Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Logaritm". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
loga, logaritm, logaritmi, logan, alog, avaldise, logaritmide, kirjutata, naturaallogaritm, potentseerimine, arvudel, logaritmimine, summaga, jagatise, jagaja, astendaja, üheltAnde Andekas-Lammutaja Matemaatika Logaritm Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N. Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. Jagatise logaritm on võrdne jagatava ja jagaja logaritmide vahega. Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. Potentseerimiseks nimetatakse avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist. Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = logaX, kus a > 0 ja a 1. Logaritmvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses. logaN = r ar = N alog N = N a logN = log10N lnN = logeN logaN1N2 = logaN1 + logaN2 loga N1/N2 = logaN1 logaN2 logaNr = rlogaN logaN = logbN / logba
LOGARITMIMINE Logaritmi I definitsioon Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, kui arvuga c alust a astendades saadakse arv b. logab = c <-> ac = b logab = c [logaritm b-st alusel a] a logaritmi alus a > 1 v 0 < a < 0 ; a 1 b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2 log-1x log log-1x = Logaritmimise reeglid ja nende järeldused I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga.
ARVUDE LOGARITMIMINE JA POTENSEERIMINE Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t Loga N1 * N2 = loga N1 * loga N2 Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t loga N1 / N2 = loga N1 loga N2 Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega, s.t loga Nc = c* loga N Neet kolm valemit on logaritmimise eeskirjad. Need valemid on potenseerimise eeskirjad, kui vasak ja parem pool ära vahetada: s.t loga N1 * loga N2 = Loga N1 * N2 s.t loga N1 loga N2 = loga N1 / N2 s.t c* loga N = loga Nc Näited (logaritmimine): 1.) log 10x = log 10 + log x = 1+ log x 2.) log 100a / b = log (100a) log b = log 100 + log a log b = 2 + log a log b 3.) log 10 m = m * log 10 = m*1 = m Näited (potenseerimine): 1.) log a + loga 5 = log 5a 2
ax x bx=(ab) nt: 2 x 5 =0,01 (2x5)=1/100=10 10=10 x=-2 2) sulgude ette toomine x1+x2 x1-x2 ax1 x ax2=a ax1/ax2=a 1)Ühesuguste alustega astme korrutamisel/jagamisel tulevad astendajad liita/lahutada 2)Astme astendamisel korrutatakse astendajad 3)Astme juurimisel tuleb astme näitajad jagada juurijaga 4)Juure astendamisel tuleb astendada juuritav 5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad Arvu logaritm b Olgu avaldis a =c b 1) kui on antud a ja b, siis c=a b 2) kui on antud b ja c, siis a=c b 3) kui on antud a ja c, siis b=loga a-logaritmi alus b-logaritmitav c-arvu b logaritm alusel a Antud arvu logaritmiks antud alusel nimetatakse astendajat, millega tuleb astendada antud alust, et saada antud arv.
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused Põhiteadmised · Arvu logaritmi mõiste ja omadused; · naturaallogaritm; · eksponent- ja logaritmfunktsioonid, nende graafikud ja omadused. Põhioskused · Avaldiste logaritmimine ja potentseerimine; · üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele; · eksponent- ja logaritmfunktsiooni omaduste kasutamine vastavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide pöördfunktsioonide, nende määramis- ja muutumispiirkondade leidmine ning graafikute skitseerimine. Valemid · Arvu logaritm ja selle omadused ac = b c = loga b, kus a > 0, b > 0, a 1
Logaritmid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi definitsioon Definitsioon Arvu x logaritmiks alusel a ( a > 0, a 1 ) nimetatakse arvu c, mille korral ac = x. Näited Arvu 25 logaritm alusel 5 on 2, kuna 52 = 25 Arvu 0,125 logaritm alusel 2 on -3, kuna 2-3 = 1/8 = 0,125 Logaritmi leidmist nimetatakse logaritmimiseks. Arvu x (logaritmitava) logaritmi alusel a märgitakse sümboliga loga x . Näited logaritm log 3 81 = 4 log1/ 2 1024 = -10 alus logaritmitav algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Kümnend- ja naturaalogaritmid Logaritmi aluseks võib olla suvaline positiivne arv a 1. Kui alus a = 10, siis nimetatakse vastavat logaritmi kümnendlogaritmiks ja tähistatakse sümboliga log x (venekeelses kirjanduses lg x) . Näited log 100 = 2, sest 10 2 = 100
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 . 2 4) log 45 1=0 , sest 450 = 1. 5) log 5 (-25) ei ole olemas, sest võrrandil 5x = -25 lahend puudub. Logaritme alusel 10 nimetatakse kümnendlogaritmideks ja tähistatakse
LOGARITM
Eksponetfunktsiooniks nim funktsiooni y=ax ,kus a>0 ja a=1
Eksponetfunktsiooni omadused:
*Eksponentfunktsiooni y=ax määramispiirkond on reaalarvude hulk R
*Muutumispiirkond on positiivsette reaalarvude hulk.
* Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
a m 33) esita juure abil a n n a m 34)a n a m a n m 35)a n : a m a n m 36) a n m a nm 37) ab a n b n n n a an 38) b bn c 39) Kirjuta logaritmi def : a =b Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b c=lo g a b 40) a) Naturaallogarimi mõiste selgitus : on logaritm alusel, kus e on irratsionaalarv. b) Kuidas arvutatakse e väärtus ja milline on e ligikaudne väärtus? n 1 e=lim 1+ n→∞
suhtes sümmeetrilised y-telje suhtes x1 + x 2 Eksponent f-ni(y=ax) graafik läbib Haripunkt: H x = 2 punkti(0;1) 57. F-ni mõiste. Määramis- ja muutumispk. F- 69. Arv e ni graafik. 70. Arvu logaritm y=f(x) log a c = b a b = c , kus a 1, a > 0, c > 0 Määramispiirkond on muutuja x kõik a-logaritmi alus väärtused b-logaritm 58. F-ni nullkohad.Positiivsus- ja c-logaritmitav negatiivsuspk I. Kümnendlogaritm
x 1 x 13) 4 2 3 x ( log 2 ) 2 ( x1 = 3 ja x2 = -1,5 ) 2 2x 14) 4 3x 26 x ARVU LOGARITM Arvu logaritmi definitsioon: Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b. log a b=c a =b logaritm on astendaja! c log a b c a c b a loga b b , kus b > 0, a >0 ja a 1 Pea meeles! log a 1 0; log a a 1 b
Neid võrrandeid saab lahendada mitut moodi vastavalt sellele, kas absoluutväärtuseid on üks või mitu. 1) Kui absoluutväärtusi on võrrandis üks: Kõige lihtsam on sel juhul võrrandit lahendada, kasutades absoluutväärtuse definitsiooni. Läbi tuleb proovida kaks varianti. Variant, kus absoluutväärtusega piiratud avaldise väärtus on vastavalt positiivne ja negatiivne. Näide: |x-3|=2 1) x-3>0 -> x>3 2) x-3<0 -> x<3 Edasi kaotatakse absoluutväärtused ning lahendatakse kaks lineaarvõrrandit, negatiivse variandi kõrval vahetatakse aga märgid! 1) x-3=2 2) -x+3=2 x1=5 x2=-1
( 5) lim x a [ f ( x ) - g( x ) ] = A - B ( 6) lim x a [ f ( x ) g( x ) ] = A B f ( x) A ( 7 ) lim x a g ( x ) = , kus B 0 B ( 8) lim f [ g ( x ) ] = lim f ( y ) , kui lim f ( y ) on olemas. ( Siin y = g( x ) ) x a x B x B 6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused · Arvu logaritm ja selle omadused ac = b c = loga b, kus a > 0, b > 0, a 1 alog b = b loga1 = 0 logaa = 1 log a = b 10b = a loga bc = loga b + loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga = loga b loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga bn = nloga b, kui b > 0
15 ⋅ 30 − 0,1−1 15 − 10 5 8⋅5 8 1 1 ⋅ 100 5 15% on , seega on otsitav arv = . 8 8 ⋅ 15 6 5 Vastus. Arv on . 6 a2 2 3 5 b Näide 13. Koondada 4b 2 + 3a b − 3a 3 − 3 a 2b 4 . b a a Lahendus. Avaldise esimeses liikmes korrutame kuupjuure all oleva murru lugejat ja nimetajat b-ga ning kolmandas liikmes teeme samasuguse korrutamise a 2 -ga, sest siis saame nendest nimetajatest kuupjuure ära võtta. Teises ja neljandas liikmes toome täisastme juure ette. Koondame sarnased liikmed. a2 2 3 5 b 3 2 4 a 2 ⋅ b 2a 3 2 b ⋅ a2 4b3 + a b − 3a 3 − a b = 4b 3 + a b − 3 a 3 − b3 a 2 b = b 2
4b-ax 3 3 2 3x NB! 4 y= +(a -2b) + sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, on naturaallogaritmi alus. a-e x+3 5 a 2 +x 2 cos 2 y 3 x 2 2 by 5 y= ln - 2
x= , y= , z= , D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d2 c2 , Dz = a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( < , > , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a > b , siis b < a . 2. Kui a > b ja b > c , siis a > c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a > b , siis a + c > b + c . 11 4. Võrratuse märk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe
D D D kus d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx d 2 b2 c2 , Dy a2 d2 c2 , Dz a2 b2 d2 . d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 2.9 Võrratus Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk ( , , või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Võrratuse omadused 1. Kui a b , siis b a . 2. Kui a b ja b c , siis a c . 3. Võrratuse mõlema poolega saab liita ühe ja sama avaldise (arvu): kui a b , siis a c b c . 11 4
Funktsioonid II kasvamine ja 1) selgitab liitprotsendilise anded, kahanemine. kasvamise ja kahanemise bioloogilised Eksponentfunktsio olemust; ülesanded. on, selle graafik ja 2) lahendab liitprotsendilise omadused. Arvu kasvamise ja kahanemise logaritm. Korrutise, ülesandeid; jagatise ja astme 3) kirjeldab eksponentfunktsiooni, logaritm. x Logaritmimine ja sh funktsiooni y = e omadusi; potentseerimine. 4) selgitab arvu logaritmi mõistet Üleminek logaritmi ja selle omadusi; logaritmib ning potentseerib lihtsamaid avaldisi;
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
se tõusuga sirge. tada võimalikult kõrgele ja võimalikult madalale (sirged peavad olema paralleelsed). Vabaliikme väärtuse koos määramatusega saab jällegi leida märgitestist (valemid (21) ja (22)). 5.2 Teiste funktsioonide regressioonsirged Keerulisemate ja kumeramate sõltuvuste jaoks regressioonkõveraid ei joonistata. Selle asemel teisendatakse katsetulemusi nii, et need kujutaksid graafikul lineaarset sõltuvust. Mõõdetud suurustest võetakse logaritm, eksponent, pöördväärtus või teisendatakse tulemusi muul sobival viisil. Näiteks astmefunktsiooni y = Axn korral võib graafikul kujutada y-xn sõltuvust või log y−log x sõltuvust. Mõlemal juhul on sõltuvuseks sirge, mille tõus võrdub esimesel juhul konstandiga A, teisel juhul korrutisega n log A. 19 6 Abiks eksperimendis Must kast Must kast on salapärane karp, kuhu on peidetud elektriskeem
Näitame, et sel juhul liitfunktsiooni F(x)=f(g(x)) tuletis järgmine: F´(x)= fu´(u) *gx´(x) Joonis 14. Kuna funkt. u=g(x) on diferentseeruv, järeldub, et ∆u→0 Saame ∆y ∆u F ´ (x )= lim ∗ lim =f ´ u (u)∗g ´ x ( x ) ∆u→0 ∆ u ∆ x→ 0 ∆ x m.o.t.t Logaritmi omadusi lna b=blna ln ( ab )=lna+lnb a ln =lna−lnb b Logaritmiline diferentseerimine ehk tuletise võtmine logaritmi abil. Seda võtet peab rakendama, kui funktsioon on kujul y=[ f (x ) ] g( x) Võib rakendada, kui funktsiooni eelnev logaritmimine teeb tuletise võtmise lihtsamaks x x (¿¿ α ) ´ , ( a ) ´ tabelis ¿ x (¿¿ x) ´ ei ole tabelis ¿ Joonis 15. Ilmutamata kujul ehk võrrandiga antud funktsiooni diferentseerimine Joonis 16. Erinevate matemaatiliste tehete näited Wordi kasutamisel: df dx 0
5 ax+b 2a 2b+a a+b NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e bx+2,7 4b z=cos( x)+ on naturaallogaritmi alus. a+b ab
5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5
1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 3.
5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by
y a ln x x 2 3x d) Millise a korral on funktsioonil ekstreemum punktis x = 1 Määrake ekstreemumi liik. Vastus: a = 1; x = 1 on miinimumkoht ex y ln x2 x e) Antud on funktsioon 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Lihtsustage funktsiooni avaldist , kasutades logaritmi omadusi . 3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 4) Arvutage funktsiooni miinimumpunkti koordinaadid. Vastus: 1) X= ( 0; ); 2) y = ln x + x + x2 ; 3) X=(0,5 ; ); X=( 0; 0,5); 4) Xmin = (0,5; ln 2 + 0,75) 1 f x ln x f) Antud on funktsioon
4b-ax 3 3 2 3x 2a 2b+a a+b 4 y= +a -2b + sin x2 2,5y bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin 3 y 2 +sin2 a+b ab NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaitmi alus. 3 2 b-e y= x +a - log 2 3 ax+ 3 cos y z=sin ax+ + as ab c Variandid 1 a y c z 0 1 0 4 1 4 1 1 2 3 2 2
d) Millise a korral on funktsioonil y a ln x x 3x ekstreemum punktis x = 1 2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2 e) Antud on funktsioon x 1) Leidke funktsiooni määramispiirkond. 2) Lihtsustage funktsiooni avaldist , kasutades logaritmi omadusi . 3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 4) Arvutage funktsiooni miinimumpunkti koordinaadid. Vastus: 1) 0; ; 2) y ln x x x 2 ; 3) X 0,5; ; X 0; 0,5 4) 0,5; ln 2 0, 75 -2- - 1
5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by
5 ax+b 2a 2b+a a+b NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e bx+2,7 4b z=cos( x)+ on naturaallogaritmi alus. a+b ab
4 y ( a 2 b) 2 sin x 2 2 2,5 y b x 2,7 4b 4 z cos( x) a sin y sin 3 2 Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad ab a b avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e ae x 3 a x 2 2 2 b y 2 3 2
5 ax+b 3 2a 2b+a a+b 4b-ax 3 3 3x +(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by
annaabi.ee 
