3. Positiivsus X+=R Negatiivsus X-=Ø 4. Ekstreemum kohad Xe= Ø 5. Kasvamine ja kahanemine X=R 6. Käänukohad Xk= Ø 7. Kumeruspiirkond X= Ø Nõgussuspiirkond X=R 8. Väärtuste hulk e. muutumis piirkond Y=(0;) 9. Eksponentfunktsiooni graafik läbib alati punkti 0 ja 1 (0;1) Pedak
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
Eksponentvõrratused © T. Lepikult, 2003 Eksponentvõrratuste lahendamine Eksponentvõrratuses esineb otsitav muutuja üksenes eksponentfunktsiooni astendajas. Lahendamisel y y = (1/2) x 8 y = 2x kasutatakse eksponentfunktsiooni monotonsuse omadust: ühest suurema aluse 5 korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0,
LOGARITM
Eksponetfunktsiooniks nim funktsiooni y=ax ,kus a>0 ja a=1
Eksponetfunktsiooni omadused:
*Eksponentfunktsiooni y=ax määramispiirkond on reaalarvude hulk R
*Muutumispiirkond on positiivsette reaalarvude hulk.
* Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
Funktsiooni määramispiirkonnaks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral saab leida f-ni väärtust. Funktsiooni muutumispiirkonnaks nim. funktsiooni väärtuste hulka. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni nullkohaks nim. argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus võrdub 0-ga. y = 0 Funktsiooni positiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed. y > 0 Funktsiooni negatiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooniväärtused on negatiivsed. y < 0 ____________________________________________________________________________________________ Funktsiooni pöördfunktsiooni leidmiseks tuleb a.) vahetada muutujad x ja y b.) saadud avaldisest avaldada y Funktsiooni graafik ja tema pöördfunktsiooni graaf...
4 y= +(a -2b) + sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, on naturaallogaritmi alus. a-e x+3 5 a 2 +x 2 cos 2 y 3 x 2 2 by 5 y= ln - 2 5 z= +btan +sin
järeldub f (x1) < f (x2). Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1 < x2 järeldub f (x1) > f (x2). 12. Mis on astmefunktsioon? (lk 7) Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul y = x α, kus α on nullist erinev reaalarv (e astendaja). Näiteks funktsioonid y = x −1 , y = √ x ja y = x 2020 on astmefunktsioonid. 13. Mis on eksponentfunktsioon? Esitada eksponentfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud. (lk 7, 13) Üldiseks eksponentfunktsiooniks ¨ nimetatakse funktsiooni kujul y = ax , kus reaalarv a täidab tingimusi a ei võrdu 1 ja a > 0. Erijuhul, kui a = e = 2,71828182845904523536028747135... (e on nn. Euleri arv), nimetatakse funktsiooni y = ex eksponentfunktsiooniks. NB! Kui 0 < a < 1, siis funktsioon on y = a x on kahanev hulgal R ja kui a > 1, siis funktsioon y = a x on kasvav hulgal R.
1Eksponentsiaalne kasv tähendab, et rakkude arv suureneb eksponentfunktsiooni järgi. Eksponentfunktsioon on selline funktsioon, mille juurdekasv on proportsionaalne funktsiooni väärtustega. Kui kasv on sünkroonne, siis kehtib valem N=N0 x2k , kus N on lõplik rakkude arv, k- jagune,iste arv N0 rakkude algkogus. Sünkroonset kasvu kirjeldab diagramm..Rakkude asünkroontset kasvamist kirjeldab valem N= N0 x e t , kus on rakkude kasvu erikiirus, t-aeg, N0 rakkude arv alghetkel. Asünkroontse kasvu korral on diagramm selline. kasvukiirus, on mikroorganismi
tolli V 0 3,87 0,127 3,82 0,254 3,4 0,381 2,6 0,508 1,4 0,635 0,92 0,762 0,71 4.7.2 Anduri kalibreerimine Kasutades eelmise ülesande käigus programmi poolt välja arvutatud eksponentfunktsiooni arvliikmeid, kalibreerime anduri. Amlituut (a) 0,972 Sumbumine (b) - 0,408 4 4.8 Optiline positsiooniandur 4.8.1 Andmete kogumine Keerates ratta 0-positsioonile, märkisime tabelisse vastava anduri lugemi. Kordasime mõõtmisi iga 10 täispöörde järel, märkides igal korral tulemuse tabelisse.
4 bx+2,7 4b z=cos( x )+ +asin y +sin Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 a+b ab avaldise absoluutväärtust x+3 2 2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e a-e a +x cos 2 y 3 x 2 2 by y= ln - 5 2 z= +btan +sin on naturaallogaritmi alus. 5 5 bx+3,2 b 5 2a3 2,5a a+x Vastuste variandid kahe algandmete komplekti jaoks. Võrrelge oma tulemusi! c z nr
15 Astmefunktsiooni tuletis y = x n , n R, x > 0 ln y = ln x n ln y = n ln x 1 1 y' = n y x 1 n 1 y ' = yn = x n = nx n -1. x x ( x n )' = nx n -1 Valem kehtib ka siis, kui x < 0, kui vaid xn omab mõtet. Ülesanne (kodus): Kasutades logaritmimisvõtet leida eksponentfunktsiooni tuletis. 16 Astme-eksponentfunktsioonide tuletis y = xx y = (sin x) x Funktsiooni kujul y = u ( x) v ( x ) , u ( x) > 0 nimetatakse astme-eksponentfunktsiooniks. Astme-eksponentfunktsiooni korral osutub logaritmilise diferentseerimise võte vältimatuks, sest diferentseerimise põhivalemite hulgas ei ole valemit juhuks, kus astme alus ja astendaja korraga muutuvad.
NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. ähendavad t unktsiooni, kus e . ähendavad t unktsiooni, kus e . a x2 b x c 0 Ruutvõrrandi lahendamine b b 2 4ac
* Kontrollib kumma animatsiooni pildiga on tegemist ning vastavalt sellele reguleerib muutuja Piir väärtust * Kontrollib kas karakter jookseb üle joone ning vastavalt sellele kuvab teate ning paneb väljaku algasendisse. Otstarve: Muudab animatsioonis korda mööda kahe pildi nähtavust. Kasutatakse protseduuris Jooksmine(). Tegevused: * Kontrollib kumb animatsiooni pilt on nähtav ning siis varjab selle ning teeb teise pildi nähtavaks. Otstarve: Kirjeldab eksponentfunktsiooni, millega määratakse oda kaldenurk jooksu ajal vastavalt joostud maale. Kasutata Parameetrid: JooksuHetkeKaugus - muutuja, millega on määratud kui kaugele on karakter jooksun. Tegevused: * Annab muutujale HetkeNurk uue väärtuse vastavalt joostud maale. Otstarve: Kirjeldab oda lendu vastavalt viskenurgale. Käivitub oda viskamise nuppu vajutades. Muutujad: Gravitatsioon - programmisisene gravitatsioonikonstant. Vaikesättena 2. Xkiirus - x-telje shiline oda liikumise kiirus lennu ajal.
avaldise komplekti jaoks langema k absoluutväärtust toodud vastustega. e tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x on naturaallogaritmi alus. Funktsioonid y ja z valida tabelist a ja c väärt
4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e bx+2,7 4b z=cos( x)+ on naturaallogaritmi alus. a+b ab NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Olgu antud funktsioon = ! . Eeldame, et iga korral hulgast leidub ainult üks nii, et valitud on selle -i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon ! on üksühene. Üksühese funktsiooni = ! pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale ! -le funktsiooni ! väärtuste hulgast vastavusse -i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi = ! muutuja suhtes. Eksponentfunktsiooni = , pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et > 0 ja 1. Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad kohad, siis funktsiooni = log + määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt = 0, ja = . = log + graafik on = , graafiku peegeldus sirge = suhtes. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktisoonid. Kuna
Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a = 1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). 1 Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] ,
· Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus
· f(-x)= f(x)
· Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul
· y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv)
·
+
24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1
x
· .
· Määramispiirkond kõik reaalarvud
· Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud
· Graafik läbib punkti (0;1)
· Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud, siis
nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y =cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid: Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene
argumendiga x 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema
+(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by 5 bx+3,2 b 2 z= +btan +sin
+(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by 5 bx+3,2 b 2 z= +btan +sin
V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID EKSPONENTFUNKTSIOON Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
k ! ( n−k ) ! 70)Sündmus ja selle tähistamine. Sündmus on tegevus, mille katse võimalikku tulemust ei teata ette (P) 71)Mis on tõenäosus ( sõnastus ja valem) Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. soodsate võimaluste arv Sündmus= kõigi võimaluste arv 72) a) Eksponentfunktsiooni graafik b) logaritmfunktsiooni graafik c) pöördfunktsiooni graafik 73) paaris –ja paaritu funktsiooni leidmise tingimus Paarisfunktsioon f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon f(-x)=-f(x) 75) Mille suhtes on sümmeetriline a) paarisfunktsiooni (y-telje suhtes) b) paaritu funktsiooni(koordinaatide alguspunkti suhtes) c) pöördfunktsiooni (sirge y=x suhtes) graafikud
a y nr c z nr (a) ja eelviimane (b) number. Nende kaudu arvut 0 5 0 4 y nr ja z nr. Nende numbrite järgi võtad allolevate 1 4 1 1 kaks varianti. Ülejäänud kustuta ära. 2 3 2 5 3 2 3 3 4 1 4 2 NB! 5 5 5 1 Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise 6 4 6 5 absoluutväärtust 7 3 7 3 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. 8 1 8 4 9 2 9 2 evatesse lahtritesse oma matrikli viimane number. Nende kaudu arvutub automaatselt umbrite järgi võtad allolevatest valemitest nud kustuta ära. is | tähendavad avaldise entfunktsiooni, kus e on s. Ruutvõrrandi lahendamine a 3 b 6 120 c 2 x1 -4
4 y= +(a -2b) + sin x2 2,5y avaldise absoluutväärtust +asin 3 y 2+sin2 ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e bx+2,7 4b z=cos( x)+ on naturaallogaritmi alus. a+b ab NB! 4b-ax 3 3 2 3x Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad
+(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by 5 bx+3,2 b 2 z= +btan +sin
+(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust 4 a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by 5 bx+3,2 b 2 z= +btan +sin
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 2 b 3 c 1 x x1 ei ole 5 x2 ei ole 4,5 4 3,5 3
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 3 x y b 5 -5 c -1 -4 x1 -3 x2 -2 -1 0 1 2 3 4 5
4 2 4 4 5 4 5 5 6 3 6 1 7 5 7 3 8 2 8 2 9 1 9 4 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. 1) Ruutvõrrandi lahendamine Ku S a -800 K
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 2 b 3 c 1 x1 #VALUE! x2 y=ax²+bx+c #VALUE! 12 10 8 x y 6 -5 #VALUE! 4 -4 #VALUE
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 1 b 2 c -3 x1 #VALUE! x2 #VALUE! D -33,9375 y=ax2+bx+c 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 -4,75 -1 -4 -4,75 -2 -3 -4,75 -3
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 9 b 1 c 0 x1 -1,40625 x2 -1,0555556 D 14,0625 x -5 -4 -3 -2 -1 y 220,00 140,00 78,00 34,00 8,00 12
4 2 4 4 5 4 5 5 6 3 6 1 7 5 7 3 8 2 8 2 9 1 9 4 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 1 b 2 c -3 VBA x1 3,86183298 #NAME? x y x2 -15,111833 #NAME? -5 53,25 -4 30
+(a -2b)2+ NB! y= sin x2 3 2 2 2,5y Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad 4 bx+2,7 4b 4 z=cos( x)+ +asin y +sin avaldise absoluutväärtust a+b ab ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e x+3 2 2 on naturaallogaritmi alus. a-e 5 a +x cos 2 3 y x 2 y= ln - 2 by 5 bx+3,2 b 2 z= +btan +sin
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a -2 b 1 c 9 x1 lahend puudub y x2 lahend puudub 10 D -93,9375 11; 8,25 10; 8,25 9; 8,25
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 1 b 2 c -3 x1 -1,8042476 x2 0,55424764 D 50,0625 x y -5 2,25 -4 2,25 -3 2,25 -2 2,25 -1 2,25 0 2,25 1 2,25 2 2,25 3 2,25 4 2,25
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 1 b 7 c 10 D -105,9375 Y1 #VALUE! x1 Ei ole! x2 Ei ole! Ruutparabool 120 Algus Samm 100 -5 1
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 2 b 3 c 0 Funktsiooni väärtus x1 #NAME? x2 #NAME? 12 D 9 10 8 x y -5 #NAME? 6 -4,5 #NAME?
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. Ruutvõrrandi lahendamine a 2 b 3 c -9 x1 -0,1517576 x2 -1,0982424 D 8,0625 Algus 5 Lõpp -5 x y y=ax2+bx+c 5 -0,25 0
Negatiivsetel arvudel ja 0 puudub logaritm. Logaritmi alus a on 0
4 2 4 4 5 4 5 5 6 3 6 1 7 5 7 3 8 2 8 2 9 1 9 4 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. moodul ruutvõrrand Ruutvõrrandi lahendamine a 9 b 1 c 0 VBA x1 -0,9583333 -0,1111111 lahenda ruutvõrrand x2 -0,2916667 0 d -57,9375 1 graafik x y -5 5,25
väärtused, siis leidub punktide a ja b vahel vähemalt üks punkt x=c, milles funktsioon
omandab väärtuse null f(c) = 0
Sellel teoreemil on geomeetriline sisu: Pideva funktsiooni graafik, mis ühendab punkte M1(a;
f(a)) ja M2(b;f(b)), kus f(a) < 0 ja f(b) > b lõikab x telge vähemalt ühes punktis.
5) Defineerida logax
Logaritmfunktsioon: y=logax (0
Antud funktsiooni korral X = R ja Y = (0;1). 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse kõigi selliste x X hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ;
Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva piirväärtuste võrduse omahelise seose kohta lõpmatuse ümbrusesse kui x<-M. suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse Tõkestatud hulga definitsioon Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = Piirväärtus lim () eksisteerib ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed graafikut maksimaalselt ühes punktis. Eksponentfunktsioon on ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
o.kui y = cosx , siis y = -sinx. 41. 42. Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletiste valemid. 43. Konstandi valem: C'=0 44. Summa valem: (u+v)'=u'+v' 45. Korrutise valem: (uv)'=u'v+uv' u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du = 49. dx du dx 50. 51. Eksponentfunktsiooni ja logaritmfunktsiooni tuletis ning astmefunktsiooni tuletis mistahes reaalarvulise astendaja puhul (valemid). Funktsioonide y = tan x ja y = ln x tuletiste valemid. Logaritmiline diferentseerimine. Arkusfunktsioonide tuletiste valemid 52. ( x) = 1 53. ( x ) = x -1 54. (e x ) = e x 55. ( a x ) = a x ln a 1 (ln x) = 56. x 1 (log a x ) = 57
4 4 4 2 5 2 5 1 6 3 6 5 7 1 7 3 8 4 8 4 9 5 9 2 NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. emid y ja z väärtuste arvutamiseks. Lahtritele atud. evate algandmete a, b, ja x väärtuste korral. eitud väärtused peaks algandmete (a, b, x) ühe jaoks langema kokku allpool toodud vastustega. valida tabelist a ja c väärtuste alusel: viimane number viimase (a) ja eelviimase (b) numbrite summa 1) Koosta valemid, mis võ
NB! Püstkriipsud: | avaldis | tähendavad avaldise absoluutväärtust ex tähendab eksponentfunktsiooni, kus e on naturaallogaritmi alus. ähendavad t unktsiooni, kus e . 1) Koostada a x2 b x c 0 ax2 + bx + Ruutvõrrandi lahendamine b b 2 4ac Kui lahendid x1, 2 ole".
kahanemine. kasvamise ja kahanemise bioloogilised Eksponentfunktsio olemust; ülesanded. on, selle graafik ja 2) lahendab liitprotsendilise omadused. Arvu kasvamise ja kahanemise logaritm. Korrutise, ülesandeid; jagatise ja astme 3) kirjeldab eksponentfunktsiooni, logaritm. x Logaritmimine ja sh funktsiooni y = e omadusi; potentseerimine. 4) selgitab arvu logaritmi mõistet Üleminek logaritmi ja selle omadusi; logaritmib ning potentseerib lihtsamaid avaldisi; ühelt aluselt 5) kirjeldab logaritmfunktsiooni ja teisele
annaabi.ee 
