tuletis aja järgi): a = v = r . (1.4) Võrrandeid (1.3) ja (1.4) nimetatakse punktmassi liikumisvõrranditeks. Et kiirus- ja kiirendusvektor komponentkujul esituvad v = i v x + j v y + k v z = (v x , v y , v z ), (1.5) a = i a x + j a y + k a z = ( a x , a y , a z ), siis liikumisvõrrandid komponentkujul avalduvad v x = x , a x = v x = x. (1.6) Analoogilised võrrandid kirjutame ka kiirus- ja kiirendusvektori y- ja z-komponentide jaoks. Võrrandid (1.6) on liikumisvõrrandid kõige üldisemal juhul. Käsitleme näitena gümnaasiumikursusest tuttavat ühtlaselt muutuvat sirgjoonelist liikumist ( a = const ), kus keha kohavektor muutub ajas järgmise seaduse järgi: at 2
graafikul uuritavas ajavahemikus leitud tõus. • Koordinaadi muut jagatud selleks kulunud aja muuduga 27 Ühtlane ja ühtlaselt muutuv sirgliikumine • Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille korral mistahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused (v=const, a=0). • Sellist liikumist, mille kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul 28 Liikumisvõrrandid • Iga konstantse kiirendusega liikuvat keha saab kirjeldada liikumisvõrrandite abil. • Koordinaatkujul avalduvad liikumisvõrrandid a x const järgnevalt: v x v0 x a x t 2 x x0 v0 x t a x t 2 29 • Ühtlaselt muutuva liikumise kiiruse graafikuks on tõusev või langev sirge.
MEHAANIKA füüsika osa, mis uurib mehaanilist liikumist. MEHAANILINE LIIKUMINE keha asukoha muutumine ruumis teiste kehade suhtes, aja jooksul. MEHAANIKA PÕHIÜLESANNE määrata keha asukoht suvalisel ajahetkel STAATIKA füüsika osa, mis uurib, kuidas erinevad jõud üksteist tasakaalustavad. KULGLIIKUMINE selline liikumine, mille korral keha kõik punktid liiguvad ühesuguselt. (keha punktide ühendused on sirged) PUNKTMASS keha, mille mõõtmed võib antud liikumistingimustes arvestamata jätta. Läbitud teepikkus on suurem kui keha mõõde. TRAJEKTOOR kujuteldav joon, mida mööda keha liigub. (srge, kõverjooneline, ring) NIHE suunatud sirglõik, mis ühendab keha algasukohta lõppasukohaga. Nihe on vektorsuurus, sellel on 1)suund. 2) arvväärtus Tähis: s Arvväärtus ehk moodul: s= ... m TAUSTKEHA keha, mille suhtes määratakse keha asukoht. On vabalt valitav. TAUSTSÜSTEEM taustkeha + sellega seotud koordinaadistik + kell aja määramisek...
meridiaani suhtes 45º nurga all. Tuule kiirus on 10 m/s. Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine : liikumisvõrrand, liikumisgraafik, kiiruse võrrand, kiiruse graafik, kiirendus, nihe , vaba langemine, vaba langemise kiirendus. Ülesanne: Liikumist alustanud jalgrattur sõitis esimesed 4 s kiirendusega 1 m/s2, seejärel liikus 0,1 minutit ühtlaselt ja viimased 20 m ühtlaselt aeglustuvalt kuni peatumiseni. Leia keskmine kiirus kogu liikumise vältel. Kirjuta liikumisvõrrandid, nihke võrrandid, kiiruste võrrandid, kiirenduste võrrandid. Visanda graafikud. Ülesanne : Veoauto liikumisvõrrand on x = -10t + 0,4t2 , jalakäija liikumisvõrrand aga x = 3 + 5t . Kirjelda liikumisi, joonesta graafikud. Kas auto ja jalakäija kohtuvad? Kui jah, siis kus ja millal? Ühtlane ringjooneline liikumine : periood, sagedus, joonkiirus, nurkkiirus, kesktõmbekiirendus., kesktõmbejõud
2 =2m/s 2 + 2t 2 x = 4+ 2 t => x = 4 + 2 t + 2 + t 2 t(s) 0 1 2 3 4 X(m 4 7 12 19 28 ) X kl I kursus Mehaanika Ivo Eesm t(s) 0 1 2 3 4 X(m 4 7 12 19 28 ) x m 28 21 14 7 0 1 2 3 4 t s X kl I kursus Mehaanika Ivo Eesm Liikumisvõrrandid ühtlaselt muutuval liikumisel a a = const a = 4 4 t s X kl I kursus Mehaanika Ivo Eesm Liikumisvõrrand s = s(t) ühtlaselt muutuval liikumisel at 2 v 0 = 2m/s a s = v 0 t 2 =4m/s 2 + s = 2t+ 2t2 t(s) 0 1 2 3 4 s(m 0 4 12 24 40 ) X kl I kursus Mehaanika Ivo Eesm
ümber Päikese tiirlev planeet, mille mõõtmed on kaduvväikesed tema orbiidi mõõtmetega). 3. Mehaanika põhiülesanne. Mehaanika põhiülesanne määrata liikuva keha asukoht mistahes ajahetkel. Keha asukoht mistahes ajahetkel. Keha asukohta kirjeldatakse tema koordinaatide abil. 4. Kiiruse definitsioonvalem vektorkujul (1.3) ja projektsioonides (1.3a). 5. Kiirenduse definitsioonvalem üldkujul (1.4) ja projektsioonides (1.4a). 6. Liikumisvõrrandid projektsioonides tuletiste kujul (1.6) ja integraalide kujul (1.6a), (1.6b). 7. Ühtlaselt muutuva liikumise definitsioon. Tema võrrandid veltorkujul (1.7) ja (1.9) ning projektsioonides (1.10). Valemite (1.10) tuletamine. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille käigus keha kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike vältel võrdsete suuruste võrra. 8. Vaba langemise definitsioon ja võrrandid (1.16).
Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohevektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihkejärgi , trajektoori järgi Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraali. 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endas kolme ajas sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse printsiip. Koos annavad need kohavektori muutumisvõrrandi, mis on kinemaatika põhivõrrand ehk liikumisvõrrand. 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. 19. Ellimineerige alljärgnevatest võrranditest aeg ja ilmutage ilma ajata kinemaatilisi suurusi siduv valem. 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21
määrata katsetulemuste statistilise jaotuse on üksikkatse tulemuse ennustamine, rääkimata selle mõjutamisest, väljaspool meie võimalusi . Seda võib nimetada lokaalsuseks signaliseerimise võimatuse mõttes. /Albert, lk 72/ Kuna mõõtmise protsess ei riku lokaalsuse printsiipi mingil rakendataval moel, ning kuna kogu ülejäänud kvantmehaanika (mis puudutab kõikki teisi füüsikalisi protsesse peale mõõtmise see on liikumisvõrrandid) on meie praeguste teadmiste kohaselt absoluutselt lokaalsed. Seega saab meie makromaailm töötada veatult Newtoni mehhaanika kohaselt, mis on samas lokaalne, hoolimata sellest, et fundamentaalsem kvantmehhaanika toob sisse füüsikaliste nähtuste mittelokaalse olemuse. Kasutatud kirjandus: 1. Albert, D. Z. (1992). Quantum mechanics and experience, Harvard University Press. 2. http://en.wikipedia
c) nende arv peab olema võrdne süsteemi vabaduste arvuga. 24) 25) Matem pendlile mõjuva üldistatud jõu avaldis a) kohavektor b) virtuaalsiire c) jõud d) virtuaaltöö 26) Lagrange'i funktsioon 27) Lagrange'i teist liiki võrrand 28) Lagrange'i teist liiki võrrandite eelised: a) Vaba keha diagrammi pole vaja b) Konservatiivsete süsteemide puhul on kogu dünaamika koondatud ühteainsasse funktsiooni c) Reaktsioonjõude pole vaja d) Liikumisvõrrandid saadakse kiiremini Lagrange'i teist liiki võrrandite puudused: a) Reaktsioonjõudusid ei saa arvutada, kui selleks vajadus tekib b) Aluseks olev teooria on matemaatiliselt suhteliselt keeruline 29) Sfääriliselt liikuva keha asendi määramiseks on otstarbekas kasutada nn. Euleri nurki. Vaatleme paigalseisvat teljestikku xyz ja kehaga jäigalt seotud liikuvat teljestikku . M~olema teljestiku alguspunktid olgu kinnispunktis O. Tasandite xy ja lõikejoont ON
Mis on hektkkiirus, keskmine kiirus? Kuidas arvutatakse teepikkust üldiselt? Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi ja on puutujasuunaline antud trajektoori punktis. Keskmine kiirus nihke järgi: Üldjuhul teepikkus arvutatakse, kui integraal. 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. See ongi liikumise sõltumattuse printsiip. 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. 19. Ellimineerige alljärgnevatest võrranditest aeg ja ilmutage ilma ajata kinemaatilisi suurusi siduv valem. 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21. Kujutage joonisel,
v lim Δt0 Δt dt Keskmine kiirus nihke järgi r v t Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal. ds v ,..........ds v dt ,....s v dt dt 17) Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse printsiip. 18) Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. dv a a dt dv a dt dv v v0 a t dt
2) Võrrandite süsteem liikumiste kirjeldamiseks meres Liikumiste kirjeldamiseks meres on vajalik määrata seitse parameetrit u , v, w, p, , T , S ehk seitse tundmatut. Nõutavad seitse diferentsiaalvõrrandit nende tundmatute määramiseks on eelmistes loengutes tuletatud kuus võrrandit: olekuvõrrand , pidevuse võrrand divergentsivaba vedeliku pidevuse võrrand; soolade difusiooni võrrand ja temperatuuri ülekande võrrand ning liikumisvõrrandid, millest viimase võib ümber kirjutada hüdrostaatilises lähenduses, kui: p = g z (7.5) Mastaapanalüüsi põhimõtted Saadud võrrandisüsteemi lihtsustamisel kasutatakse sageli võrrandite liikmete suurusjärkude võrdlevat hindamist mastaapanalüüsi abil. Toome sisse horisontaalse ruumimastaabi L , sügavuse mastaabi H ja ajamastaabi T ning läheme üle dimensioonitutele koordinaatidele
Keskmine kiirus avaldub: nihke järgi: ; trajektoori järgi: Teepikkus arvutatakse üldjuhul integraalina: 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võr- randit. Need on üksteisest sõltumatud liikumisvõrrandid. Liikumiste sõltumatuse printsiipi kirjeldab valem: ( ) { ( ) ( ) mille komponendid annavad koos kohavektori muutumisvõrrandi (ehk liikumisvõrrandi), mis on kinemaatika põhivõrrand. 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand.
koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endas kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on liikumisvõrrandid, 2. Mis on täiendusprintsiip? Ükski uus teooria ei saa tekkida täiesti tühjale kohale. Vana teooria on uue mis on üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse printsiip:
teine tuletis aja järgi): r r r a = v& = &r& . (1.4) Võrrandeid (1.3) ja (1.4) nimetatakse punktmassi liikumisvõrranditeks. Et kiirus- ja kiirendusvektor komponentkujul esituvad r r r r v = i v x + j v y + k v z = (v x , v y , v z ), r r r r (1.5) a = i a x + j a y + k a z = (a x , a y , a z ), siis liikumisvõrrandid komponentkujul avalduvad v x = x&, a x = v& x = &x&. (1.6) Analoogilised võrrandid kirjutame ka kiirus- ja kiirendusvektori y- ja z-komponentide jaoks. Võrrandid (1.6) on liikumisvõrrandid kõige üldisemal juhul. Eraldi näitena käsitleme gümnaasiumikursusest tuttavat erijuhtu – ühtlaselt muutuvat liikumist. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille käigus keha kiirus muutub
1990 Kosmosesse saadetakse Hubble teleskoop. 1992 COBE sateliit avastab ebaühtlused kosmose taustkiirguses, mis on tingitud Suure Paugu aegsest struktuurist. 1992 Galliumdetektori abil detekteeritakse päikeselt saabuvad neutriinud: päevas toimub anduris umbes 1.6 reaktsiooni. Tulemus on väiksem, kui seni päikese toimimist käsitlevatest mudelitest arvutatu. 1994 Zhihong Xia tõestab, et kolmest kehast koosneva süsteemi liikumisvõrrandid ei ole integreeritavad ja liikumine on kaootiline. 1997 Sojourner, kuuerattaline robot maastur sõidab Marsi pinnal. 1997 Wilmut teatab, et ta on klooninud lamba. 1998 Avastatakse, et universum paisub kasvavas tempos. See teadmine on oluline ühendamaks kogu kosmoloogilist mudelit. 1998 Magnetarilt, tugevalt magneetiliste omadustega tähelt lähtuv gammakiirte torm häirib sidesateliitide tööd.
positiivne, liikumisel aga x-telje negatiivses suunas on kiirus negatiivne (joonisel paremalt vasakule). Asi on selles, et kiirus on tegelikult suunaga suurus, ehk vektor, mistõttu teda iseloomustab nii suund kui ka suurus (kiiruse väärtus). Kuna sirgjoonelisel liikumisel saab kiirusvektori suund olla, kas x-telje suunas või sellega vastupidine, on antud juhul tegemist kiiruse projektsiooniga x-teljele ja selle märk annab liikumise suuna.. Näidisülesanne 4. Kahe keha liikumisvõrrandid on vastavalt x1 = 6 + 4 t ja x 2 = - 10 + 8 t , kus aeg on antud sekundites ja koordinaat meetrites. Määrata kehade algkoordinaat, kiirus ja koordinaat ajahetkel t = 2 s. Millises punktis kehad kohtuvad? Lahendus. Antud: Siin kasutame ühtlase liikumise võrrandi üldkuju x1 = 6 + 4t m x = x0 + v t , x2 = -10 + 8t m t=2s kus x0 on keha algkoordinaat (keha asukoht ajahetkel 0 s) ja x01 =
Klassikaline teooria baseerub järgmisel kahel seisukohal: 1) Kõik füüsikalist süsteemi iseloomustavad suurused (koordinaadid, impulsid, impulssmomendid, energia jne) võivad muutuda ainult pidevalt. 2) Kõiki nimetatud suurusi on põhimõtteliselt võimalik määrata süsteemi igas olekus kuitahes täpselt. Klassikalise süsteemi kohta on olemas maksimaalne informatsioon, kui on antud tema liikumisvõrrandid koos vastavate algtingimustega. Nendest andmetest saame arvutada kõik dünaamilised suurused mistahes ajahetkel. Klassikaliste algtingimuste valik tähendab süsteemi kõikide koordinaatide ja impulsside (ka üldistatud mõttes) väärtuste etteandmist mingil fikseeritud ajamomendil, s o süsteemi teatud olekus. Liikumisvõrrandite ühese lahendamise võimalus on seega seotud hüpoteesiga (2). MLT 6004 Kvantmehhaanika 2
Nüüd pole see aga võimalik, sest kui üks keha liigub allapoole, peab teine keha liikuma samapalju üles, ja vastupidi. Kumb keha liigub üles, kumb alla, sõltub sellest, kummale kehale mõjuv jõud (antud juhul raskujõud) on suurem. Antud juhul m1 > m 2 , mistõttu ka P1 > P2 . Seega liigub keha massiga m1 kiirendusega a allapoole ja keha massiga m2 sama kiirendusega üles. Kirjutame nüüd välja mõlema keha liikumisvõrrandid. Vastavalt Newtoni II seadusele r r r r r r m1 a = P1 + T m 2 a = P2 + T . Võttes kiirenduse suuna positiivseks, saame nendest m1 a = P1 - T m 2 a = T - P2 . 18 Kiirenduse leidmiseks tuleb võrranditest elimineerida niidi tõmme T. Selleks liidame ülemiste võrrandite vastavad pooled. Tulemuseks saame m1 a + m 2 a = P1 - P2 . Asendades P1 = m1 g ja P2 = m 2 g ning võttes kiirendused sulgude ette
2. Kui alg- ja lõppkõrgus on võrdsed, siis a) üleslennu aeg võrdub allalangemise ajaga, b) keha langeb maapinnale sama kiirusega, millega ta sealt üles visati. 2. Kõverjooneline liikumine-Vektorkujul või komponentkujul kirjutatud liikumisvõrranditel on see eelis, et nende abil on võimalik kirjeldada ka kõverjoonelist liikumist. Selleks lahutatakse liikumine koordinaattelgede sihilisteks, teineteisega ristuvateks ja seetõttu ka üksteisest sõltumatuteks komponentideks. Liikumisvõrrandid kirjutatakse välja iga telje sihis eraldi ja avaldatakse selliselt saadud võrrandisüsteemist otsitavad suurused. Kaldu horisondiga visatud keha liikumine-maksimaalne lennukaugus Sellest valemist saab teha järeldused: sin a(alfa)=cos(90-alfa ) siis 1) viskenurkade ja90 korral on lennukaugused võrdsed, 2) suurim lennukaugus on viskenurga 0 45 korral. Maksimaalne lennukõrgus 3.Ühtlase pöördliikumisega seotud mõisted.
Arvutada keha nurkkiirendus, lugedes selle muutumatuks. Antud: t = 2 min = 120 s aeg n = 3600 - pöörete arv. Leida: ? - nurkkiirendus Lahendus: Keha alustas pöörlemist paigalseisust seega oli tema algne nurkkiirus 0 0 , 2 minuti pärast oli ta teinud 3600 pööret ehk pöördunud 2 3600 7200 rad võrra. Analoogselt kulgeva liikumisega kirjeldavadd pöördliikumist vastavad liikumisvõrrandid. Pöördenurga jaoks kehtib võrrand t 2 0 t 2 . Asetame võrrandisse arvud 0 0 , t = 120 s ja 7200rad ning avaldame nurkkiirenduse 2 2 7200 rad 2 2 t 14400 s rad 2 Vastus: Keha nurkkiirendus oli s . 35
[Näited loengul] 3.18Kui mehhanismid on ühendatud hargnevasse jadasse, tuletatakse kasuteguri valem iga juhu jaoks eraldi. [Näited loengul] 3.3.2. Liikumisvõrrandite leidmine Arvutuste hõlbustamiseks asendatakse uuritav mehhanism dünaamilise mudeliga, mille liikumist kujundav võrrand on sama, mis uuritaval mehhanismil. Dünaamiliseks mudeliks võetakse üks mehhanismi lüli nn redutseerimislüli. Sageli võetakse redutseerimislüliks alglüli. Et liikumisvõrrandid oleksid samased, tuleb redutseerimislülile omistada tema pöörlemistelje suhtes määratud arvutuslik nn redutseeritud inertsimoment Ir ja teda tuleb koormata arvutusliku redutseeritud pöördemomendiga Tr . Redutseeritud inertsmomendi arvutus lähtub tingimustest, et redutseerimislüli kineetiline energia võrduks tegeliku mehhanismi kineetilise energiaga. I r r2 Kui redutserimislüli kineetiline energia E r = ,
annaabi.ee 
