3 37 4 57 10 5 81 0 -6 -4 -2 -10 0 2 1) Koosta valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab võrrandi asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasuta nimesid. 2) Tee tabel x ja y väärtustega vahemikus (5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja loo tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti. y = ax2 + bx + c 90 80
algusesse eelmine slaid esitluse lõpp Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 bx c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Kui a 0, b 0, c 0, siis on tegu täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi ax 2 b c 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1, 2 2a algusesse Ruutvõrrandi diskriminant Avaldist D = b2 - 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on kaks erinevat reaalset lahendit Näide Võrrandi 3x 2 7 x 2 0 diskriminant on D (7) 2 4 3 2 25 0 Võrrandil on kaks reaalarvulist lahendit: 7 (7) 2 4 3 2 x1 2 23 7 (7) 2 4 3 2 1 x2 23 3
Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid ning parabool puudutab x telge punktis x1= x2. ax2 + bx + c > 0
3) Saame võrrandile kaks lahendit: väiksema lahendi tähistame x1 ja suurema lahendi tähistame x2 4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse Puudub lineaarliige: 1) Viime ruutliikme vasakule, vabaliikme paremale 2) Jagame ruutliikme kordajaga 3) Leiame x (x võrdub plusssmiinus ruutjuurega vabaliikmest) 4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse 17. Millal on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit? Millal on kaks võrdset lahendit? Millal ruutvõrrandil lahendid puuduvad? Kui diskriminant on nullist suurem, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit. Kui diskriminant on nulliga võrdne, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid. 18. Viete'i teoreem. Millal võib kasutada Viete'i teoreemi? Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Viete'i teoreemi võib kasutada ainult taandatud ruutvõrrandis.
3 84 4 148 50 5 230 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 1) Koostada valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab veateate asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 - 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasutada nimesid. 2) Teha tabel x ja y väärtustega vahemikus (-5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja luua tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti. Column C 2 4 6
Matemaatika/9kl/2006/07 õa/I/3 Ruutfunktsioon ja 19. 27. 09. 06 Taandamata ruutvõrrand 2) 37 (11, 14, 16, 21, 20, 26,33,41) ruutvõrrand. Ruutvõrrandi diskriminant. Ruutkolmliige. Ruutfunktsioon ja Ruutvõrrandi diskriminant. Ruutkolmliikme tegurdamise 1) lk 69, ül 247 20. 28. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutkolmliikme tegurdamine. valem: 1) lk 70-72 ax2+ bx + c =
87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a ) ( x a ) 2 = 2 p ( y b) ( x a ) 2 = 2 p ( y b ) 6 88. Teist järku joone üldvõrrandi invariandid: A B D A B Võrrandi diskriminant = B C E Ruutliikmete kordajate diskriminant = Parameeter s = B C D E F A+C JOONTE KLASSIFITSEERIMINE 0 Teist järku jooned = 0 Sirgete paarid s·<0 ELLIPS s·>0 imaginaarne PUNKT
87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a ) ( x a ) 2 = 2 p ( y b) ( x a ) 2 = 2 p ( y b ) 6 88. Teist järku joone üldvõrrandi invariandid: A B D A B Võrrandi diskriminant = B C E Ruutliikmete kordajate diskriminant = Parameeter s = B C D E F A+C JOONTE KLASSIFITSEERIMINE 0 Teist järku jooned = 0 Sirgete paarid s·<0 ELLIPS s·>0 imaginaarne PUNKT
1Mis on korrapärase hulknurga apoteem? Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac. 1Mis on normaalkujuline ruutvõrrand? Normaalkujuline ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille vasakul poolel esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige ja kolmandal kohal vabaliige ning paremal pool 0. 1Mis on täielik ruutvõrrand? Täielik ruutvõttand on ruutvõrrand, kus on olemas ruutliige, lineaarliige, vabaliige ja a ei võrdu 0-ga. 1Mis on mitetäielik ruutvõrrnad?
-3 2,25 -2 2,25 -1 2,25 0 2,25 1 2,25 2 2,25 3 2,25 4 2,25 5 2,25 B3: 1) Koosta valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab võrrandi asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasuta nimesid. 2) Tee tabel x ja y väärtustega vahemikus (5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja loo tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti.
Jaotisi 10 Samm -1 x2+bx+c 0 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 B3: 1) Koosta valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab võrrandi asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasuta nimesid. 2) Tee tabel x ja y väärtustega vahemikus (5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja loo tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti.
40 30 20 Column C 10 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -20 B3: 1) Koosta valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab võrrandi asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 - 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasuta nimesid. 2) Tee tabel x ja y väärtustega vahemikus (-5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja loo tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti.
Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal lineaarliige, kolmandal kohal vabaliige ning paremal poolel null, on normaalkujuline ruutvõrrand. Näiteks võrrand on normaalkujuline, kuid võrrand ei ole. Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (ükski kordaja ei ole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga. Ruutvõrrandi diskriminant on suurus Ühe muutujaga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust üldkujuga 1) 2) ( 3) 4) milles a, b ja c on antud arvud ( ) ja x on tundmatu. MURDVÕRRAND JA VÕRRATUS
1 -4 2 5 -30 3 18 4 35 5 56 raafik 0 1 2 3 4 5 6 B3: 1) Koostada valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab veateate asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 - 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasutada nimesid. 2) Teha tabel x ja y väärtustega vahemikus (-5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja luua tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti.
2 5 -20 3 18 4 35 5 56 0 2 4ac a raafik 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 -10 -20 B3: 1) Koostada valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 nullkohad x1 ja x2. Kui lahendid puuduvad, peab veateate asemel kuvama teksti "ei ole". Et teada saada, kas lahendid puuduvad, on soovitatav kontrollida, kas ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne. Diskriminant (D) leitakse valemiga D=b2 - 4ac ja kui see on negatiivne, siis tuleb ruutjuure alla negatiivne arv, mis tähendabki, et puuduvad reaalarvulised lahendid. Valemites kasutada nimesid. 2) Teha tabel x ja y väärtustega vahemikus (-5; 5) funktsioonile y = ax2 + bx + c ja luua tabeli andmetest graafik (peaks tulema parabool). Tabelis ja graafikul peab olema vähemalt 10 punkti.
2 2 2 5 2 Kui ruutvõrrandis ruutliikme kordaja a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. Taandatud ruutvõrrand on kujul x2 + px + q = 0. Lahendeid võib leida valemi () abil (siis tuleb arvestada varasemat tähistust), kuid lihtsam on kasutada järgmist valemit: 2 p p x= ± -q 2 2 10 2 p Diskriminant D = - q. 2 Näide 15. Lahendame ruutvõrrandi x2 + 4x +21 = 0. Lahendus. Ruutvõrrandit ei lahendata, kui x2 ees on negatiivne arv! Negatiivse arvu kaotamiseks korrutame ruutvõrrandi mõlemad pooled läbi (1)ga. x2 + 4x +21 = 0 (1) x2 4x 21 = 0 Siin p = 4 ja q = 21. 2 -4 -4
astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e
|:2a NB vaja pähe õppida ja osata une pealt 21.Täieliku taandamata ruutvõrrandi Ül.1371 2 lahendamine - kasutada lahendivalemit 3m +2m-1=0 a=3 b=2 c=-1 NB vastusesse lahendite kirjutamisel tuleb tähtsustada sõna "või" Vastus. Lahendid on x1=-1 või x2= . 2 2 22.Ruutvõrrandi diskriminant - D=b -4ac, 5x -4x+7=0 pole lahendeid kus a,b,c on ruutvõrrandi kordajad; a=5 b=-4 c=7 2 väärtus võib olla negatiivne, null või D=(-4) -4 5 7=16-140=-124 positiivne; väärtuse järgi saab määrata 2 lahendite arvu 4n -4n+1=0 kaks võrdset lahendit a=4 b=-4 c=1
Kaugusmõõt, mis näitab kahe klastri omavahelist sarnasust. Eukleidese kaugus, mille abil mõõdetakse kahe punkti vahelist kaugust tasapinnal. 8.4 Kas klasteranalüüsi korral objektide klassikuuluvus on eelnevalt teada? Ei 8.5 Mis on klasteranalüüsi kasutamise eesmärk (oodatav tulemus). Klasteranalüüsi eesmärgiks on objekti kuulumine mingisugusse klastrisse, mille objektid annavad sellele klastrile sisu. Klastrisse kuuluvust saab nimetada uueks tunnuseks. 9 Diskriminant 9.1 Milleks kasutatakse diskriminantanalüüsi? Diskriminantanalüüsi eesmärgiks on etteantud teadaoleva klassikuuluvusega objektidele tuginedes prognoosida mudelisse lisatud sõltumatute tunnuste kuulumist mudelisse. 9.2 Mitme diskriminantfunktsiooniga tuleb teoreetiliselt piirduda? 9.2.1 Mitme diskriminantfunktsiooniga tuleb piirduda? Formuleerida nullhüpotees ja otsustada näite alusel. 9.3 Kuidas objektide diskriminantfunktsioonide väärtusi ja klasside
kompleksarv on suurem kas 2 + 3i või 3 + 2i. Teema alguses selgitasime, et mitte igal ruutvõrrandil pole reaalarvulisi lahendeid. 1pr.k.imaginaire - kujutletav. Nimetuse imaginaire võttis tarvitusele prantsuse matemaatik Nad on olemas vaid siis, kui võrrandi ax2 + bx + c = 0 diskriminant on kas positiivne Rene Descartes 1637.a. või null (s.t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855).
esineb juuritavas. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 0 Võrrandi mõlemaid pooli tuleb astendada - b ± b 2 - 4ac (sobivalt valitud) ühe ja sama x1, 2 = naturaalarvulise astendajaga. 2a Diskriminant D = b 2 - 4ac NB! Võrrandi poolte astendamisel paarisarvulise astendajaga võib tekkida Kui D>0, siis 2 erinevat lahendit x1 x 2 . võõrlahendeid. Nende väljaselgitamiseks Kui D=0, siis 2 võrdset lahendit x1 = x 2 . tuleb saadud lahendeid KONTROLLIDA
Pärast seda leiame puutepunkti ordinaadi y0 ja arvu a (I) või b (II) väärtuse. III 1) Määramispiirkonna leidmisel lähtume logaritmfunktsiooni definitsioonist, silmas pidades, et parameetri k väärtus (kas k 0 , või k 0 ) pole teada. 2) Lahendame võrrandi, kasutades logaritmi omadusi n log a x log a x n ja log a x log a y x y .. Saame ruutvõrrandi, mille diskriminant (D) on võrdne nulliga, sest ülesande andmetel võrrandil peab olema üks lahend. Lahendades võrrandi D 0 parameetri k suhtes, saame kaks k väärtust, millest ainult üks vastab ülesande tingimustele. Lahendused I 1) On antud joon y x ln x 2 x . On vaja leida punkt P x; y , mille koordinaatide summa on vähim. Moodustame funktsiooni S x x y S x x x ln x 2 x S x x ln x 3 x . Uurime saadud funktsiooni miinimumi suhtes.
2) lahendit kujul , siis ja . Asendades (15.2) saame , et , siis (15.3) See on homogeense võrrandi karakteristiline võrrand. Olgu selle võrrandi lahendiks kompleksarvude hulgal k1 ja k2. 1. reaalarvulised Sel juhul on homogeense võrrandi üldlahendiks (15.4) Sest erilahendid ja on lineaarselt sõltumatu 2. Üks lahenditest on . Näitame, et ja on erilahend Asendades võrrandisse (15.2) saame k saab olla võrrandi (15.3) kahekordseks null lahendiks kui võrrandi diskriminant (D) on null, Seega ja võrrand (15.2) on rahuldatud. Et , siis on saadud erilahendid lineaarselt sõltumatud ja võrrandi (15.2) üldlahendid on (15.5) 3. , kus Sel juhul ja on lineaarselt sõltumatud, kuid need on kompleks muutuja funktsioonid. Moodustame nendest lineaarsed kombinatsioonid, mis on juba reaalsed funktsioonid. Kehtib Euleri valem: Seega Järelikult Et Siis y1(x) ja y2(x) on homogeense võrrandi erilahendid ning nad on lineaarselt sõltumatud. Üldlahend on (15.6)
L = {2} U 3; . © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 44 RUUTVÕRRANDID JA BIRUUTVÕRRANDID Taandamata ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1;2 2a Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on p p2 x1;2 q 2 4 Ruutvõrrandil on 2 erinevat reaalarvulist lahendit, kui diskriminant D > 0, 2 võrdset lahendit, kui diskriminant D = 0, reaalarvulised lahendid puuduvad kui diskriminant D < 0. Biruutvõrrand on võrrand kujul ax4 + bx2 + c = 0. Lahendatakse asendusvõttega: x2 = t, at2 + bt + c = 0. Lahendame võrrandi x4 – 13x2 + 36 = 0. Peale asendust x2 = t saame võrrandi t2 – 13t + 36 = 0. t1;2 6,5 42,25 36 6,5 2,5. Järelikult t1 = 9 ja t2 = 4. Arvestades asendust x2 = t saame
0=0 VASTUOLU, seega lahendid puuduvad. SAMASUS, seega lahenditeks on kõik reaalarvud. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax² + bx + c = 0, kus a, b, ja c on antud arvud ning a0 ja x on tundmatu. Lahendite arv sõltub D-st: Kui D>0, siis 2 erinevat lahendit. D diskriminant. D = b² - 4ac Kui D=0, siis 2 võrdset lahendit (ehk siis 1 lahend). Kui D<0, siis reaalarvulised lahendid puuduvad. Lahendvalemid: -b b 2 - 4ac ax² + bx + c = 0 x= 2a 13
x2 + 2( ) x + 2 2 0. (5) Kuna , siis on võrratus (5) ruutvõrratus. Võrratus (5) kehtib iga reaalarvu x korral, mistõttu peab tema vasakul pool esineva ruutkolmliikme diskriminant D rahuldama võrratust D 0: D = ( 2( ) ) - 4 2 2 2 0. (6) Teisendame seda võrratust: 4( ) 4 ( )
ja . Võtame suvalise reaalarvu t ja moodustame vektori Skalaarkorrutise esimese aksioomi põhjal ehk ja kasutades skalaarkorrutise omadusi 3)-5) ja pikkuse definitsiooni, saame: Viimase võrratuse vasak pool on kolmliige (ruutvõrrandi vasak pool) t suhtes, mis peab iga t korral olema positiivne (või null). See tähendab, et võrrandil on maksimaalselt üks lahend. Järelikult ruutvõrrandi diskriminant peab olema nullist väiksem (või võrdne nulliga): 3. Arvutame : Võttes saadud võrratuse mõlemast poolest ruutjuure, saamegi kolmnurga võrratuse. Definitsioon. Eukleidilise vektorruumi kahe vektori ja vaheliseks nurgaks nimetatakse sellist nurka , et See definitsioon on korrektne: Cauchy-Bunjakovski võrratusest järeldub, et kui ja , siis ehk
= at2 + bt + c, 52 5 KONSTRUKTSIOONID ... kus n n n a = a2i , b = −2 ai b i , c = b2i . i=1 i=1 i=1 See on ruutkolmliige, mis rahuldab v˜orratust f (t) ≥ 0 iga t ∈ R korral. See on v˜oimalik vaid siis, kui tema diskriminant on mittepositiivne, st b2 − 4ac ≤ 0 ehk b2 ≤ 4ac. Siit j¨areldubki p¨arast a, b ja c v¨a¨artuste asendamist ja arvuga 4 taandamist v˜orratus (5.4). Teoreem 5.21 Kui topoloogiliste ruumide (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) topoloogiad on tekitatud meetrikatega d1 , . . . , dn , siis nende ruumide otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T on tekitatud meetrikaga d, kus n
2(-1)2 - 16 = 0, kuid 23 + 2 · 22 - 16 = 0. J¨arelikult on arv x = 2 kuupv~orrandi x3 + 2x2 - 16 = 0 lahend ning u ¨htlasi on x - 2 kuupliikme x3 + 2x2 - 16 tegur. Jagame pol¨ unoomi x + 2x - 16 teguriga x - 2. Saame x2 + 4x + 8. Seega 3 2 x3 + 2x2 - 16 = (x - 2)(x2 + 4x + 8) . 114 Ruutfunktsiooni x2 + 4x + 8 ei saa reaalarvude hulgas enam rohkem teguriteks lahutada, sest tema diskriminant on negatiivne: D = 42 - 4 · 8 < 0. Moodustame osamurrud m¨a¨ aramata kordajatega: 4x2 + 11x + 22 4x2 + 11x + 22 = = x + 2x - 16 3 2 (x - 2)(x2 + 4x + 8) A Mx + N = + 2 . x-2 x + 4x + 8 Kordajate A, M ja N m¨a¨
2(-1)2 - 16 = 0, kuid 23 + 2 · 22 - 16 = 0. J¨arelikult on arv x = 2 kuupv~orrandi x3 + 2x2 - 16 = 0 lahend ning u ¨htlasi on x - 2 kuupliikme x3 + 2x2 - 16 tegur. Jagame pol¨ unoomi x + 2x - 16 teguriga x - 2. Saame x2 + 4x + 8. Seega 3 2 x3 + 2x2 - 16 = (x - 2)(x2 + 4x + 8) . 114 Ruutfunktsiooni x2 + 4x + 8 ei saa reaalarvude hulgas enam rohkem teguriteks lahutada, sest tema diskriminant on negatiivne: D = 42 - 4 · 8 < 0. Moodustame osamurrud m¨a¨aramata kordajatega: 4x2 + 11x + 22 4x2 + 11x + 22 3 2 = = x + 2x - 16 (x - 2)(x2 + 4x + 8) A Mx + N = + 2 . x-2 x + 4x + 8
annaabi.ee 
