Mata eksami küsimused ja vastused 1. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond ja muutumispiirkond. Kolme põhilise elementaarfunktsiooni graafikud. - y=f(x), on eeskiri, mis seab ühe muutuja (sõltumatu muutuja ehk argumendi) igale väärtusele vastavusse teise muutuja (sõltuva muutuja) kindla väärtuse. - Argumendi väärtuste hulk on funktsiooni määramispiirkond X ja funktsiooni väärtuste hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni.
2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C, sest (- cos x + C) = sin x. 1 Funktsiooni f , millel on olemas määramata integraal, nimetatakse integreeruvaks funktsioo- niks. Määramata integraali leidmist funktsioonist f , nimetatakse selle funktsiooni integreeri- miseks. Elementaarfunktsioonide diferentseerimisel nägime, et elementaarfunktsiooni tuletis on üheselt määratud ja see avaldub samuti elementaarfunktsioonina. Elementaarfunktsioonide integreerimisel on olukord teine. Esmalt, kui funktsioonil leidub algfunktsioon, siis on algfunktsioone lõpmata palju. Teiseks, leidub küllalt palju elementaarfunktsioone, mille määramata integraal ei avaldu elementaarfunktsioonina. Selliste integraalide näiteks on 2 e-x dx, sin x2 dx.
erivõimsus (kW/kg). 5. Arvuti laialdane kasutamine masinate konstrueerimis- ja tootmisprotsessis. Masstootmisel asendatakse koostamisel inimene robotiga. Joonis 1. Juhtmete kinnitussõlm auto kere külge enne (vasakul) ja peale (paremal) automatiseeritud koostamisele üleminekut. Joonis 2. Käigukast koosneb erineva kuju, otstarbega ja tööpõhimõttega masinaelementidest. Masinaelement ja selle määratlus Masinaelement on tehnilises süsteemis elementaarfunktsiooni täitev komponent. Masinaelement on detail ehk osa, mis on valmistatud ilma koostamiseta (polt, mutter,hammasratas jne . Joonisel 3 kujutatud hammasratas muudab hambumises ülekantava jõu rummu pöördemomendiks Masinaelement võib olla koost või grupp (kindlat funktsiooni täitev detailide ühendus (pidur, sidur, laager, ülekanne jne). Joonisel 4 kujutatud tiguülekanne muudab teo pöörlemise ristuva võlli pöörlemiseks.
Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. võrratust x>M. x. nende korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis xa. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga 12.Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, = {(, ()|| }. (JOONIS) Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. mistahes suure positiivse arvu M korral saab näidata ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult
Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx Näide: y = tanx pöördfunktsioon. y = arctanx 6. Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused (näiteks, kuidas funktsiooni y = f(x) graafikust visandada funktsiooni y = -b f(x+a) graafik, kui a<0, b>0). Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon (tooge näide). Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud. Graafikute teisendused. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehte ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Funktsioon, mis ei ole elementaarfunktsioon. 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul.
i.2. y=arcosx X[-1;1] Y=[0;] e.i.3. y=arctanx X=R Y e.i.4. y=arccotx X=R Y(0;) e.i.5. Arkusfunktsiooni graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x (JOONISED) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. a. Algebralised tehted funktsioonidega Funktsioonide f ja g summa on kujutis, mis seab igale xX vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y=f(x) + g(x). Kehtib seos y=(f+g)(x)=f(x)+g(x). f ja g vahe y=(f-g)(x)=f(x)-g(x). f ja g korrutis y=f(x)*g(x). f ja g jagatis y=f(x)/g(x), g(x)0 Summa vahe ja korrutise korral X=R b. Liitfunktsiooni mõiste
neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) =f(x) - g(x), korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) =f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise
peegeldused üle sirge y = x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. y = (f + g)(x) = f(x) + g(x) y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) y = (f/g)(x) = f(x)/g(x) Liitfunktsiooni mõiste. z = (g f)(x) = g[f(x)] Liitfunktsiooni määramispiirkond. Xgf = {x||x Xf, f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = log a x, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx ja y = arccotx. Elementaarfunktsiooni definitsioon. funktsioon, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn , kus a0,a1,a2,...,an-1,an on konstandid ja an ei võrdu 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid.
muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega Kus a0,a1,a2,...,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid
muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga . · Liitfunktsiooni määramispiirkond määramispiirkond on: · Põhilised elementaarfunktsioonid konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y =loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. · Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega Kus a0,a1,a2,...,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid
Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) =? y liitfunktsiooni (g f)(x) =sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0,), siis Xgf = {x || sin x [0,)} ={x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Põhilised elementaarfunktsioonid: Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon: Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega.
3. Analoogiliselt defineerime ka parempoolse piirväärtuse, kus tuleb asendada -ga. · Vahemikus pidev funktsioon kui funktsioon on pidev vahemiku (a,b) kõigis punktides, järelikult on funktsioon ka pidev vahemikus (a,b) · Lõigul pidev funktsioon lisaks vahemikus olevale pidevusele peab olema funktsoonil parempoolne pidevus vasakpoolses otspunktis ja vasakpoolne pidevus parempoolses otspunktis. · Elementaarfunktsiooni pidevus Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad, mis ei tähenda aga seda, et neil poleks katkevuspunkte. Nt funktsioonil on katkevuspunktid aga need ei asu tema määramispiirkonnas. Ehk, kui punkt kuulub funktsiooni määramispiirkonda siis on täidetud pidevuse esimene tingimus ja automaatselt ka teine ja kolmas mistõttu saab a arvutamisel kasutada valemit 16.
seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on liitfunktsiooniga. Tähistame seda f-ni sümboliga g f, kirjutame võrduse: z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f MP ei pruugi kattuda f MP-ga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel X f, mille korral f(x) asub funktsiooni g MP-s. Ainult siis saame leida f-ni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f MP selline: Xg f = x x Xf , f(x) Yg Elementaarfunktsiooni mõiste Põhilised neist on: konstantne funktsioon, y = , y = , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = , y = arcsin x, y = arccos x, y= arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N-astme polünoom on defineeritud avaldisega:
Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega;
Planeerimise häire – hajameelsus. Osaline või täielik halvatus (verevarustusehäire). Kaasasündinud reflekside vallandamine uuesti. Võrreldes täiskasvanuga võib sama piirkonna kahjustus lastel anda nii kergemaid kui raskemaid tagajärgi. 18 2. Inimese psüühika on tervik, mitte osade summa, samade omadustega tervikuid võib saada erinevatest osadest. Üksiku elementaarfunktsiooni langus ei vii tingimata üldtaseme langusele. Näiteks kurtus pole piisav vaimse alaarengu tekkimiseks. Järelikult ajukahjustus ei ole tingimata „lootusetu“ olukord (õpiraskused jms). (Üks poiss ainult ühe ajupoolkeraga sai ülikooli ja oli ka 5 parima seas, nähtav oli ainult kerge parema käe halvatus – liigutused polnud perfektsed). Õpetamisega saab paremaks, progresseeruvaid saab edasi lükata. Vaimse arengu tulemusel suureneb
määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f(x) ∈ Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y =cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x− /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega;
Jagame selle võrratuse iga liikme läbi arvuga sin x, tulemuseks saame: x 1 sin x 1< < milest järeldub: cos x < < 1 (1.1) sin x cos x x Kuna punkt a = 0 asub elementaarfunktsioon y= cos x määramispiirkonnas, siis teoreemist (1*) järeldub, et limx0=cos0 = 1. Rakendades võrratusele (1.1) keskmise muutuja omadust, saamegi võrduse (**) M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui ( x )
piirväärtusi punktis x, s.t. üldjuhul f (a - ) lim f ( x ) ja f (a + ) lim f (x ) . x a - xa + Teoreem: Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis (vasakpoolne, parempoolne) mingis punktis, siis funktsioon on (vasakult, paremalt) pidev selles punktis. Vastupidine ei kehti, s.t. funktsiooni pidevusest ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Iga elementaarfunktsiooni tuletis on elementaarfunktsioon. Kuna kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas, siis säilitavad nad seega oma pidevuse tuletise võtmisel. 16 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Diferentseerimisreeglid Tehetega seotud diferentseerimisreeglid
Seega x2 e dx . See integraal, Poissoni integraal, esineb sageli tõenäosuusteoorias ja matemaatilises ststistikas, sest nn. Gaussi kõver esitatakse selle integraali abil. Poissoni integraali vahetu arvutamine määramata integraali abil ei ole võimalik, sest 2 funktsioon e x ei avaldu elementaarfunktsioonides: ei ole olemas ühtegi 2 elementaarfunktsiooni, mille tuletis oleks e x . Näide 30. Arvutada sfääriga x 2 y 2 z 2 2 2 ja silindriga x 2 y2 2y 0 piiratud keha ruumala (vt. näiteks allpool olevat joonist) Siin võime integreerimispiirkonnaks võtta silindri x 2 y 2 2y 0 põhja, milleks on ring keskpunktiga 0, 1 ja raadiusega R 1, sest selle võrrandi saame täisruuduks
T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]. Seega on g f m¨a¨aramispiirkond j¨argmine: Xgf = {x || x Xf , f (x) Yg } . N¨aiteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g f )(x) = sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = j¨ cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
T~oepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨a¨artuse kohal f (x) ehk suuruse g[f (x)]. Seega on g f m¨a¨aramispiirkond j¨argmine: Xgf = {x || x Xf , f (x) Yg } . N¨aiteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g f )(x) = sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ), siis Xgf = {x || sin x [0, )} = {x || 2k x (2k + 1), k Z)}. Elementaarfunktsiooni m~ oiste. P~ohilisteks elementaarfunktsioonideks on j¨argmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨
y = (x sin x + cos x) = (x sin x) + (cos x) = = x sin x + x(sin x) - sin x = sin x + x cos x - sin x = x cos x. J¨ areldus 4.3. Konstantse teguri saab tuua tuletise m¨argi alt v¨alja: [c · u(x)] = c · u (x). T~oepoolest teoreemi 4.2 p~ohjal [c · u(x)] = c · u(x) + c · u (x) = c · u (x). 6 Selle j¨arelduse abil saame j¨arjekordse p~ohilise elementaarfunktsiooni y = loga x (a > 0, a = 1) tuletise, kasutades selleks logaritmide aluse mut- ln x mise valemit loga x = . Saame ln a 1 1 1 1 1 (loga x) = ln x = (ln x) = · = . ln a ln a ln a x x ln a Seega 1
annaabi.ee 
