Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "IAY0010 Diskreetne matemaatika kodutöö". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
muutujaaafunktsioon, shannoni, normaalkuju, disjunktiivneafunktsiooni, karnaugh, tuletis, saime, normaalkujud, implikant, reed, polünoom, kaarti, lihtimplikant, tõeväärtustabel, konjunktiivne, kaardiga, kujule, tuletised, lihtimplikantide, teades, teisendamine, argumentvektori, piirkonnast, indek, intervall, arenduse, tulp1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 - 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 ÜLESANNE 3 MINIMAALSED NORMAALKUJUD Leian MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks. MDNK Karnaugh’ kaardiga ja MKNK McCluskey' meetodiga. 3 3.1 MDNK KARNAUGH’ KAARDIGA Leian MDNK Karnaugh kaardiga, sest matriklinumber on paarisarv. Funktsioon 𝒇(x(x1,x2,x3,x4) = ∑ ( 3, 5, 8, 12, 15 )1 ( 4, 9, 13 )_ x1x2/x3x4 00 01 11 10
4 1111 X -110 X 101- X 1-10 X 3-4 -111 X 1-11 X 111- X Katteülesande lahendamine: i 0 2 5 6 1 15 1 A1 X X A2 X X A3 X A4 X X X X Siit saan välja kirjutada kaks minimaalset disjunktiivset normaalkuju: f 1 = A1 A3 A4 = x1 x 2 x1 x 4 x3 f 2 = A2 A3 A4 = x 2 x 4 x1 x 4 x 3 3. Teisendada punktis 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. f ( x1 ; x 2 ; x3 ; x 4 ) = ( x 2 x3 x 4 ) ( x1 x3 ) = x1 x 2 x1 x3 x1 x 4 x 2 x3 x3 x3 x 4 = x1 x 2 x1 x 4 x3 Selle teisenduse tulemuseks olev DNK langeb kokku punktis 2 leitud MDNK-ga 4. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga (loogiliselt) võrdne
erinevalt ehk teineteisest sõltumatult. Seega sain lõppkokkuvõttes 2 erinevat lõpuni määratud funktsiooni: f1(x1..x4) = (1,2,4,5,6,7,8,9,13)1 f2(x1..x4) = (1,2,4,5,6,8,9,13)1 Siit tuleneb ka erinevus. 4. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga (loogiliselt) võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK, näidates (selgitades) mõlema jaoks ära ka nende leidmisviisi. * Leian taandatud DNK McCluskey' meetodiga. taandatud disjunktiivne normaalkuju võrdub lihtimplikantide disjunktsiooniga. f1(x1..x4) = (1,2,4,5,6,7,8,9,13)1 In Nr Mär Ind Nr-d Vahe Mär Ind Nr-d Vah Mä d ge ge e rge 1 1 x 1-2 1-5 4 x 1-2-2-3 4-5-6-7 1,2 A3 2 x 1-9 8 x 1-5-9-13 4,8 A4 4 x 2-6 4 A1
v v v v v v v v 5. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MKNK-ga (loogiliselt) võrdne Täielik KNK. MKNK: f(, , , ) = (v v )( v v )( v v ) x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 1 1 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 0 0 Täielik KNK: f(, , , ) = ( v v v )( v v v )( v v v )& & ( v v v )( v v v ) 6. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus selle muutuja (muutujate) järgi, mida esineb MDNK-s kõige rohkem. Muutuja x1 x2 x3 x4 Sagedus 2 2 3 1 MDNK: f(, , , ) = v v v Muutujate esinemissagedus: Shannoni disjunktiivne arendus järgi: f(, , , ) = & f(, , 0, ) v = = () v ( v v v ) 7. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus vabaltvalitud 2he muutuja järgi. MDNK: f(, , , ) = v v v
&(x1Vx2Vx3V x 4 )&( x 1 V x 2 Vx3Vx4)&( x 1 V x 2 Vx3V x 4 )&( x 1 V x2V x 3 Vx4) & &( x 1 V x2V x 3 V x 4 )&(x1Vx2V x3V x 4 )& (x1V x 2 Vx3V x 4 )&(x1Vx2V x3 V x 4 ) &(x1V x 2 V x3 V x 4 ) TKNK f(x1,x2,x3,x4) = (x1Vx2Vx3Vx4)&(x1Vx2Vx3V x 4 )&( x 1 V x 2 Vx3Vx4)&( x 1 V x 2 Vx3V x 4 ) &( x 1 V x2V x 3 Vx4)&( x 1 V x2V x 3 V x 4 )&(x1Vx2V x3V x 4 )& (x1V x 2 Vx3V x 4 ) &(x1Vx2V x3 V x 4 )&(x1V x 2 V x3 V x 4 ) ÜLESANNE 6 Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus muutuja xi järgi, mida esineb MDNK-s kõige rohkem MDNK f = x1x2x3Vx1 x 2 x3 V x1 x2 x 4 V x1 x3 x 4 Kõige rohkem esineb MDNK-s x1 muutujat. Teen Shannoni disjunktiivse arenduse x1 järgi. f = x1x2x3Vx1 x 2 x3 V x1 x2 x 4 V x1 x3 x 4 = x1 f(0 x2x3V0 × x 2 x3 V1 ×x2 x 4 V1 ×x3 x 4 ) V x1 ×f(1 x2x3V1 × x 2 x3 V0 ×x2 x 4 V0 ×x3 x 4 ) = x1 f(x3 x 4 Vx2 x 4 ) V x1 ×f( x 2 x3 V x2x3) ÜLESANNE 7
14 1110 x1 x 2 x 3 x4 15 1111 x1 x 2 x 3 x 4 TKNK: f(x1,x2,x3,x4) = ( x1 x 2 x 3 x 4 )( x1 x 2 x3 x 4 )( x1 x 2 x 3 x 4 )( x 1 x 2 x3 x 4 ) ( x1 x 2 x 3 x 4 )( x 1 x 2 x3 x 4 )( x 1 x 2 x 3 x 4 )( x 1 x 2 x 3 x 4 ) Ülesanne 6 Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus selle muutuja (muutujate) x i järgi, mida esineb MDNK-s kõige rohkem. MDNK : f(x1, x2, x3, x4) = x1 x 2 x 4 x1 x 2 x3 x3 x 4 Kui kõik 4 muutujat x 1 x 2 x 3 x 4 on MDNK-s võrdselt esindatud, siis teha MDNK-le täielik Shannoni disjunktiivne arendus. x1 x 2 x 4 x1 x 2 x3 x3 x 4 = x1 x 2 x 3 x 4 (1) x 1 x 2 x 3 x 4 (1) x1 x 2 x3 x 4 (1) x1 x 2 x 3 x 4 (0) x 1 x 2 x 3 x 4 (0) x1 x 2 x 3 x 4 (1)
6. Leida vabalt valitud viisil MKNK-ga võrdne Täielik KNK. Selleks vaatan MKNK Karnaugh’kaarti ja kirjutan 0-de piiskonna argumentvektorite järgi välja nende elementaardisjunktsioonid ja korrutan need JA-tehtega kokku KNK-ks: TKNK: f(x1x2 x3x4) = (x1 V x2 V x3 V x4)(x1 V x2 V x3 V xx4)(x1 V xx2 V x3 V x4) (x1 V xx2 V x3 V xx4)(x1 V V xx2 V xx3 V x4)(xx1 V xx2 V x3 V x4)(xx1 V xx2 V xx3 V x4)(xx1 V x2 V xx3 V xx4)(xx1 V x2 V xx3 V x4) 7. Teha MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus selle muutuja(te) järgi, mis esineb MDNK-s kõige rohkem => x2 järgi. MDNK: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 V x1 xx2 xx3 V x2 x4 5 Shannoni disjunktiivne arendus: f(x1x2 x3x4) = xx2∙f(x10 x3x4) V x2∙f(x11 x3x4) = = xx2 (xx1 ∙1∙x3 V x1∙1∙xx3 V 0∙x4) ∙ x2(xx1 ∙0∙x3 V x1∙0∙xx3 V 1∙x4) = xx2 (xx1 x3 V x1xx3) ∙ x2(x4) 8
....................................................5 2.2MKNK leidmine Karnaugh' kaardiga..................................................................6 2.3 Taandatud DNK leidmine..................................................................................6 2.4 Täieliku DNK leidmine...................................................................................... 6 2.5Täieliku KNK leidmine........................................................................................7 2.6 Shannoni disjunktiivne arendus muutujatele x2x3x4 ....................................... 8 Vastused................................................................................................................8 1. Funktsiooni leidmine 1.1 Funktsiooni arvutamine Matrikli number on 010636 Pärast selle teisendamist kuueteistkümnendsüsteemi 'Windows Calculatoris' saan tulemuseks arvu 298C Leian funktsiooni ühtede piirkonna ja määramatuspiirkonna:
v 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 0 0 0 0 Taandatud DNK jaoks leian 3 0 0 1 1 1 1 1 karnaugh kaardilt lihtimplikandid 4 0 1 0 0 0 0 0 5 0 1 0 1 1 1 1 TaDNK: f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) = ´x 1 x 4 v 6 0 1 1 0 0 0 0 ´x 3 x 4 v x 1 ´x 4 v x 1 ´x 3 7 0 1 1 1 1 1 1
6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 0 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1 Graaf 2.1 2 LAHENDATAVAD ÜLESANDED 3. Matrikli number on paarisarvuline. Leidmine MDNK Karnaugh kaardiga ja MKNK McCluskey meetodiga. MDNK leidmine Karnaugh kaardiga. Funktsiooni (x1,x2,x3,x4)= (3, 7, 8, 12, 14, 15) (1, 2, 4, 5)_ x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 - 1 - 01 - - 1 0 11 1 0 1 1 10 1 0 0 0
00 0 - 1 01 0 0 0 1 11 1 1 10 0 0 - 0 Minimaalne konjunktiivne normaalkuju on f(x1,x2,x3,x4)= ( x1 x2 )( x1 x2 x3 )( x2 x3 x4 )( x2 x3 x4 ) MDNK: Funktsioon f(x1,x2,x3,x4)= ∑ (0, 2, 3, 5, 13, 14, 15)1 (4, 11)_ Indeks Intervall Märge Indeks Intervall Märge 0 0000 X 0–1 00-0 A1 1 0010 X 1–2 001- A2
1 0001 X1 X 2 X 3 X 4 9 1001 X1 X 2 X 3 X 4 10 1010 X1 X 2 X 3 X 4 X X 2 X 3 X 4 X1 X 2 X 3 X 4 TKNK: (X1,X2,X3,X4)= ( X 1 X 2 X 3 X 4 )( 1 )( )( X1 X 2 X 3 X 4 ) 6. Shannoni disjunktiivne arendus X 2 X 3 X 4 X1X 3 (X1,X2,X3,X4)= Shannoni disjunktiivne arendus x3 järgi: X 2 X 3 X 4 X 1 X 3 = X 3 ( X 2 0 X 4 X 1 0) X 3 ( X 2 1 X 4 X 1 1) = = X 3 (X 2 ) X 3 (X 2 X 4 X1) 7. Shannoni disjunktiivne arendus vabaltvalitud kahe muutuja järgi Shannoni disjunktiivne arendus x1 ja x3 järgi: X 2 X 3 X 4 X 1 X 3 = X 1 X 3 ( X 2 0 X 4 1 0) X 1 X 3 ( X 2 1 X 4 0 1)
f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 & ) ( )( )( & x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x3 x 4 & )( ) ( & x1 x 2 x3 x ) (x4 1 x 2 x3 x ) (x 4 1 x 2 x3 x ) 4 6. Leian punktis 2 saadud MDNK'le Shannoni disjunktiivse arenduse kõige enim esineva x'i järgi. x x x 2 x3 x 4 x1 x 2 x 4 MDNK: f(x1,x2,x3,x4) = 1 2 Teen Shannoni disjunkt. arenduse x 2 järgi: f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x 2 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x 4 = = x 2 f ( x1 0 x3 x 4 ) x 2 f ( x11x3 x 4 ) = x 2 ( x11 1x3 x 4 x1 0 x 4 ) x 2 ( x1 0 0 x3 x 4 x11x 4 ) = x 2 ( x1 x3 x 4 ) x 2 ( x1 x 4 ) 7
DNK: f(x1, x2, x3, x4)= (xx 1 xx 2 ∨ xx 1 x3 ∨ xx 1 xx 4 ∨ x2 x3 ∨ x2 xx 4 ) &( xx 1 ∨ xx 2 ∨ xx 3 )= xx 1 xx 2 ∨ xx 1 x3 ∨ xx 1 xx 4 ∨ xx 1 x2 x3 ∨ xx 1 x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 2 x3 ∨ xx 1 xx 2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 3 ∨ xx 1 xx 3 xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 = = xx 1xx 2∨ xx 1x3 ∨ xx 1xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 xx 3 ∨ xx 1 xx 3 xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 = xx 1xx 2 ∨ xx 1x3 ∨ xx 1xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 DNK kuju ei ühti MDNK-ga, sest tekib üleliigne implikant xx 1 x3, mis punktis 3 koostatud McCluskey tabelis ühtib implikantidega A3 ja A2. Tõeväärtustabelid x1 x2 x3 x4 x2 xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4 xx 1xx 2 ∨ xx 1x3 ∨ xx 1xx 4 ∨ x2 xx 3 xx 4 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1
6) (Loogiliselt) Võrdse täieliku KNK leidmine 5 X1 X2 X3 X4 0 0 1 1 1 1 - 0 0 - 0 0 - 1 - 1 ( x 1 V x 2V x 3)(x 1V x´2 V x´3)( x´1 V x´2 V x 3)( x´1V x´2 V x´3) 7) Shannoni disjunktiivne arendus MDNK : x´1 x 2 x´3 V x´2 x 3 Vx 1 x´2 X2 järgi: x 2[ f ( x 1, 1, x 3 ) ] V x´2[f ( x 1, 0, x 3 ) ]=x 2 ( x´11x´3 V 0x 3V x 10 ) V x´2 ( x´10x´3 V 1x 3 V x 11 ) =x 8) Shannoni disjunktiivne arendus 2 muutuja järgi MDNK : x´1 x 2 x´3 V x´2 x 3 Vx 1 x´2 X1 X2 järgi: x 1´x 2[ f ( 0, 0, x 3 ) ] V x´1 x 2 [ f ( 0, 1, x 3 ) ] V x 1 x´2 [ f (1, 0, x 3 ) ] V x 1 x 2 [ f ( 1,1, x 3 ) ] = x´1 x´2 (10x 3 V 1x 3 V 0
............................................................5 5. Leida vabaltvalitud viisil MDNK-ga loogiliselt võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK...................................................................................................................................6 6.MKNK-ga võrdne Täielik KNK......................................................................................7 7.Shannoni disjunktiivne arendus rohkeima muutuja järgi........................................8 8. Shannoni disjunktiivne arendus 1 muutuja järgi.....................................................8 9.Shannoni konjuktiivne arendus MDNK-le 2 muutuja järgi.......................................8 10.Tuletis kõigi nelja muutuja järgi................................................................................8 10.1.x1 järgi:............................................................................................................................................9 10.2.x2 järgi:............
00 0 1 0 0 01 0 - 1 0 11 1 - 1 - 10 1 1 - - Täielik DNK : = x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x2 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 5. Leian MKNK'ga loogiliselt võrdse täieliku KNK Karnaugh kaardi abil x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 0 - 1 0 11 1 - 1 - 10 1 1 - - ( x1 x2 x3 x4 )( x1 x2 x3 x4 )( x1 x2 x3 x4 ) ( x1 x2 x3 x4 )( x1 x2 x3 x4 ) 6. MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus x4 järgi
2. Funktsiooni tõeväärtustabel Nr. x1x2x3x4 f 0 0000 1 1 0001 1 2 0010 - 3 0011 1 4 0100 - 5 0101 1 6 0110 0 7 0111 - 8 1000 0 9 1001 1 10 1010 0 11 1011 1 12 1100 0 13 1101 1 14 1110 0 15 1111 - 3. MDNK ja MKNK leidmine Matriklinumber on paaritu, seega MDNK leian Mcluskey meetodiga ja MKNK Karnaugh kaardiga MKNK leidmine: 6, 8,10, 12,14 ¿ ¿ ¿ 0( 2,4,7,15) ¿ f ( x 1 ... x 4 )= ¿ x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 1 - 01 - 1 - 0 11 0 1 - 0
1001 x1 v x2 v x3 v x4 1011 x1 v x2 v x3 v x4 1010 x1 v x2 v x3 v x4 TKNK = (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) (x1 v x2 v x3 v x4) 7. Teha punktis 3 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus selle muutuja (muutujate) xi järgi, mida esineb MDNK-s kõige rohkem Kuna minu MDMK's leidub kolme muutujat sama tihti, teen arenduse kolme muutuja järgi. 7 Shannoni disjunktiivne arendus x1, x3 ja x4 järgi: f(x1 x2 x3 x4) = x1 x3 x4 * f(1 * x2 * 0 v 1 * 0 * 1 v x2 * 1 v 0 * 1 * 1) v x1 x3 x4 * f(1 * x2 * 1 v 1 * 1 * 0 v x2 * 1 v 0 * 1 * 0) v x1 x3 x4 * f(1 * x2 * 0 v 1 * 1 * 1 v x2 * 0 v 0 * 0 * 1) v
u x 1 x2 00 01 11 10 t i t fD = x¯1 x3 w x¯2 x¯4 00 1 0 1 In s vaatleme, milleks arvutuvad leitud normaalkujud määramatuspiirkonnas. 01 0 0 1 1 Milleks arvutub leitud MDNK funktsiooni määramatuspiirkonnas ? 11 0 0 0 f D (0011) = ? f D (1110) = ? 10 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Kirjutame välja vektorid, mille korral funktsiooni väärtus on 0. TKNK = f(x1...x4) = (1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4)( 1 v 2 v 3 v 4) 7 7. Shannoni disjunktiivne arendus ühe muutuja järgi MDNK = f(x1...x4) = 1 2 4 v 1 2 3 v 2 3 4 v 1 2 3 4 v 1 2 3 4 Shannoni disjunktiivne arendus x2 järgi: f(x1...x4) = 2 ( 1 1 4 v 1 1 3 v 0 3 4 v 1 1 3 4 v 1 1 3 4 ) v 2 ( 1 0 4 v 1 0 3 v 1 3 4 v 1 0 3 4 v 1 0 3 4 ) = 2 ( 1 4 v 1 3 v 1 3 4 v 1 3 4 ) v 2 (3 4 ) Tulemus: 2 ( 1 4 v 1 3 v 1 3 4 v 1 3 4 ) v 2 (3 4 ) 8. Shannoni disjunktiivne arendus vabaltvalitud kahe muutuja järgi MDNK = f(x1..
x x 1 2 x4 Tõestada DeMorgani seadused 3 muutuja jaoks nii tõeväärtustabeliga kui ka valemiliselt. Antud kolme muutuja nn. mazhoritaarfunktsioon: f x1 , x2 , x3 x1x2 x2 x3 x1x3 . Tõestada, et kehtivad järgmised võrdused: f x1 , x2 , x3 x2 f x1 , x2 , x3 f x1 , x2 , x3 Loogikafunktsioonide normaalkujud Loogikafunktsioon f(x1 , x2 ,..., xn ) võib olla esitatud erinevate valemite abil. Näiteks f x1 , x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x2 x2 ............. Loogikafunktsiooni kanoonilisi standardseid esitusvalemeid nimetatakse funktsiooni normaalkujudeks. Disjunktiivne normaalkuju (DNK) on valem, mis koosneb elemantaarkonjunktsioonide disjunktsioonist.
x x x3 x2 x1 1 4 ( 1 2 ( x x x4 ) ) · Tõestada DeMorgani seadused 3 muutuja jaoks nii tõeväärtustabeliga kui ka valemiliselt. · Antud kolme muutuja nn. mazhoritaarfunktsioon: f ( x1 , x2 , x3 ) = x1x2 x2 x3 x1 x3 . Tõestada, et kehtivad järgmised võrdused: f ( x1 , x2 , x3 ) = x2 f ( x1 , x2 , x3 ) = f ( x1 , x2 , x3 ) Loogikafunktsioonide normaalkujud Loogikafunktsioon f(x1 , x2 ,..., xn ) võib olla esitatud erinevate valemite abil. 11 Näiteks f ( x1 , x2 ) = x1 x2 = x1 x2 x2 = ( x1 x2 x1 x2 x2 )( x2 x2 ) =............. · Loogikafunktsiooni kanoonilisi standardseid esitusvalemeid nimetatakse funktsiooni normaalkujudeks. · Disjunktiivne normaalkuju (DNK) on valem, mis koosneb elemantaarkonjunktsioonide disjunktsioonist.
11 0 0 0 — . . . järelikult tasub valida SUURIMAD võimalikud kontuurid, misjuhul 11 0 0 0 0 tuleb avaldisse VÄHIM arv algterme xi ehk saame minimaalseima 10 1 0 0 1 10 1 0 0 1 normaalkuju. MDNK leitud ja analüüsitud — edasi leiame samale funtsioonile MKNK x2 x4 1-de kontuuridele vastavad osaliselt määratud funktsiooni a ! KNK saadakse alati loogikafunktsiooni 0de piirkonnast !
1 0 0 0 - 1 1 0 0 1 1 0 Minimaalne konjuktiivne normaalkuju: f ( x 1 x 2 x3 x 4 ) =( x´ 1+ x 3 ) ( x´1+ x´2 + x 4 ) (x 2 + x 3 + x´4 ) MDNK McCluskey' meetodiga ( 2,3, 4, 7, 10,11 )1 ( 0,5, 6,14 )−¿ f ( x1 x 2 x 3 x 4 ) =∑ ¿ Index 1-de piirkond 2-sed Vahe 4-sed Vahe 0* - 2 2 0* - 2 - 4 - 6 2,4 0 0*
4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 -1 1 -1 0 Täielik DNK: x1x2x3x 00 01 11 10 4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 -1 1 -1 0 5. Täielik KNK: x1x2x3x 00 01 11 10 4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 - 1 -0 0 6. Shannoni disjunktiivne arendus (x1x2x4 järgi) = = 7. Shannoni disjunktiivne arendus (1 muutuja järgi) = 8. Shannoni konjunktiivne arendus (järgi) & & =[ 9. Reed-Mulleri polünoom
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ 094231 Tallinn 2009 1. Ülesanne Matrikli number on: 094231 Matrikkel teisendatuna kuueteistkümmendsüsteemi saan tulemuseks 17017 Antud kuueteistkümmendarv kaheksakohalisena oleks 24D9BD77 1-de piirkond on mul seega: 2 4 7 9 11 13 Jagades kaheksakohaline kuueteistkümmendarv 11'ga saan tulemuseks 22AED07 Määramatuspiirkond on mul seega: 0 10 14 Seega oleks matriklinumbrile 094231 vastav 4-muutuja loogikafunktsioon oma numbrilises 10ndesituses: f(x1,x2,x3,x4) = (2, 4, 7, 9, 11, 13)1 (0, 10, 14)_ f(x1,x2,x3,x4) = (1, 3, 5, 6, 8, 12, 15)0 (0, 10, 14)_ 2. Ülesanne 2.1 MDNK Karnaugh' kaardiga: x3x4 x1x2 00 01 11 10 0 00 0 1
f(0001) = 0 1 1 1 1 1 = 0 f(0101) = 1 0 1 1 1 1 = 0 f(0110) = 1 1 0 1 1 1 = 0 f(1001) = 1 1 1 0 1 1 = 0 f(1010) = 1 1 1 1 0 1 = 0 f(1101) = 1 1 1 1 1 0 = 0 *Saadud KNK on täielik, kuna iga tema elementaardisjunktsioon sisaldab kõiki nelja funktsiooni muutujat. 7. Teha punktis 3 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus. MDNK = ( ´x 3 ´x 4 v x3x4 v ´x 1 ´x 2 3 x v x1x2x3) *x3 me esineb kõige rohkem *Jääkfunktsioonide teguriteks on algtermid ´x ja x3
DNK-d lihtsaima DNK-ni, milleks see TDNK lihtsustub. Võrrelda lihtsustamisel saadud DNK-d eelnevalt (punktis 3) leitud MDNK-ga: — kas nad on võrdsed? — kui nad pole võrdsed, siis kumb nendest on väiksema keerukusega (ehk lihtsam) avaldis ja miks? fTDNK ( 1 2x3 4) v ( 1 2x3x4) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) = 1 2x3( 4 v x4) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) = ( 1 2x3) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) Funktsioon edasi ei lihtsustu. Kontrollin Karnaugh kaardiga, ignoreerides määramatuspiirkonda: 00 01 11 10 x1 x3 x2 x4 00 0 - 1 1 01 1 - 0 - 11 - 0 - - 10 0 - 0 1 Tulemus tuleb sama: fTDNK = ( 1 2x3) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) MDNK ja DNK ei ole võrdsed
Täielik KNK f ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) = ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) & ( x1 x 2 x3 x 4 ) Lahendasin Karnaugh' järgi: x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 0 01 11 0 0 0 10 0 0 6. MDNK Shannoni disjunktiivne arendus kahe muutuja järgi x1 x3 f(x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x2 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x3 x4 = = x1 x3 (1 x2 1 1 x4 0 x2 0 0 x4 ) x1 x3 (0 x2 0 1 x4 1 x2 0 0 x4 ) x1 x3 (1 x2 1 0 x4 0 x2 1 1 x4 ) x1 x3 (0 x2 0 0 x4 1 x2 1 1 x4 ) = = x1 x3 ( x2 x4 ) x1 x3 (0) x1 x3 ( x2 x4 ) x1 x3 ( x2 x4 ) 7. Shannoni disjunktsioon ühe muutujaga x 2 f(x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x1 x2 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x3 x4 =
6) MKNK = ( ´x 1 V x 2 V x 4 ) ( x 1 V ´x 4 ) ( x1 V ´x2 ) x 3 on mitteoluline muutuja. f ( x 1 , x 2 , x 4 )=( ´x 1 V x 2 V x 4 ) ( x 1 V ´x 4 ) ( x 1 V ´x 2) = = ( ´x 1 V x 2 V x 4 ) ( x 1 V x´ 2 ) ( x 1 V ´x 2 V x´ 4 ) ( x 1 V x 2 V x´ 4 ) = = ( ´x 1 V x 2 V x 4 ) ( x 1 V ´x2 V x´ 4 )( x1 V x´ 2 V x 4 )( x 1 V x 2 V x´ 4 ) ´x 1 ´x 2 ´x 4 V x1 x 4 V x 1 x 3 7) MDNK = Kõige rohkem x 1 , seega Shannoni arendus x 1 järgi avaldisele f =´x 1 ´x 2 ´x 4 V x1 x 4 V x 1 x 3 f =´x 1 f ( 0 x 2 x3 x 4 ) V x1 f ( 1 x 2 x 3 x 4 ) ehk 0 ´x 2 x´ 4 V 1 x 4 V 1 x 3 f =´x 1 ( 1 ´x 2 ´x 4 V 0 x 4 V 0 x 3 ) V x 1 ¿ ) = = ´x 1 ( ´x 2 ´x 4 ) V x 1 (x3 V x 4) ´x 1 ´x 2 ´x 4 V x1 x 4 V x 1 x 3 8) MDNK =
Vastus 5 C on väärtusega 12 Vastus 6 D on väärtusega 13 Vastus 7 A on väärtusega 10 Vastus 8 F on väärtusega 15 LOOGIKAFUNKTSIOONID Küsimus 1 Õige Hinne 3,00 / 3,00 vali mõlemasse lünka õiged valikud: Konjunktiivne Normaalkuju (KNK) on Vasta disjunktsioonide konjunktsioon mis saadakse tõeväärtustabeli Vasta 0de piirkonnast Küsimus 2 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Millised on loogikafunktsiooni võimalikud esitusviisid ? Vali üks või enam: loogikaavaldis numbriline kümnendesitus tõeväärtustabel osaline järjestussuhe Venni diagramm Hasse diagramm hulk Grassmani valem
Reed - Mulleri POLÜNOOM x 3 x4 x 1 x2 00 Ü Loogikaavaldise erikuju, mis sisaldab ainult loogikatehteid : 01 11 10 summa mooduliga 2 : T 00 1 1 T konjunktsioon : & konstant 1 : 1 01 1 . . . . ja kus sulud on lahtikorrutatud (ehk sulge enam pole) 11 1 1 1 1 Reed-Mulleri polünoom on seega (s
annaabi.ee 
