Koosinusfunktsioon M. Kallasvee DEFINITSIOON FUNKTSIOONI Y=COS X NIMETATAKSE KOOSINUSFUNKTSIOONIKS. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON ON PAARISFUNKTSIOON, S.T. koosinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. COS(-X)=COSX OMADUSED FUNKTSIOONI FUNKTSIOONI y=cos x y=cos x määramispiirkonnaks muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude on lõik [-1;1]. hulk. X=R Y=[-1;1] OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x on perioodiline funktsioon. KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x perioodiks on 2. GRAAFIK y=cosx 1 0,939693 0,766044 0,5 0,173648 -0,17365 y=cosx -0,5 1,5 y-telg -0,76604 1 -0,93969 -1 0,5 -0,93969 x-telg -0,76604 0 -0,5 0
Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon. Siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Funktsiooni y=cosx määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R. Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon. Tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga (pii). Arvu m arkussiinuseks nimetatakse vähimat nurka, mille siinus on m.
selle kaudu saab leida kolmnurga ümberringjoone raadiuse R. Siinusteoreemi kasutatakse kolmnurga arvutamiseks, kui on teada üks külg, selle vastasnurk ja veel kas üks külg või üks nurk. Juhul, kui on teada kaks külge ja ühe külje vastasnurk, tuleb eelnevalt veenduda ka selles, kas otsitav nurk on teravnurk või nürinurk (näiteks sin 150° = sin 30° = 0,5). Kolmnurga nurkade summa peab kokku tulema 180 kraadi. Koosinus ehk koosinusfunktsioon (sümbol: cos) on matemaatikas üks trigonomeetrilistest funktsioonidest. Täisnurkse kolmnurga järgi defineeritakse koosinus nii: täisnurkse kolmnurga mittetäisnurkse nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lähiskaateti b ning selle täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi c pikkuse jagatist.
seisulaine 2. Seisulaine võrrand: x = (2a cos 2 ) cos t a laine amplituud x - koordinaat - lainepikkus - sagedus t - aeg 3. Lainepikkus kahe lähima ühes faasis võnkuva punkti vahemaa Sagedus (võnkesagedus) ajaühikus sooritatud võngete arv. Ühik Hz 4. Harmooniline on võnkumine, mille puhul võnkuva suuruse (voolutugevuse, pendli hälbe) suuruse sõltuvuse ajast määrab siinus- või koosinusfunktsioon 5. n=2 korral ei või magnet olla keele keskel, kuna sellisel juhul on keele keskel seisulainete sõlmekoht, mis ei võngu. Seega sõlmekohale mõjuv jõud ei pane keelt võnkuma. (Vt joonis 29.). Antud katses hakkab keel sellisel juhul arvatavasti võnkuma nii, nagu n=1. 6. Resonants nähtus mille puhul sundvõnkumise korral teatud sageduse juures antud süsteemi võnkeamplituud saavutab maksimumi. Võnkuv süsteem on niisuguse sagedusega jõu suhtes eriti vastuvõtlik. 7
5 -0.939693 220 3.8 -0.766044 -1.5 240 4.2 -0.5 260 4.5 -0.173648 280 4.9 0.1736482 300 5.2 0.5 320 5.6 0.7660444 340 5.9 0.9396926 360 6.3 1 Koosinusfunktsioon 45 90 135 180 225 270 315 360 Nurk kraadides Nurk radiaanides Y=sin(2x)+2cos(X) 0 0 2 20 0.3490658504 2.5221728513 40 0.6981317008 2.5168966393 60 1.0471975512 1.8660254038 y=sin(2x)+2cos(x) 80 1.3962634016 0.6893164987 3 100 1.745329252 -0.6893164987 120 2.0943951024 -1
Siinuse v koosinuse argumenti wt nimetatakse faasiks. Faas näitab, millises seisundis võnkuv süsteem parajasti on. Perioodiliselt muutuvaks suuruseks joonisel on voolutugevuse väärtus antud ajahetkel ehk hetkväärtus i. Voolutugevuse maksimaalset võimalikku väärtus Imnimetatakse amplituudväärtuseks. Mehaanikast teame, et pendli võnkumist saab kirjeldada harmoonilisefunktsiooniga. Koosinusfunktsioon voolutugevus on maksimaalne alguses Siinusfunktsioon korral algab aja môõtmine hetkel, mil i=0 Vooluallikad ja tarvitid moodustavad vahelduvvooluvõrgu. Vahelduvvooluahela aktiivtakistuseks R nimetatakse takistust, mis on olemas ka alalsvoolu korral. Aktiivtakistusel muundub elektrienergia soojuseks. On faasis , pliit, hõõglamp Induktiivtakistust Xl = wL avaldab vahelduvvoolule juhtmepool, mille induktiivsus on L.
2 1+tan=1/cos tan(90°-)=cot IV veerand 270°<<360° 360°- sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin cot=1/tan=cos/sin sin ++-- cos +--+ tan/cot +-+- Siinusfunktsioon y=sinx SINUSOID [0;2] X=R Y=[-1;1] -1sinx1 sin(-x)=-sinx paaritufunktsioon-graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunktide suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n
Gravitatsioonikonstant- on arvuliselt võrdne kahe ühikulise massiga ja ühikulisel kaugusel asetseva ainepunkti vahel mõjuva g. Jõuga Gravitatsiooniseadus- kaks punktmassi tõmbavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende masside korrutistega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga. Hälve Võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. Hälve- võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. Harmooniline võnkumine- võnkumine, mille korral keha liikumist kirjeldab siinus-või koosinusfunktsioon. Hetkkiirus - kiirus mingil suvalisel ajahetkel. Hooke'I 1 seadus- elastsel def. Kehas tekkiv elastsusjõud on võrdeline def. Suurusega Hooke'i 2 seadus- elastsel def. Kehas tekkiv meh. Pinge on võrdeline keha suhtelise def. Suurusega. Hõõrdejõud- On suunalt vastupidine keha liigutava jõuga. Tekib kokkupuutuvate kehade aatomite ja molekulide vastastikmõjul. Hõõrdetegur- mõõtühikuta suurus, mis näitab, mitu korda on hõõrdejõud suurem rõhumisjõust ehk normaalrõhumisest.
läbib endiselt keha masskeset? Ei, pöörlemistelje kaugus masskeset läbivast teljest ei muutu · Kuidas on seotud inertsmoment ja jõumoment? I= M · Kuidas on seotud impulsimoment ja jõumoment? L=I*, M= dL/dt · Kuidas avaldub töö pöördliikumisel? A= M*d · Milline võnkumine on harmooniline? (Valem, tähtede tähendused ja nende mõistete sisu) Võnkumine, kus võnkuva suuruse sõltuvuse ajast määrab siinus- või koosinusfunktsioon. X=A*cos(0t + 0) A-võnkumise amplituud, sulgudes võnkumise faas, 0- algfaas e. faasi väärtus ajahetkel t=0, 0- nurksagedus (ajavahemikus 2 sekundit sooritatud võngete arv, 2/T, või 2 tavaline sagedus = 1/T) · Millest ja kuidas sõltub füüsikalise pendli võnkeperiood? Pendli massist, tema inertsimomendist pöörlemistelje suhtes ning pöörlemistelje ja inertsi- keskme vahelisest kaugusest. · Millest ja kuidas sõltub matemaatilise pendli võnkeperiood?
x Eksponentfunktsioon y=a a>0,a≠1 X=(∞;∞) Y=(0;∞) Logaritmfunktsioon y=logx a>0,a≠1 a x=(0;∞) Y=(∞;∞) Siinusfunktsioon y=sinx X=(∞;∞) Y=)1;1( Koosinusfunktsioon y=cosx X=(∞;∞) Y=)1;1( Tangensfunktsioon y=tanx=sinx/cosx X= Y=(∞;∞) Kootangensfunktsioon y=cotx=cosx/sinx =(∞;∞) 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid. Jada (x ) võib vaadelda kui funktsiooni
10. Miks muutub kivi veest välja tõstes raskemaks? Sest atmosfääri tihedus on väiksem kui vee oma, seega kivile mõjuv üleslükkejõud F ü=g V väheneb. 11. Miks on ükskõik, kas harmoonilist võnkumist kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil? Issand Jumal, ma ei teagi.. Nali, kukk, ära petsin su! Sukeldume hetkeks trigonomeetriasse: cos -90 o=sin . See tähendab, et siinusfunktsioon on faasis nihutatud koosinusfunktsioon. Seega võib võnkumise kirjeldamiseks kasutada mõlemat, erinevus seisneb vaid algfaasis. 12. Millistel hetkedel on võnkuva keha kiirus ja kiirendus maksimaalsed? Kiirus on maksimaalne, kui võnkuv pendel läbib tasakaaluasendit (kiirendus on siis 0) ja kiirendus amplituudi kaugusel tasakaaluasendist (kiirus on siis 0). 13. Kui võnkeperiood on 2 s, milline on siis võnkesagedus? Jälle hull arvutusülesanne. Ära üle pinguta, õps, aju
y e. Logaritmiline funktsioon: y= ln x ⟺ e =x . Määramispiirkond X=(0; ∞¿ . Muutumispiirkond Y=(- ∞ ; ∞ ¿ . f. Trigonimeeritlised funktsioonid: y= sin x; y=cos x; y= tan x; y= cot x. g. m. y= tan x:X=R ∖ x x h. Siinus-ja koosinusfunktsioon: i. Määramispiirkond: X=(- π ∞ ;∞¿. =(2k+1) 2 , k ∈ Z j. Muutumispiirkond: Y=(-1;1) n. y= cot x:X=R ∖ x x =k k. π ,k ∈ Z l. Tangens- ja kootangens funks:
Kõige tähtsam absoluutväärtustega võrratuste lahendamise puhul on piirkonna jälgimine. Piirkonna lahendite väljakirjutamisel tuleb lähtuda nii võrrandi kui ka piirkonnatingimusest. 5. Trigonomeetria Täpsed väärtused Põhiseosed Täiendusnurk,Negatiivne nurk Summa ja vahe Kahekordne nurk Märgid Siinusfunktsioon on I ja II perioodis positiivne, III ja IV perioodis negatiivne. Koosinusfunktsioon on I ja IV perioodis positiivne, II ja III perioodis negatiivne. Tangensfunktsioon on I ja III perioodis positiivne, II ja IV perioodis negatiivne. Üldvalemid Arkusfunktsioonid Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Arkusfunktsiooni väärtusteks on vähimad nurgad, mille väärtus on m. Arkussiinuse väärtused on -/2 ja /2 vahel.
vastupidi. Entroopia S = k lnW, kus k on Boltzmanni koefitsient ja W süsteemi oleku termodünaamiline tõenäosus. Mida tõenäosem on olek, seda suurem on W. Näiteks W saavutab oma maksimaalse väärtuse, kui kahe gaasi molekulid on täielikult segunenud. Entroopiat kasutatakse ka termodünaamika II seaduse sõnastamisel: entroopia kasvab suletud süsteemis toimuvate soojuslike protsesside käigus. Harmoonilist võnkumist kirjeldab siinus- või koosinusfunktsioon: x = x0sin t . kus x hälve, x0 amplituud ja t faas (so. suurus, mis määrab võnkeoleku, ühik on nurgaühik 1 radiaan). Hetkkiirus (ingl. velocity) näitab kiirust antud ajahetkel. Hetkkiirus on vektoriaalne suurus. Tähis v = s / t , kusjuures t 0. Ühik 1 m/s. Hõõrdejõud on võrdne hõõrdeteguri ja normaalrõhumisjõu korrutisega : F = N. Normaalrõhumisjõud on pinnaga ristiolev jõud, mis surub keha vastu pinda.
Esimesel juhul tekib tasandi mingis punktihulgas ja teisel juhul ruumi punktihulgas vektorväli, mida nim. gradientide väljaks. Teoreem 13.1. Funktsiooni z=f(x,y) tuletis vektori s suunas võrdub gradientvektori projektsiooniga vekroti s suunale. Järeldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas võrdub nulliga. Järeldus 1 on ilmne, sest antud juhul =/2. Järeldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt võrdne gradiendi pikkusega. Põhjenduseks piisab märkida, et koosinusfunktsioon saavutab oma maksimaalse väärtuse 1, kui =0. Järeldus 3. Funktsiooni tuletis nivoojoone puutuja suunas võrdub nulliga. 15. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemum, kriitilised punktid, statsionaarsed punktid (definitsioonid). Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingimus. Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks.
* HARMOONILISE VÕNKUMISE VÕRRAND Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse kõiki võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil. x = xm sin/cos t x hälve 1m xm amplituud ehk maksimaalne hälve 1m - ringsagedus ( = 2f) t aeg 1s sin siinusfunktsioon (tasakaaluasend) cos koosinusfunktsioon (amplituudasend) * VÕNKUMSTE LIIGITUS Võnkumine on liikumine, mis kordub perioodiliselt kindla ajavahemiku järel, kusjuures esialgsesse asendisse läheb keha sama teed mööda tagasi. Võnkumise liigitus: · VABAVÕNKUMINE võnkumine toimub süsteemisiseste jõudude mõjul. Vabavõnkumise tekkimiseks peab olema püsiv tasakaaluasend ja väline tõuge. Sumbuv võnkumine. · SUNDVÕNKUMINE võnkumine tekib mingi kindla välise perioodilise jõu mõjul.
kx 2 tuleb kvaasielastsus jõu ületamiseks teha tööd- A = . See töö saab süsteemi 2 kx 2 potentsiaalseks energiaks- Wp = . Võnkumisel muundub Wp Wk-ks ja vastupidi. Hälve on 2 kaugus kui kaugele mass tasakaalupunktist liigub. Hälve muutmise ajas määrab koosinusfunktsioon x = a cos(0 t + ) . Süsteemi maksimaalset hälvet tasakaaluasendist nimetatakse võnkumiste amplituudiks. Amplituud on positiivne suurus. Faas avaldub w0t+a, kus konstant a tähistab faasi väärtust ajahetkel 0 ning kannab nimetust võnkumise algfaas. Võnkesageduseks nimetatakse ajaühikus sooritatud võngete arvu f=1/T. Ühikuks on hertz(Hz). Periood on ajavahemik mille jooksul toimub üks täisvõnge. Nurksagedus on 2
2
12. Logaritmfunktsiooni graafik, omadused-
· Määramispiirkond: positiivsed reaalarvud
· Muutumispiirkond: kõik reaalarvud
· Graafik läbib punkti (1;0)
· Funktsioon kasvav, kui a>1 ja kahanev kui 0
Mõõtühikuks nurgaradiaan, mis on kesknurk, ms toetub raadiuse pikkusele kaarele. 180=rad 5.9 Funktsioon y=sin x Kuna sinfunktsiooni väärtused korduvad 2 järel, siis öeldakse, et sinfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2. · Sinfunktsioon graafik lõikab x-telge iga järel alates argumendi väärtusest x=0, st kohtades x=n. Need kohad on nullkohad, sest neis kohtades sin x=0. · Suurim väärtus on 1 ja vähim -1. 5.10 Funktsioon y=cos x Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2. · Vähim väärtus -1, suurim 1. Kõik need väärtused korduvad iga 2 järel. · Koosinusfunktsiooni nullkohad avalduvad kujul: 5.11 Funktsioon y= tan x Funktsioon on perioodiline perioodiga . · Puudub vähim ja suurim väärtus, st tanfunktsioon saab kõikvõimalikke reaalarvulisi väärtusi · Nullkohad korduvad iga järel ja esituvad kujul x=n 5.12 Ringjoone kaare pikkus
määramispiirkonnaks hulk D := (−∞, 0] ∪ (5,∞) . Esitada paaris- ja paaritu funktsiooni definitsioon: Olgu funktsiooni f määramispiirkond D sümmeetriline nullpunkti suhtes, s.t. −x ∈ D iga x ∈ D korral. Funktsiooni f nimetatakse 1) paarisfunktsiooniks, kui f (−x) = f (x) iga x ∈ D korral, 2) paarituks funktsiooniks, kui f (−x) = −f (x) iga x ∈ D korral. Tuua näiteid tõkestatud ja tõkestamata funktsioonide kohta: Siinusfunktsioon f : R → R, f (x) := sin x ja koosinusfunktsioon f : R → R, f (x) := cos x on tõkestatud, kuna mõlemal juhul f (R) = [−1, 1] Seevastu tangensfunktsiooni f : R{π/2 + kπ | k ∈ Z } → R, f (x) := tan x =sin x/cos x väärtuste hulk ei ole tõkestatud, täpsemalt, f(R{π/2 + kπ | k ∈ Z}) = R Tõkestamata funktsioon: f(x)=x, f(x)=x^3 Tehted funktsioonidega, tuua sellekohaseid näiteid (pole kindle näidete õigsuses): Olgu f ja g hulgas D ⊂ R määratud funktsioonid, s.t. f : D → R ja g : D → R. Defineerime uued funktsioonid
Need on põhjuslikud seosed nähtuste vahel, mis toimivad alati, kuid mille algpõhjus pole teada. Füüsikalist suurust saab mõõta (on arvväärtus), sellel on mõõtühik ja tähis. Gaaside ja vedelike voolamisel kehtib seos: Sv = const. , kus S on voolutoru ristlõike pindala ja v voolamise kiirus. Mida suurem on voolu kiirus, seda väiksemat rõhku avaldab voolav aine toru seintele. Harmoonilist võnkumist kirjeldab siinus- või koosinusfunktsioon: x = x0sin t . kus x hälve, x0 amplituud ja t faas (so. suurus, mis määrab võnkeoleku, ühik on nurgaühik 1 radiaan). Heli on keskkonna võnkumisest tekitatud laine, mille sagedus on vahemikus 16 Hz 20 kHz. See on piirkond, millele vastavad lained tekitavad inimesel heliaistingu. 3 Allpool seda piirkonda on infraheli, ülalpool - ultraheli. Kõrgemale helile vastab suurem võnkesagedus.
valima just ühe lõikepunkti. Üks võimalus selle tegemiseks on lihtsalt nõuda, et vastus oleks mingis kind- las vahemikus – jooniselt näeme, et siinusfunktsioon võtab kõik oma võimalikud väärtused vahemikus ning koosinusfunktsioon näiteks vahemikus . Nendes piirkondades on funktsioonid üksühesed [lk 68] ning võime kohe defineerida ka pöördfunktsioonid. Nii ongi enamasti defineeritud arkussiinus, mida tähistatakse tihti arcsin , kui funktsioon, mis on siinuse pöördfunktsioon vahemikus ehk siis rahul-
suunatud liikumist. Voolutegevus on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse juhi ristlõiget ajaühikus läbiva elektrilaenguga (elektrihulgaga). Voolutugevus sõltub laengukandjate arvust ja kiirusest. Kiiruse määrab laengutele mõjuv jõud (seega elektrivälja tugevus), laengukandjate arvu peamiselt juhi mõõtmed. Viimasest vabanemiseks kautatakse voolutiheduse mõistet. 8. Sukeldume hetkeks trigonomeetriasse.. See tähendab, et siinusfunktsioon on faasis nihutatud koosinusfunktsioon. Seega võib võnkumise kirjeldamiseks kasutada mõlemat, erinevus seisneb vaid algfaasis. 9. 14.PILET 1. Kuna see jõud takistab kehade liikuma hakkamist, nim. seda jõudu seisuhõõrdejõuks. Seisuhõõrdejõud ehk staatiline hõõrdejõud on suunatud vastu sellele liikumisele, mis peaks tekkima ning on maksimaalne hetkel, kui kaks pinda hakkavad teineteise suhtes libisema (suurim seisuhõõrdejõud on võrdne selle jõu suurusega, mis keha paigalolekust välja viib)
perioodide ühiskordsed. Põhilised elementaarfunktsioonid: eksponent: y = a = exp a x a > 0, a 1 x · Eksponent ja logarithm funktsioon logaritm: y = log a x a > 0, a 1 · Astmefunktsioon - y = a x , a 0 · Trigonomeetrilised funktsioonid - siinusfunktsioon: y = sinx koosinusfunktsioon: y = cosx tangensfunktsioon: y = tanx kootangensfunktsioon: y = cotx · Arkusfunktsioonid - Arkussiinusfunktsioon: y = arcsinx arkuskoosinusfunktsioon: y = arccosx arkustangensfunktsioon: y = arctanx arkuskootangensfunktsioon: y= arccotx e x - e -x
Ringliikumise ehk tiirlemise valemid kehtivad ka pöörlemise kohta. = 2 f . Võnkumine on liikumine, mis kordub perioodiliselt ja samal trajektooril. Eristatakse vabavõnkumisi ehk omavõnkumisi, mis toimuvad süsteemisiseste jõudude mõjul, ja sundvõnkumisi, mis toimuvad välise perioodilise jõu mõjul. Kui nende sagedused kokku langevad, siis toimub võnkeamplituudi järsk kasv ehk resonants. Kui võnkumist kirjeldab siinus- või koosinusfunktsioon, siis on võnkumine harmooniline. x = x0 sin t Võnkeperiood T on aeg, mille jooksul tehakse üks täisvõnge. Kui on teada võngete arv n ja kogu t aeg, siis T = . n 1 Võnkesagedus f on ajaühikus sooritatud võngete arv. f = . T Hälve x on võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. Maksimaalne hälve xmax = x0 on amplituud.
Ringliikumise ehk tiirlemise valemid kehtivad ka pöörlemise kohta. = 2 f . Võnkumine on liikumine, mis kordub perioodiliselt ja samal trajektooril. Eristatakse vabavõnkumisi ehk omavõnkumisi, mis toimuvad süsteemisiseste jõudude mõjul, ja sundvõnkumisi, mis toimuvad välise perioodilise jõu mõjul. Kui nende sagedused kokku langevad, siis toimub võnkeamplituudi järsk kasv ehk resonants. Kui võnkumist kirjeldab siinus- või koosinusfunktsioon, siis on võnkumine harmooniline. x = x0 sin t Võnkeperiood T on aeg, mille jooksul tehakse üks täisvõnge. Kui on teada võngete arv n ja kogu t aeg, siis T = . n 1 Võnkesagedus f on ajaühikus sooritatud võngete arv. f = . T Hälve x on võnkuva keha kaugus tasakaaluasendist. Maksimaalne hälve xmax = x0 on amplituud.
11 11. Logaritmfunktsioon (joon. 12, 13): y = log a x ( a > 0 a 1) , graafikul on asümptoot x = 0 . X = ( 0 ; ) . Olulisemad erijuhud: y = log x , y = ln x . Joon. 12 Joon. 13 12. Siinusfunktsioon (joon. 14): y = sin x , graafikuks on sinusoid, paaritu funktsioon, periood on 2 . X = . 27 Joon. 14 13. Koosinusfunktsioon (joon. 15): y = cos x , graafikuks on sinusoid, paarisfunktsioon, periood on 2 . X = . Joon. 15 14. Tangensfunktsioon (joon. 16): y = tan x , graafikuks on tangensoid, graafikul on asümptoodid x = + n , n , 2
12, 13): y log a x a 0 a 1 , graafikul on asümptoot x 0 . X 0 ; . Olulisemad erijuhud: y log x , y ln x . Joon. 12 Joon. 13 12. Siinusfunktsioon (joon. 14): y sin x , graafikuks on sinusoid, paaritu funktsioon, periood on 2 . X ¡ . 27 Joon. 14 13. Koosinusfunktsioon (joon. 15): y cos x , graafikuks on sinusoid, paarisfunktsioon, periood on 2 . X ¡ . Joon. 15 14. Tangensfunktsioon (joon. 16): y tan x , graafikuks on tangensoid, graafikul on asümptoodid x n , n ¢ , 2
-1 -2 -3 -4 -5 y = sin x y=x y = x + sin x © Allar Veelmaa 2014 37 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KOOSINUSFUNKTSIOON Funktsioonid y = cos x ja y = -2 cos x - 0 2 2 Tõrge! y = cos x y = -2cos x Funktsioonid y = cos 0,5x ja y = cos 2x y = cos 2x y = cos 0,5x © Allar Veelmaa 2014
b) d) f) 4 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 3. Trigonomeetrilised funktsioonid Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Siinusfunktsioon y = sin x X = (- , ) Y = [- 1,1] Koosinusfunktsioon y = cos x X = (- , ) Y = [- 1,1] Tangensfunktsioon y = tan x = sin x cos x X = {x | x (2k + 1) 2 , k Z } Y = (- , ) Kootangensfunktsioon y = cot x = cos x sin x X = {x | x k , k Z } Y = (- , ) y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x 4. Arkusfunktsioonid
9. Võnkumine Võnkumine on perioodiline protsess, kus liikumine kordub võrdsete ajavahemike järel edasi-tagasi sama trajektoori mööda. Kõiki võnkumisi saab kirjeldada harmooniliste võnkumiste abil, täpsemalt nende summa abil, kui varieerida võnkumiste sagedusi ja amplituude. Seega kõikide võnkliikumiste uurimise saab taandada harmoonilistele võnkumistele. 9.1. Harmooniline võnkumine Harmooniliseks nimetatakse võnkumist, mida kirjeldab siinus- või koosinusfunktsioon. Puhast harmoonilist võnkumist looduses ei esine, küll aga peaaegu harmoonilist. Harmooniliselt võnkuvateks võib pidada vedrupendlit ja niidi otsas rippuvat kuuli, kui ei arvesta õhutakistust ja energiakadusid deformatsioonile. Puhast harmoonilist võnkumist näeme, kui jälgime ühtlaselt ringjoonel liikuva keha variprojektsiooni. Liikugu mingi punktmass ühtlaselt ringjoonel raadiusega x0, nurkkiirus olgu . Projekteerime selle liikumise vertikaalsele x-teljele.
sin x nπ o cos x tan x := x ∈ R + kπ | k ∈ Z ja cot x := (x ∈ R {kπ | k ∈ Z}) . cos x 2 sin x (3.14) Alapeatükis 6.7 tõestatakse, et 0 < |sin x| < |x| < |tan x| , kui 0 < |x| < 1. (3.15) Samuti tõestatakse alapeatükis 6.7, et siinus- ja koosinusfunktsioon on pidevad igas punk- tis x ∈ R. Funktsioonide tan ja cot pidevus tuleneb seostest (3.14) (selgitada!)z. Võrratustest (3.15) lähtudes saab tõestada, et sin x lim = 1. x→0 x Nimelt tuleneb seostest (3.15), et sin x cos x < < 1, kui 0 < |x| < 1
Sellest teoreemist teeme kaks j¨areldust. J¨areldus 1. Tuletis gradiendiga ristuvas suunas v~ordub nulliga. 27 z J¨arelus on ilmne, sest antud juhul = ja - = 0. 2 s J¨areldus 2. Tuletis on suurim gradiendi suunas ja arvuliselt v~ordne gra- diendi pikkusega. P~ohjenduseks piisab m¨arkida, et koosinusfunktsioon saavutab oma mak- simaalse v¨a¨artuse 1, kui = 0. N¨ aide 1. Leiame funktsiooni z = x2 + y 2 suurima kasvukiiruse punktis P (1; 1). Funktsiooni kasvukiirust iseloomustab funktsiooni tuletis. Seega on suu- rim kasvukiirus v~ordne gradientvektori pikkusega. Leiame grad z = (2x, 2y) = (2; 2) P ja selle pikkuse | grad z| = 2 2.
annaabi.ee 
