ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi. 7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ , ≥ või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26- 27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kitsendused on ≥- tüüpi võrratused. 8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue (≤ , ≥ või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. lk. 26-27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (yi ≥ 0). Järgnevalt selgitame duaalse ülesande tingimustesüsteemi tingimuste märkide ja duaalsetele tundmatutele esitavate nõuete määramist. Kõigepealt sõltub see sellest, kas esialgses ülesandes nõutakse sihifunktsioonile maksimumi või miinimumi.
Juhendaja: Olev Teder 2013 Sisukord * Diktaktuur * Diktatuuride liigitus * Autoritaarne diktatuur * Totalitaarne diktatuur * Diktaktuur euroopas Diktaktuur Diktatuur on autokraatlik valitsemisvorm, milles juhil ehk diktaatoril on piiramatu võim otsuste tegemisel. Mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. Diktatuuris puudub valitsuse vahetamise demokraatlik võimalus ning valitseja(te)l sageli puudub vastutus oma tegude moraalsetele ja eetilistele tagajärgede eest. Opositsiooni ja teisitimõtlejate maha surumiseks võidakse kasutada vägivalda, piiratud on sõnavabadus, valitsus kasutab oma ideoloogia peale surumisel aktiivselt erinevaid propagandavahendeid. Diktatuuride liigitus Autoritaarne diktatuur
Miks osades riikides kehtestati diktatuurid, teistes aga säilis demokraatia? Kui hakkasid tekkima diktatuurid, arvati, et see võib päästa nende riigi. Samades paljudesse riikidesse jäi demokraatlik võim, sest arvati, et see on kõige parem riigile. Suuremad riigid kuhu tekkisid diktatuurid olid Venemaa ja Itaalia, ning sammuti Saksamaa. Diktatuur on autokraatlik valitsemisvorm. Diktatuur on mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. Samas kui demokraatia on valitsemisvorm, mille tunnuseks on kodanikkonna osalemine poliitikas ja võimude lahusus ja tasakaalustatus, ehk lühidalt rahvavõim. Pärast esimest maailmasõda sai Itaalia palju kannatada, sest nad kaotasid palju vägesi, majandus langes ja nad ei saanud kõiki alasi mida Atant oli neile lubanud. Tekkis tööpuudus ja see omakorda tekkitas rahutusi. Nendes tingimustes tehti rühmitus nimega Võitlusliit. See rühmitus
Diktatuur Diktatuur on autokraatlik valitsemisvorm, milles juhil ehk diktaatoril on piiramatu võim otsuste tegemisel. Mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. Diktatuuris puudub valitsuse vahetamise demokraatlik võimalus ning valitseja(te)l sageli puudub vastutus oma tegude moraalsetele ja eetilistele tagajärgede eest. Diktatuur kehtestatakse tavaliselt pärast vägivaldset riigipööret, millega kukutatakse eelmine poliitiline süsteem. Diktatuur 20.sajand Suurem osa riike muutusid demokraatlikust valitsusvõimust diktatuuriliseks . See toimus põhilisel 1920 -30. aastatel . Selle põhjusteks oli näiteks pettumus I
Miks ühtedes riikides kehtestati diktatuur, teistes aga säilis demokraatia? Demokraatia ehk rahvavõim on valitsemisvorm, mille tunnuseks on rahva osalemine poliitikas ja sõnavabadus. Demokraatlikes riikides kehtis mitmeparteisüsteem ja võimude lahusus. Demokraatia vastand on diktatuur, mis on mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. Diktatuuririigis oli kogu võim ühe isiku või väikese rühma kätes. Võimu haaranud juhti nimetati diktaatoriks. Diktatuur jagunes autoritaarseks, mis oli tol ajal Euroopas üpris levinud ja totalitaarseks nagu kommunism , natsionaalsotsialism ja fašism. Totalitaarset diktatuuri iseloomustas peale võimu koondumist ühe isiku või rühma kätte, ka kontroll inimeste mõtteavalduste üle, millega kaasnesid inimõiguste rikkumine ja inimeste pidev hirmu all hoidmine
Ungari, Tsaari-Venemaa, Saksa Keisririik) kadumine; Poola koridori ja demilitariseeritud tsooni olemasolu. 3. Demokraatia- valitsemisvorm, mille tunnuseks on kodanikkonna osalemine poliitikas, võimude lahusus ja tasakaalustatus, seaduse ülimuslikkus ning inim- ja kodanikuõiguste austamine. 4. Diktatuur- autokraatlik valitsemisvorm, milles juhil ehk diktaatoril on piiramatu võim otsuste tegemisel. See on mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. 5. Autoritarism- riigi või organisatsiooni valitsemise vorm, kus võimul olijad otsustavad valitsetavate küsimuste üle ilma, et need, kelle üle valitsetakse saaksid oma arvamust avaldada. 6. Totalitarism- poliitiline süsteem, kus riik ei tunne võimu piire ning püüab reguleerida nii avaliku kui ka eraelu igat aspekti. [1] Totalitaarsed režiimid püsivad võimul laiahaardelise propaganda abil, mida levitab riigi poolt kontrollitav massimeedia
○ Sellega võib kaasneda mudeli kirjeldustaseme langus. ○ Tunnuste väljajätmisel mudelist tuleb jälgida, et välja ei jäetaks olulisi tunnuseid, mille väljajätmisel võib saada nihkega hinnangud. ● Teisendada andmeid. ○ Näiteks kahe kollineaarse tunnuse asemel kasutada nende suhet. ● Suurendada valimi mahtu. ● Kasutada paneelandmeid. 72. Kitsendused parameetritele, kitsendatud ja kitsendamata mudel. Kitsendamata mudel U (unrestricted) Kitsendatud mudel R (restricted) ● Kitsendused kehtivad, kui erinevus nende mudelite kirjeldatavuse tasemes ei ole oluline. ● Kui suur võib erinevus olla, et võiksime öelda: see pole oluline? ● Vaja kriteeriumi! ● Tuleb läbi viia F-test Näiteid erinevatest lineaarsetest kitsendustest 73. Kitsenduste testimine F-testiga: nullhüpotees ja sisukas hüpotees. H0 : erinevus pole oluline, kitsendused kehtivad
Miks osades riikides kehtestati diktatuurid, teistes aga säilis demokraatia? Esimeses maailmasõjas ja enne seda oli levinuimaks valitsemisvormiks demokraatia. Demokraatia (kreeka k. demos rahvas ning kratos - võim) on valitsemisvorm, mille tunnuseks on rahva osalemine poliitikas. Demokraatia otsene vastand on diktatuur, mis on autokraatlik valitsemisvorm, milles juhil e. diktaatoril on piiramatu võim otsuste tegemisel. Mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. Diktatuur jaguneb kaheks: autoritaarne ning totalitaarne diktatuur. Autoritaarses riigis on kogu võim koondunud ühe isiku või väikese rühma kätte, seadusi muudavad valitsejad oma suva järgi, rahval puudub õigus osaleda riigi juhtimises. Totalitaarset diktatuuri iseloomustavad lisaks võimu koonumisele ühe isiku kätte ka kontroll inimeste mõtteavalduste ja väljendamisvõimete üle,
kauplemisvabaduse ja uuenduste pooldamine. 3) sotsiaaldemokraadid oluline töölisparteid ja vasakpoolsus. Ajakirjandus on vaba ning kultuuri käsitletakse kui vaba loomingut. Demokraatlikud riigid olid 1930-ndatel So, No, Ro, Ta, Pr, Ing, Suurbr, Sveits ja Tsehhoslovakkia. Diktatuur on autokraatlik valitsemisvorm, milles juhil ehk diktaatoril on piiramatu võim otsuste tegemisel. Mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. Majandusvaldkonnas on diktatuurile omane plaanimajandus ja riigi suur osakaal, majandus teenib rasketööstuse huve, valitsus kontrollib hindu, palku, investeeringuid ning eksisteerib käsumajandus. Diktaatorlikus ühiskonnas puuduvad vabad valimised, on tsensuur, ühe partei süsteem, nt: Nõukogude Liidus kommunistid, Saksamaal natsiparteid, Itaalias fasistid, üksikisiku huvid on
Demokraatia mõiste ja iseloomulikud jooned (lk. 30) Demokraatia on valitsemisvorm, mille tunnuseks on rahva osalemine poliitikas, võimude lahusus ja tasakaalustatus, seaduse ülimuslikkus ning inim- ja kodanikuõiguste austamine. 2. Diktatuuri mõiste ja iseloomulikud jooned (lk. 44-46, vihik) – ole valmis demokraatlikku ja diktatuurset ühiskonda võrdlema. Diktatuur on valitsemisvorm, milles juhil ehk diktaatoril on piiramatu võim otsuste tegemisel. Mitte millegagi piiratud, seadustega kitsendamata, jõule toetuv võim. 3. Peamised demokraatlikud ja mittedemokraatlikud liikumised Euroopas 1920- 30ndail – nimetus, selgitus (lk. 31-32) Liberalism (vabameelne- inimesevõrdõiguslikkus, vabadus) konservatism (alahoidlik- järgitakse traditsioone ja ajalooline järjepidevus) ja sotsialism (sotsiaalnevõrdsus). Mittedemokraatlikud on kommunism (ühiskond, kus inimesed on varaliselt võrdsed, pole erinevaid ühiskonna klasse ning kõik on ühisomandis.
parameetrite hinnangud on nihketa; standardvead, usalduspiirid suured; parameetrite korrektne interpretatsioon pole võimalik 71) Mida teha multikollineaarsuse esinemise korral? Ignoreerida probleemi, kui – parameetrite märgid on loogilised; parameetrid on statistiliselt olulised. Vähendada multikollineaarsust juhul kui – parameetrite märgid pole loogilised; parameetrid pole statistiliselt olulised. 72) Kitsendused parameetritele, kitsendatud ja kitsendamata mudel (loeng5) Kitsendused kehtivad, kui erinevus nende mudelite kirjeldatavuse tasemes ei ole oluline. Mudelite puhul võib vaja minna kitsenduste kasutamist. Kitsendatud mudelit testitakse kitsendamata mudeliga. 73) Kitsenduste testimine F-testiga: nullhüpotees ja sisukas hüpotees H0 erinevus pole oluline – kitsendused kehtivad H1 erinevus on oluline, kitsendused ei kehti
Läve ristlõige võib olla kandiline või voolujooneline (joonis 3.7, b ja c). ·Lailäviülevooludel (broad-crested weir) joonis 3.7, d) on rõhtne lävi, mille laius (õigemini pikkus) = (210)H. Lailäviülevooludena arvutatakse ka voolu kitsendavaid läveta ehitisi: teetruupe ja väikeste sildade avasid. Ülevoolud (Hüdraulika ja pumbad, 1995): a on õhuke, b kandiline ja c voolujooneline eriprofiilülevool, d lailäviülevool, e kitsendamata ja f kitsendatud ülevool, g viltune, h kaar- ja i hulknurkülevool, j külgülevool, k kaevülevool, l mõõteülevoolud Crump'i mõõtülevool ·Laseb takistamata läbi ujuprahi ja uhtained ·Q = 1,96 kv bH1,5 (m3/s) ·kv kiirustegur H määramiseks tuleb veetaset mõõta kuue lävekõrguse P kaugusel ülesvoolu. H ja P suhe olgu 3 Kiirvool ·Kiirvool (chute [spillway], canal rapids, inclined drop) on tugevasti kindlustatud, suure langu
ruumipiirkonnas levivad erinevad lained teineteist ei mõjuta. Nende koosmõju piirkonnas üksiklainete poolt esilekutsutud hälbed liituvad, kuid pärast selle piirkonna läbimist jätkavad lained edasiliikumist moonutamata kujul. 7.8 Laine levimiskiirus elastses keskkonnas Tuletame valemi mingis elastses aines pikilaine (näiteks heli) levimiskiiruse arvutamiseks. Olgu keskkonna elastsusmoodul ja tihedus . Levigu selles keskkonnas tasalaine kiirusega v . Üldisust kitsendamata võime käsitleda laine levikut x-telje sihis. Eraldame keskkonnast mõttelise silindri, mille telg ühtib laine levimissuunaga. Silindri pikkus olgu x ja põhjapindala S. 8 Ilmselt erinevad silindri erinevates osades keskkonnaosakeste hälbed tasakaaluasendist. Silindri vasakpoolses otsas, mille koordinaat on x, tähistame keskkonnaosakeste hälbe vaadeldaval ajahetkel sümboliga
sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi. 7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( , või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. tabelist). 10. Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kitsendused on - tüüpi 11. võrratused. 8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue ( , või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. tabelist). 12. Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (yi 0). 13. Lahendid: 14. Duaalse ülesande lahendid saab optimaalse simplekstabeli sihifunktsiooni reas, abitundmatute veergudes. Kui tegemist on kasumi maksimeerimise piiratud ressursside tingimustes, siis duaalse ülesande tundmatute väärtused väljendavad
..3)H<<(3...4)H, siis ei jõua sügavus lävel pärast
ahassügavust oluliselt suureneda, enne, kui vesi sööstab üle läve serva alla.Ülevool võib
lugeda uputatuks, kui hu>0,8H0 või kui hu>1,25hkr. Valem(uputatud): Q= u*b*h*(2g*(H0-
hkr)). Uputamata: Q= *b*h*(2g(H0-h)), kus h- voolu sügavus läve peal, H0 läve kõrgus
enne hüpet, kiirustegur, mis sõltub läve peal voolutingimusest. 17.Kitsenduse ja uputuse
arvestamine ülevoolude arvutamisel: Uputamata ja kitsendamata lailäviülevoolu
läbilaskevõime määramiseks kirjutatakse Bernoulli võrrand ristlõigete 0-0 ja 1-1 kohta, milles
vool on mõõdukalt ebaühtlane: H+0v02/2g=H0=h+v2/2g+ v2/2g, kus arvestab
ülevoolule voolava vee teel olevaid kohttakistusi. 18.Vooluhüpe, olemus, liigid: Üleminekul
käredalt voolult rahulikule tekib vooluhüpe. Vooluhüppega läheb vool üle hüppe-eelselt
kärdeda voolu sügavuselt h´
reference category) · Fiktiivsete tunnuste kordajad: diferentsiaalsed vabaliikmed (differential intercept coefficients) · Ökonomeetria pakettides fiktiivse tunnuse nimetus tihti indicator variable ehk indikaatortunnus. · Fiktiivne tunnus, sest tegelikult ühe ja sama tunnuse erinevad väärtused 59. Diferentsiaalsete vabaliikmete tõlgendamine. 60. Kitsendused parameetritele, kitsendatud ja kitsendamata mudel. Üht fiktiivset tunnust tervest komplektist EI TOHI eemaldada. Üks fiktiivne tunnus ei ole eraldi tunnus, vaid üks väärtus. Terve tunnus on fiktiivsete tunnuste komplekt! Eemaldada võib terve komplekti. Kas neid kitsendusi võib panna? Või mudel halveneb oluliselt? Kitsendused kehtivad, kui erinevus nende mudelite kirjeldatavuse tasemes ei ole oluline. · Kui suur võib erinevus olla, et võiksime öelda: see pole oluline? · Vaja kriteeriumi! · Tuleb läbi
3 7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ , või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26-27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kit- sendused on -tüüpi võrratused. 8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue (≤ , või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. lk. 26-27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõu- takse mittenegatiivsust (yi 0). Kui tegemist on nn. tootmisplaani leidmise ülesandega (kasumi maksimeerimine piiratud ressursside tingimustes), siis duaalse ülesande tundmatute yi väärtused väljendavad täiendavat
Olgu nurga AOP suurus absoluutmõõdus x. Siis punkti P ordinaat P'P kujutab suurust sin x. Lõik AQ, kus Q tähendab sirge OP lõikepunkti u-telje punktis A võetud ristsirgega, kujutab nurga x sin x tangentsit. Et funktsioon on paarisfunktsioon, siis tarvitseb vaadelda vaid positiivseid nurga x x väärtusi, kusjuures üldsust kitsendamata võib eeldada, et x on teravnurk, s.o. 0 < x < , sest 2 protsessis x 0 Huvitab meid vaid punkti x=0 küllalt väike ümbrus. Et kolmnurga OAP pindala on väiksem kui ringi sektori OAP pindaola ja viimane omakorda on väiksem kui kolmnurga OAQ pindala, siis 1 1 1 sin x < h < tan x
3. 4. {} {, {}} Sisalduvusseose omadused Lause Hulkade sisalduvusseosel on järgmised omadused: 1. Refleksiivsus: Iga hulga A korral A A; 2. Antisümmeetrilisus: Kui A ja B on sellised hulgad, et A B ja B A, siis A = B; 3. Transitiivsus: Kui A, B ja C on sellised hulgad, et A B ja B C, siis A C; 4. Tühi hulk on iga hulga osahulk. TÕESTUS 2. Eeldame, et A B ja B A. Peame näitama, et A = B. Oletame vastuväiteliselt, et A B. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et leidub element x nii, et x A ja x B. Kuna A B, siis x B. Sellega tekib vastuolu Järelikult meie vastuväiteline eeldus oli väär ehk hulgad peavad olema võrdsed. 3. Eelduseks on, et A B ja B C. Peame näitama, et A C. Viimase väite tõestamiseks võtame suvalise elemendi x hulgast A ja näitame, et siis x C. Kuna esimesest eelduses A B, siis sellest, et x A järeldub, et x B
nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid. Üldsust kitsendamata võib eeldada M1,..,k1,..,k 0. Peame näitama, et 1. 1; ...; k on lineaarselt sõltumatud vastuväiteliselt eeldame, et 1; ...; k on lineaarselt sõltuvad, näiteks 1 = c22 + ... + ckk; c2,..., ck K, siis M -> esimesest reast lahutada c22 + ... + ckk -> arendus I rea järgi -> M = 0, mis on vastuolu 2. kõik reavektorid 1; ...; n avalduvad lineaarse kombinatsioonina vektoritest 1; ...; k 1 = 11 + 02 + ... + 0n; ...; k = 01 + 02 + ... + 1k; ...; l = (al1; al2; ...; aln), l > k
täielikuks süsteemiks. MLT 6004 Kvantmehhaanika 25 Järelikult: kõikide kvantmehhaaniliste operaatorite omafunktsioonide süsteemid peavad olema täielikud. Vaatleme konkreetsuse mõttes diskreetse omaväärtuste spektriga operaatorit L^ ning oletame, et omaväärtuste jada on lõpmatu 1 , 2 ,..., n ,... . Olgu omafunktsioonide jada 1 , 2 ,..., n ,... . Üldsust kitsendamata võime oletada, et n -d moodustavad ON-süsteemi. Mistahes olekufunktsiooni võime aproksimeerida reaga = a1 1 + a 2 2 + .. + a n n , (25.1) kus a-d on üldiselt rääkides komplekssed arenduse kordajad. Funktsioonide süsteemi { n } täielikkuse kriteeriumi saame siis kujul n dq = lim a k ,
Kas on mõnda hääletusmehhanismi, mis võimaldaks leida kollektiivse eelistuse, kui teame indiviidide eelistusi? Ken Arrow teoreem: kas leidub kollektiivse valiku mehhanismi, mis vastaks elementaarsetele tingimustele? 1) Konsensuse põhimõte (Pareto optimaalsus) – kui kõik indiviidid grupid eelistavad A-d B-le, siis ka grupp peaks eelistama A-d B-le. 2) Transitiivsus – kui kollektiivselt eelistatakse A-d B-le ja B-d C-le, siis eelistatakse A-d C-le. 3) Kitsendamata domeen – kõik indiviidide eelistuste kombinatsioonid peavad olema võimalikud, st indiviidid grupid võivad valida ükskõik millise eelistuste järjestuse 4) Sõltumatus ebaolulistest alternatiividest - Kui igal grupi liikmel on mingi kindel järjestus nt alternatiivide A ja B vahel – ja see ei muutu – siis ei saa muutuda ka grupi eelistused A ja B osas, isegi kui grupi liikmete eelistused teiste alternatiivide osas – nt C või D osas - muutuvad.
presidentaalsuse kui ka parlamentaarsuse tunnuseid Tuntuim selliste hulgas on Prantsusmaa, kui presidentaalse ja parlamentaarse vabariigi tunnustega on ka meie põhjanaaber Soome. Tuleb ka mainida, et valitsusvormide puhul ei saa nii monarhiate kui vabariikide puhul välistada diktatuuri (nt absoluutset monarhiat võibki pidada diktatuuri üheks vormiks). Diktatuur on autokraatlik valitsemisvorm, milles selle juhil (diktaatoril) on mitte millegagi piiratud, jõule toetuv ja seadustega kitsendamata võim. Diktaatoril puudub vastutus oma tegude moraalsetele ja eetilistele tagajärgede eest. Autoritaarne diktatuur (piirdutakse võimu koondamisega liidri või kitsa oligarhia kätte ning muudesse eluvaldkondadesse sekkutakse vähe. Neis sisaldub tavaliselt ajutisuse ja normaalse olukorra taastamise idee). Autoritaarse diktatuuri tunnuseid oli märgata ka Konstantin Pätsi valitsuse juures 1930. aastatel. Totalitaarne diktatuur (sellega kaasneb range kontroll kodanike mõtteavalduste ja
1) kaugus r on väga palju väiksem varda tegelikust pikkusest, 2) punkt P ei asu varda otsa läheduses. Sümmeetria tõttu peab elektrivälja tugevuse vektor varda läheduses rahuldama järgmisi nõudeid. Et selliselt laetud varda kõik punktid on ühesuguse potentsiaaliga, peavad vardalt algavad elektrivälja jõujooned olema vardaga risti, järelikult ka elektrivälja tugevuse vektor peab olema suunatud risti vardaga. Üldisust kitsendamata võime oletada, et varras omab positiivset laengut, järelikult on vektor E suunatud käesolevas näites vardast risti eemale. Teiseks, kui punkt P liigub nii, et tema kaugus vardast ei muutu, s.t. r const , siis väljatugevus ei tohi muutuda, vastasel korral oleks sümmeetria rikutud. Seda arvesse võttes kujundame varda ümber silindri raadiusega r, nii et punkt P asub selle silindri pinnal ja silindri telg ühtib vardaga
u ¨hte s¨umbolitest ] ja [ ning a ja b v˜oivad olla ka l˜opmatused. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et A pole sidus. Siis A avaldub kujul A = B ∪ C, B ∩ C = ∅, B = ∅, C = ∅, 8.2 Sidusad hulgad arvteljel 91 ¨ kus B ja C on lahtised hulgad alamruumis A. Uhtlasi on B ja C ka kinnised hulgad alamruumis A, st cl(B) = B ja cl(C) = C (sulundid ruumis A). Valime c ∈ B ja d ∈ C. ¨ Uldsust kitsendamata v˜oib eeldada, et c < d. Moodustame arvuhulga D = { g ∈ A | [c; g] ⊂ B }. Hulk D on u¨lalt t˜okestatud arvuga d ∈ A ning seet˜ottu leidub ¨lemine raja h = sup D, mis samuti kuulub hulka A, h ∈ tal u A. Arvu h igas u ¨mbruses peab leiduma siis nii hulga B kui ka hulga C punkte, st h ∈ cl(B) ∩ cl(C) = B ∩ C. See on vastuolus eeldusega B ∩ C = ∅. J¨arelikult on hulk A sidus. Teoreem 8.40 Mittet¨ uhjadeks sidusateks hulkadeks ruumis
24), ühtlaselt lähendada samas lõigus selle funktsiooni Taylori polünoomidega. Analoogiline väide kehtib oluliselt suurema funktsioonide klassi korral, kui me Taylori polünoomide asemel lubame lähendamist suvaliste polünoomide jadaga. Teoreem 6.54 (Weierstrassi lähendusteoreem). Iga lõigus [a, b] pideva funktsiooni f jaoks leidub selline polünoomide jada (Pn ) , mis koondub funktsiooniks f ühtlaselt lõigus [a, b]. Tõestus. Lihtsuse mõttes (ja üldisust kitsendamata) eeldame, et 1) a = 0, b = 1 (vajaduse korral rakendame muutujate vahetust x = (b − a) t + a , siis funktsioon h : [0, 1] → R, t 7→ f ((b − a) t + a) on pidev ning kui polünoomide Pn′ (t)) jada koondub ühtlaselt lõigus [0, 1] funktsiooniks h, siis, tehes neis polünoomides muutuja vahetuse t = x−a b−a
Teoreem 2 (v~ ordlustunnus). Kui alates indeksist k0 , st k k0 korral on t¨aidetud tingimus uk vk , (8.7) 4 siis 1) rea (8.6) koonduvusest j¨areldub rea (8.1) koonduvus ja 2) rea (8.1) hajuvusest j¨areldub rea (8.6) hajuvus. T~oestus. L~opliku arvu liikmete lisamine v~oi ¨araj¨atmine rea koonduvust ei m~ojuta, seep¨arast v~oime u¨ldsust kitsendamata eeldada, et tingimus (8.7) on t¨aidetud ka indeksite 1 k k0 - 1 korral. T¨ahistame rea (8.1) osasummad n Sn = uk k=1 ja rea (8.6) osasummad n n = vk k=1 Kui rida (8.6) koondub, siis osasummade jadal
annaabi.ee 
