Vektorite komplanaarsus Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme
r r u v Nurk vektorite vahel cos = r r, uv r r r r Vektorite ristseisu tunnus u v u v = 0 r r r r Kahe vektori skalaarkorrutis u v = u v cos X1 Y1 Z1 Vektorid on komplanaarsed X 2 Y2 Z 2 = 0 X 3 Y3 Z3 Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = =k . X 2 Y2 Z 2 r uuur Vektori pikkus: v = AB = X 2 + Y 2 + Z 2 . uuur Vektori koordinaat AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z 2 - z1 ) r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r
r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r Olgu u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) , v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) ja t = ( X 3 ; Y3 ; Z 3 ) . Need vektorid on komplanaarsed parajasti siis, kui X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 = 0 . X 3 Y3 Z 3 7.4 Vektorite skalaarkorrutis
mõlema sihivektoriga kollineaarne. 2. Sirged on paralleelsed, kui nende sihivektorid on kollineaarsed, aga vektor AB ei ole kummagi sihivektoriga kollineaarne. 3. Sirged lõikuvad, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed, aga sihivektorid ja vektor AB asuvad kõik ühel tasandil (on komplanaarsed, determinant = 0). 4. Sirged on kiivsirged, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed ning sihivektorid ja vektor AB ei asu kõik ühel tasandil (ei ole komplanaarsed). Tasandi võrrandid: Antud on tasandi üks punkt P ( x1 ; y1 ; z1 ) ja ( x - x1 ) A + ( y - y1 ) B + ( z - z1 ) C = 0 normaalvektor n = ( A; B; C ) :
19. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kolme vektori a, b ja c segakorrutiseks nimetatakse kahe esimese vektori a ja b vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c Avaldis koordinaatides: omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0)
(arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega
Koordinaatkujul avaldub see determinandi kaudu: a b c b1 b2 b3 . c1 c2 c3 Segakorrutise absoluutväärtus on arvuliselt võrdne neile vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Kui kolme vektori segakorrutis on 0, siis need vektorid asetsevad samal tasandil (ehk on komplanaarsed). Segakorrutise omadus: a b c a b c . Näide 1: Olgu antud vektorid a 3,1,2 , b 2,2,3 , c 1,3,1 . Leida neile ehitatud rööptahuka ruumala. 3 1 2
a1 + λ2 ⃗ a2 +…+ λk ⃗ ak . ⃗a ⃗b λ , et ⃗a =λ ⃗b . DEF3: Vektorid ja on kollineaarsed, kui leidub selline reaalarv ⃗a ⃗b λ μ , DEF4: Vektorid ja on komplanaarsed, kui leiduvad sellised reaalarvud ja et ⃗c =λ ⃗a + λ ⃗b .
Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk samasihilisteks, kui lõigud AB ja CD asuvad kas ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Komplanaarsed vektorid Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning on samas suunas. Vastassuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning vastupidises suunas üksteise suhtes. Vektorite vaheline nurk Vektori projektsioon Vektori a projektsiooniks vektori b sihile nimetame arvu |a| cos θ, kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk, st θ = ∠(a,b)
X=(x1,x2,x3)=>XxY=(|x2 x3 / y2 y3| , -|x1 x3 / y1 y3| , | x1 x2 / y1 y2|) Segakor Omadused 1) (x,y,z)=(y,z,x)=(z,x,y)= -(y,x,z)= -(x,z,y)= -(z,y,x) (x,y,z)=|XxY||Z|cosfi=S|z| cosfi S-rööpkül pindala cosfi=h/|z|=>h|Z|cosfi 2)Kolme vektori korrutise segekorrutise absväärtus on võrdne nende vektoritele ehitatud rööpk ruumalaga V=|(x,y,z)| 3)Kolme vek segakor on võrd 0ga parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe) Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0 Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud üheselt.
kolme vektoriga määratud rööptahuka ruumalaga. Küll võime arutada, kas nelja punktiga on määratud püramiid või mitte. Näiteks: kas punktid A(-2;10;5), B(4;-4;3), C(3;4;7) ja D(2;-5;0) võivad olla kolmnurkse püramiidi tippudeks? Nüüd peab õpilane mõtlema, milline on püramiid. Peab aru saama, et sel juhul on 3 punktiga määratud püramiidi põhi ja neljas on püramiidi tipuks. Järelikult ei saa nende nelja punkti abil moodustatud vektorid olla komplanaarsed. Seega tuleb tal kontrollida, kas vektorid on komplanaarsed või mitte. Antud näite korral osutuvad vektorid komplanaarseteks ning järelikult ei saa need punktid esitada püramiidi. Oluline on ka näidata, et iga vektorit ruumis saab avaldada kolme mistahes mittekomplanaarse vektori abil. Asudes koostama sirgete võrrandeid ruumis, tasub meelde tuletada eelnev tasandil. Kui seejärel küsida, milliste andmete järgi saaksime kirjeldada sirget ruumis, siis kuulete ikka, et
13.Vektorite vaheline nurk- vektorite vaheline nurk tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC 14.Vektori projektsioon- vektori a projektsiooniks vektori b sihile nimetame arvu |a| cosθ , kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk. θ=∠ (a , b) 15.Ristreeper- Ühikvektorid, i, j, k on baasvektorid. { O; i ; j ; k } on ristkordinaadisüsteemi ristreeper. Iga vektor a on esitatav kujul a=xi+yi+zi, kus x,y,z on reaalarvud 16.Komplanaarsed vektorid- Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 17.Skalaarkorrutis- kahe vektori a, b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu a ∙ b=|a||b| cos ∠(a , b) 18.skalaarkorrutamise omadused- skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti skalaarkorruti on kommutatiivne: a ∙ b=b∙ a
a b Nurk vektorite vahel arccos a b Ruumivektorite korral kehtivad samad valemid, kuid tuleb arvestada sellega, et ruumivektoril on kolm koordinaati. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 24 VEKTORITE KOMPLANAARSUS Ruumi kolm vektorit on komplanaarsed parajasti siis, kui nende vektorite koordinaatidest moodustatud kolmerealine determinant võrdub nulliga. Komplanaarsus tähendab ühel tasandil asumist. Näide 1. Kontrollime, kas vektorid a (1;0;0) , b (0;1;0) ja c (0;0;1) on komplanaarsed. 1 0 0 Arvutame determinandi 0 1 0 1 , seega need vektorid ei ole komplanaarsed. 0 0 1
vektorkorrutis. Siin on oluline vektorkorrutise võtmise järjekord. a x b · c=skalaar. Segakorrutise omadused: 1)segakorrutis ei sõltu korrutise võrmise järjekorrast 2)kui segakorrutises 2 vektori järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised
Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia
Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia
i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y3 z3 18. Kolme vektori segakorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kolme vektori segakorrutis nim. vektor a skalaarkorrutist vektorkorrutisega bx c Omadused: 1) On arvuline suurus 2) On 0, kui vektorid on komplanaarsed 3) Vôrdub vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega
r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r Olgu u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) , v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) ja t = ( X 3 ; Y3 ; Z 3 ) . Need vektorid on komplanaarsed parajasti siis, kui X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 = 0 . X 3 Y3 Z 3 7.4 Vektorite skalaarkorrutis
7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u X 1 ; Y1 ; Z1 ja v X 2 ; Y2 ; Z 2 , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u kv k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r Olgu u X 1 ; Y1 ; Z1 , v X 2 ; Y2 ; Z 2 ja t X 3 ; Y3 ; Z 3 . Need vektorid on komplanaarsed parajasti siis, kui X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 0 . X 3 Y3 Z 3 7.4 Vektorite skalaarkorrutis
x yyx Seda asjaolu tähistame abil. Omadused: x 0 Valem projektsiooni arvutamiseks vektorite vahelise nurga kaudu - pra x = x cos ( x , a ) BAAS. REEPER. PUNKTI KOORDINAADID. NENDE TEISENEMISE VALEMID Kollineaarsed vektorid samasihilised vektorid Komplanaarsed vektorid Vektorsüsteemi {a1 , a2 , a3 } nimetame komplanaarseks, kui neid vektoreid määravad lõigud on paralleelsed mingi tasandiga. Sirge, tasandi ja kolmemõõtmelise ruumi baasid ja reeperid - Vektorruumide E1, E2 ja E3 baasiks on vastavalt mistahes vektorsüsteem {e1} , mille vektor e1 ei
Olgu (,,) selle lõikajatasandi suvaline punkt. Punkt S on selle lõikajatasandi punkt parajasti siis, kui Kordse integraali omadused. Üks omadus tõestada. vektorid = ( -, -, -(,)) , = (;0;( +,)-(,)) , = (0;;(, +)-(,)) on 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D komplanaarsed, st nende vektorite segakorrutis on null. Seega leiame, et 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures D 1 * dS = SD | - -(,)| 3
ortonormaalse baasi B = ; } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega) Definitsioon. Vektorite ja segakorrutiseks nimetatakse arvu . Leiame segakorrutise väärtuse: Seega Segakorrutise omadused: 1. Vektorite ja segakorrutise absoluutväärtus võrdub vektoritele ja ehitatud rööptahuka ruumalaga 2. Tetraeedri (kolmnurkse püramiidi) ABCD; mille servad on DA = ; DB = ja DC = ; ruumala VABCD = . 3. Vektorid ja on komplanaarsed parajasti siis kui nende segakorrutis 4. Vektorid ja moodustavad paremkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on positiivne ja moodustavad vasakkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on negatiivne. 27. Sirged 1) Vaatleme sirge kolmemõõtmilseses ruumis. Sirge on määratud mingi punktiga A(ax; ay; az), mille ta läbib (st A ), ja vektoriga = , millega on see sirge paralleelne, st (seda vektorit nimetatakse sirge (sx; sy; sz) 0 sihivektoriks).
𝑥𝑖 (𝑡) + 𝑥𝑖′ (𝑡) △ 𝑡 + 𝑜(△ 𝑡).Ilmselt 𝑜(‖△ 𝑥‖2 ) = 𝑜(△ 𝑡). Tõepoolest, lim = lim √∑𝑛𝑖=1 ( ) = △𝑡→0 △𝑡 △𝑡→0 △𝑡 (0; ∆𝑦; 𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)) on komplanaarsed, st nende vektorite segakorrutis on null. Seega leiame, et √∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖′ (𝑡))2 𝜉 − 𝑥 𝜂 − 𝑦 𝜍 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ehitatud rööptahuka ruumalaga, Vrt = |a b c|. 125 PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Omadus 13.17 Kolmele vektorile ehitatud tetraeedri ruumala on 1 Vte = |a b c|. 6 Omadus 13.18 Kolm nullvektorist erinevat vektorit on komplanaarsed (asuvad ühel ja samal tasandil) parajasti siis, kui nende segakorrutis võrdub nulliga ehk a b c = 0. Omadus 13.19 Kolme nullvektorist erinevat vektorit moodustavad parema käe kolmi- ku, kui a b c > 0 ja vasaku käe kolmiku, kui a b c < 0. Omadus 13.20 Skalaarkorrutise omadusest järeldub, et a b c = a × b, c = c, a × b = c a b. Omadus 13.21 Vektorite segakorrutises tegurite ümbertõstmisel kehtivad reeglid
annaabi.ee 
