Piirväärtuse võimalikud variandid · Lõplik piirväärtus lõplikus punktis. o lim ( + 6) = 8 2 · Lõpmatu piirväärtus lõplikus punktis. 1 o lim 2 = 0 · Lõplik piirväärtus lõpmatuspunktis. 1 o lim =0 · Lõpmatu piirväärtus lõpmatuspunktis. o lim 2 = 5 Piirväärtuse tehetega seotud omadused · Eksisteerigu piirväärtused lim () ja lim () (lõplikud või lõpmatud). · Siis: o lim [ ] = lim , kus c on konstant o lim [() ± ] = lim ± lim o lim [() ] = lim lim () lim o lim = , lim 0 () lim
Kordamisküsimused 1. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid (tarvilikud ja piisavad tingimused ekstreemumite leidmiseks) o Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused: Olgu funktsioonil f punktis A(a1;...; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (f )(A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (f )(A) = 0. o piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Globaalsed ekstreemumid o u u x, y, z,... x, y, z,..
Olgu funktsioonid f ( x ) ja ( x ) pidevad ja diferentseeruvad iga x a korral punkti a ümbruses, kusjuures ( x ) ei muutu f ( x ) lim f ( x ) = lim ( x ) = lim =A x a ( x ) nulliks. Olgu veel xa ja x a ja eksisteerigu piirväärtus . Siis lim ( f x ) lim ( f x ) = lim ( f x ) =A x a ( x ) x a ( x ) x a ( x )
Punkti, milles on täidetud tingimused nimetatakse funktsiooni u = f (x1; ... ; xn) statsionaarseks punktiks. Punkti P, milles funktsiooni u = f (x1; ,,, ; xn) kõik eksisteerivad osatuletised fxi võrduvad nulliga nimetatakse selle funktsiooni kriitiliseks punktiks. Lokaalsed ekstreemumid võivad esineda funktsiooni f kriitilistes punktides. Olgu funktsioonil f punktis A(a1;... ; an) lokaalne ekstreemum ning eksisteerigu gradient (A). Siis A on funktsiooni f statsionaarne punkt st (A) = 0. 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada. 15. Kahemuutuja fnktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange funktsioon. Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange funktsiooni statsionaarsete punktidega. Globaalsed ekstreemumid. Tingliku eksteemumi ülesandeks ehk lisatingimustega ekstreemum-ülesandeks nim
3. Päratud integraalid b Määratud integraali f ( x)dx defineerimisel eeldasime, et < a b < . Lisaks on a Riemanni integraali olemasolu tarvilik tingimus on funktsiooni f tõkestatus lõigus [a,b]. Osutub, et nendest eeldustest saab vabaneda, kui sobivalt üldistada määratud intrgraali mõistet. Niiviisi jõuame päratu integraali mõiste juurde. 3.1 Integraal tõkestamata funktsioonist. Olgu funktsioon f tõkestamata punkti b ümbruses ja eksisteerigu l f ( x )dx , a iga l [a, b ) korral, siis defineerime päratu integraali lõigus [a,b] seosega b l f ( x)dx = lim f ( x) dx. . (5) a l b - a
.., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse ´xi (A) või z ( A ) või z (A) xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ´xi(P). Siis on osatuletis `xi piirkonnas D määratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. d z = z + z du1 + z du2 +...+ z dun dx x u1 dx u2 dx un dx
Definitsioon 1 Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks vaadeldavas punktis ning seejuures A(x)= y'(x) parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni nimetatakse tema muudu lineaarset osa. Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy väärtus y on antud parameetri (t) funktsioonis. Kui funktsioon muut on esitatud kujul eksisteerib y'(x) x=u(t)
.., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse ´xi (A) või z ( A ) või z (A) xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ´xi(P). Siis on osatuletis `xi piirkonnas D määratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. d z = z + z du1 + z du2 +...+ z dun dx x u1 dx u2 dx un dx
b Määratud integraali f ( x)dx defineerimisel eeldasime, et < a b < . Lisaks on Riemanni integraali a olemasolu tarvilik tingimus on funktsiooni f tõkestatus lõigus [a,b]. Osutub, et nendest eeldustest saab vabaneda, kui sobivalt üldistada määratud intrgraali mõistet. Niiviisi jõuame päratu integraali mõiste juurde. Integraal tõkestamata funktsioonist. Olgu funktsioon f tõkestamata punkti b ümbruses ja eksisteerigu l f ( x )dx , a iga l [a, b ) korral, siis defineerime päratu integraali lõigus [a,b] seosega b l f ( x )dx = lim f ( x )dx. . (5) a l b - a Analoogiliselt, kui funktsioon f on tõkestamata punkti a ümbruses, ja eksisteerib b
(6.10) nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks argumendi xi j¨ argi punktis A ja t¨ahistatakse f fxi (A) v~oi (A) v~oi f (A) . xi xi Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil f l~oplik osatuletis muu- tuja xi j¨argi mingi piirkonna D k~oigis punktides. See t¨ahendab et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada u ¨he kindla reaalarvu fxi (P ). Siis on osatuletis fxi piirkonnas D m¨a¨aratud funktsioon. 15) Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem. Liitfunktsiooni osatuletiste valemid. Olgu u1 = 1 (x1 , x2 , . . . , xm ), u2 = 2 (x1 , x2 , . . . , xm ), . .
1 1 korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi. ...
Mõtlemine on vaikiv, sisemine protsess, mida kõrvaltvaataja ei saa jälgida. Mõtlemine võib olla sisemine, kui ka kollektiivne protsess. Vestlust hoiab koos see, kuidas me omistame ja omame tähendusi teatud ühiste mängureeglite kohaselt; et me mõtleme grupis. Luuakse ja säilitatakse ühist arusaama ning arendatakse seda suhtlemises. Arukaim on käsitleda mõtlemist kommunikatiivse töö vormina ning indiviidi ja kollektiivi aktiivse tegevusena. Intellektuaalsed tööriistad on samad, eksisteerigu nad siis kõnes või mõtlemises. Võgotski sugestiivne mõte on, et inimesed on pidevas arengus ja muutumises. Me võime kaasinimestelt ühistegevuse olukordades teadmisi üle võtta- aproprieerida. Inimesi nähakse pidevalt teelolevana, et omandada uusi tööriistade vorme selle abil, mida nad juba teavad ja oskavad. Võgotski defineeris arengutsooni kui ,,vahemaad" ühelt poolt selle vahel, mida indiviid võib korda saata üksi, ilma kõrvalise abita
Sellisel juhul püütakse teha integraalialuses avaldises muutuja vahetust. Oletame, et x = (t) on diferentseeruv funktsioon, millel leidub pöördfunktsioon, siis: dx = '(t)dt ning kehtib võrdus . Valemit nimetatakse määramata integraali muutujate vahetuse valemiks. Muutujat t nimetatakse uueks integreerimismuutujaks. 20. Ositi integreerimine (ositi integreerimise valemi selgitus). Teoreem. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning eksisteerigu määramata integraal , siis kehtib võrdus: = uv - Selgitus. Viimast valemit nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemiks ja seda kasutatakse niisuguste avaldiste integreerimisel, mida saab esitada kahe teguri u ja dv korrutisena. Funktsioon u on sellinne, mis diferentseerimise kaudu muutub lihtsamaks (näiteks arcsinx, lnx, x3), aga dv on avaldis, millest integreerimise teel saame leida v. 21. Integraalsumma ja määratud integraal
tõttu f ((x)) (x) dt = (F )(x) + C = F ((x)) + C. Seega f ((x)) (x) dx = F (u) + C. Kasutades eelnevaid seoseid, saamegi võrduse (7.3). Märkus 7.6 Muutuja vahetamise võtte erijuhuks on diferentsiaali märgi alla viimise võte. Sel juhul on enamasti lihtne leida diferentsiaali du(x) = u (x)·dx. 7.7 Ositi integreerimine Lause 7.2 [22]. Olgu funktsioonid u ja v mingis intervallis X diferentseeruvad funktsioonid ja eksisteerigu integraal v(x) u (x) dx. Siis eksisteerib ka integraal u(x) v (x) dx ja kehtib seos u(x) v (x) dx = u(x) v(x) - v(x) u (x) dx. (7.4) Tõestus. Tehtud eelduste korral on korrutis u · v diferentseeruv, [u(x) · v(x)] = u (x) · v(x) + u(x) · v (x). Kuna on olemas integraal v(x) u (x) dx, siis leidub funktsiooni v · u algfunktsioon F
1 y ' ( x 0 ) = y ' (2) = 3 1 149 3 1,96 2 + 4 2 + (-0,04) = 3 75 0,04 = 0,0016 0,002 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 17 Teoreem diferentsiaali olemasolust (tõestusega). Teoreem 1 Funktsioonil y = f (x) on diferentsiaal parajasti siis, kui tal on lõplik tuletis vaadelda- vas punktis ning seejuures (11.1) A( x) = y ' ( x) Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy eksisteerib y ' ( x) Kui funktsioonil on diferentsiaal, siis y = A x + (x) y (x) Seega = A+ x x y (x) lim = lim A + = A( x) x 0 x x x 0 2) Piisavus: Eksisteerigu y ' ( x) eksisteerib dy y Kui funktsioonil on tuletis, siis y ' ( x) = lim
1 y ' ( x 0 ) = y ' (2) = 3 1 149 3 1,96 2 + 4 2 + (-0,04) = 3 75 0,04 = 0,0016 0,002 2 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 17 Teoreem diferentsiaali olemasolust (tõestusega). Teoreem 1 Funktsioonil y = f (x) on diferentsiaal parajasti siis, kui tal on lõplik tuletis vaadelda- vas punktis ning seejuures (11.1) A( x) = y ' ( x) Tõestus: 1) Tarvilikkus: Eksisteerigu dy eksisteerib y ' ( x) Kui funktsioonil on diferentsiaal, siis y = A x + (x) y (x) Seega = A+ x x y (x) lim = lim A + = A( x) x 0 x x x 0 2) Piisavus: Eksisteerigu y ' ( x) eksisteerib dy y Kui funktsioonil on tuletis, siis y ' ( x) = lim
funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,)
2. iga PU(P1,), PP1 kehtib võrratus f(P)
lim xn = lim xn . (2.22) n→∞ n→∞ Seejuures on selle jada piirväärtus võrdne tema alumise ja ülemise piirväärtuse ühise väär- tusega: lim xn = lim xn = lim xn . (2.23) n→∞ n→∞ n→∞ Tõestus. Tarvilikkus. Eksisteerigu piirväärtus lim xn . Teoreemi 2.22 põhjal leiduvad jada n→∞ (xn ) osajadad (xkn )∞ ∞ n=1 ja (xln )n=1 nii, et lim xkn = lim xn ja lim xln = lim xn . n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Omaduse 2.12(b) põhjal on jada (xn ) kõik osapiirväärtused võrdsed selle jada enda piirväär- tusega, seega
k hajub. 5 Iga k > 1 korral k < k ehk 1 1 > k k Harmooniline rida (8.3) hajub, seega teoreemi 2 p~ohjal hajub ka vaadeldav rida. Teoreem 3 (D'Alemberti tunnus). Eksisteerigu piirv¨a¨artus uk+1 lim =D k uk Kui D < 1, siis rida (8.1) koondub. Kui D > 1, siis rida (8.1) hajub. Kui D = 1, j¨a¨ab selle tunnuse j¨argi k¨usimus lahtiseks. T~oestus. Olgu piirv¨a¨artus D < 1 ja rahuldagu reaalarv q tingimust D < q < 1. Piirv¨a¨artuse definitsiooni kohaselt leidub selline N > 0, et kui k N , siis uk+1
annaabi.ee 
