu kaugusena koordinaat telgede alguspunktist. · Suurust fii nim kompleksarvu argumendiks. · 1. algebralinekuju 2.maatrikskuju 3. vektor kuju 4. trigonomeetrilinekuju 5. eksponentkuju · Euleri valem: · Moivre valem: Algebralised süsteemid · algebralise süsteemi mõiste koosneb hulgamõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. · Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest, maatriksitest, sõnadest, sündmustest jne või ükskõik millistest ühelaadsetest objektidest. Edaspidi nim hulka M elementideks.
Om4 (/)= / Kompleksarvu kujud. Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada punktidena tasandil, kus on fikseeritud Carteesiuse ristkoordinaadistik. 1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed.
hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui mistahes xV on eeskirja £ alusel vastavusse seatud kinnine.,C ; +C F=Xt*A*X (X on ruutvormi muutujate maatriks nx1) üks kindel y hulgast W, siis öeldaksem et on määratud ühene kujutus hulgast V hulka W. Hulka C, mille elementideks on kõik sellised 2x2 järku ruutmaatriksid,
Vôimalike lahendite arv: 1) Reaalarvulised lahendid puuduvad 2) Lôpmata palju lahendeid 3) Kindel arv lahendeid (konkreetsed arvud vôi konstantidega üldlahend). Lineaarse vôrrandsüsteemi üldlahend: igale muutujale vastab konstante sisaldav avaldis, mis rahuldab süsteemi kôiki vôrrandeid. Nad vôivad olla omavahel avaldiste kaudu seotud. Lineaarse vôrrandsüsteemi erilahend: andes üldlahendi konstantidele väärtusi saab erilahendi. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,...,m ja j=1,...,n. X muutujate maatriks; B vabaliikmete maatriks; A kordajate e. süsteemimaatriks. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada
10. Gaussi meetod lin. Võrrandite lahendamiseks ,süsteemi laiendamine maatriksi abil. 1) 2 LVS on samaväärsed kui neil on ühed ja samad lahendused. 2) LVS teisendades samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi -a)LVS mistahes võrrandit korrutatakse mistahes 0-st erineva arvuga. b) LVS mistahes võrrandite liidetakse mistahes arvu kordne terve võrrand. 3) LVS st lõpliku arvu teisendustega a) ja b) saadud LVS on samaväärne esialgse maatrikskuju süsteemiga A. Gaussimeetodi rakendamisel kirjutatakse LVS laiendatud maatriks kasutatakse teisendusi a) ja b) ridadega.mingi arvu teisendamise abil saadakse (( )) maatriksis saadakse K-järku ühikmaatriks . Maatriksile süsteemist s aadakse antus süsteemi lahendid.lahendid võivad ola 3 tüüpi. 11. 2 ja 3 järku determinantide mõiste ja nende arvutamine. Determinant-on lin
lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui n = k on süsteemil ainult üks lahend k < n aga on süsteemil lõpmata palju lahendeid Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Põhi idee signaalis). Iga komplekseksponendi faas on tema 8. Ühekordse signaali Fourier' integraal ja aknafunktsiooniga, üksteisele järgnevad segmendid kriteeriumidel on viia sisse nö penalty funktsiooni amplituudi kui komplekssuuruse faas. Maatrikskuju Kumbagi liidetavat saab tekitada omaette. Esimene aga määratakse andmetest nii, et nad kattuvad liidetav on täiesti juhuslik (mitte ennustatav), teine kompleksspekter modelleerimis veale, mis kasvab järgu P kasutades on signaali vektor
Adjungeeritud maatriks ~A. Olgu Aik n2-maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Siis maatriksi A adjungeeritud maatriks ~A saadakse maatriksi alamdeterminantide maatriksi transponeerimisel, s.t. ~A=[Aik]T. NB! ÕPI NÄIDE VIHIKUST!!! Maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui ta on regulaarne, st. |A|=detA 0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed
AT = ||bji|| Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4. (AB)T = BTAT iga A Rmxn ja B Rnxp korral 9. Lineaarne võrrandisüsteem, selle lahend ja maatrikskuju. K - mingi korpus; a1, ...,an K, b - fkseeritud arvud; x1, ..., xn - tundmatud skalaarid; ai - kordajad; b - vabaliige Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Võrrandi lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x 1, ..., xn väärtusi c1, ..., cn R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x 1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset
liitmine. Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada treppkujule, mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise
mõju on eraldi välja toodud 1 Mitmene lineaarne regressioonmudel Maatrikskuju Valimi maht n, parameetrite arv k. Iga objekti y väärtus leitakse eraldi yi b1 b2 x2i b3 x3i ... bk xki ui (i 1,..., n ) y1 b1 b2 x21 b3 x31 ... bk xk 1 u1 · Parameetrite arv on k
(6.4) . x1 x Kui esitada muutujad x i (i = 1,...,n) maatrikskujul X= n ja vabaliikmed bj (j = 1, ...,m) b1 b maatrikskujul B = m , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,...,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) . Süsteemil (6.1) võib 29. leiduda täpselt üks lahend; 30. lahend puududa (võrrandid on vastuolulised); 31. leiduda lõpmata palju lahendeid (tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust). Viimasel juhul saab süsteemi (1) jaoks välja kirjutada üldlahendi,
Kui esitada muutujad x i (i = 1,...,n) maatrikskujul X= ja vabaliikmed bj (j = 1,...,m) x n - 34 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina b1 maatrikskujul B = , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . b m Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,...,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) . Süsteemil (6.1) võib 1. leiduda täpselt üks lahend; 2. lahend puududa (võrrandid on vastuolulised); 3. leiduda lõpmata palju lahendeid (tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust). Viimasel juhul saab süsteemi (1) jaoks välja kirjutada üldlahendi,
S¨ usteemi nimetatakse vastur¨ a¨ akivaks, kui tal puuduvad lahendid. N¨ aide V~orrand 0x = 0 on koosk~ olaline (l~ opmata palju lahendeid). V~ or- rand 2x = 6 on m¨a¨ aratud (parajasti u¨ks lahend). V~ orrand 0x = 1 on vastur¨a¨akiv (lahendid puuduvad). 2 LVS-i maatrikskuju Defineeerime maatriksid a11 a12 . . . a1n x1 y1 a21 a22 . . . a2n x2 y2 A= . .. .. .. , x = . , y=. .. . . . .. .. ak1 ak2 . . . akn xn yk Siis LVS 1
Nüüd võime võrrandsüsteemi kirja panna maatriksite korrutisena A X ' B . Üldjuhul: n tundmatut sisaldava ja n võrrandist koosneva lineaarvõrrandsüsteemi a11 x1 % a12 x2 % ... % a1n xn ' b1 a21 x1 % a22 x2 % ... % a2n xn ' b2 ............................................ an1 x1 % an2 x2 % ... % ann xn ' bn maatrikskuju on AX'B kus maatriksid a11 a12 ... a1n x1 b1 a21 a22 ... a2n x2 b2 A' X' B' ... ... ... ... ... ... an1 an2 ..
järjestuses) · row_index - rea number, kust võetakse tulemus, maatriksis table_array (ei tohi ületada maatriksi table_array ridade arvu). · range_lookup - tõeväärtus(TRUE või FALSE), kui TRUE (või puudub), peavad esimese rea väärtused olema kasvavas järjestuses; kui FALSE, ei pea andmed olema sorteeritud. LOOKUP 49 Lookup-funktsioonil on kaks kuju: vektor- ja maatrikskuju. =LOOKUP (lookup_value, lookup_vektor, result_vektor) · lookup_value - otsiväärtus · lookup_vektor - vektor (ühemõõtmeline maatriks), kust otsitakse · result_vektor - vektor, kust võetakse tulemus. Funktsiooni LOOKUP vektorkuju otsib otsivektorist otsiväärtuse, siirdub vastavasse kohta tulemivektoris ja võtab sealt väärtuse. Otsivektor ja tulemivektor võivad olla erisuunalised (horisontaalsed või vertikaalsed) või paralleelsed
annaabi.ee 
