5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n
Horneri skeem. () = + 6. Osamurdudeks jagamine. Lause t ~oestus. 7. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine. Integreerime lõigul [, ] ()() = ()() = ()() + 8. Riemanni summa. M¨a¨aratud integraali (Riemanni m~ ottes) definitsioon. () () = 9. Darboux ¨ ulem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos. 10. M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu: k~overtrapetsi pindala leidmine. = ()() +
¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud ¨ integraal ulemise ¨ raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate vahetus ja ositi integreerimine ma¨ aratud ¨ integraalis. Ma¨ aratud ¨ ¨ integraali rakendused. Paratud integraalid. ¨ G
. . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Integraalide tabel. M¨a¨aramata integraali omadused. . . . . . . . 104 5.3 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aramata integraali aval- damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨a¨aratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6 M¨a¨ aratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 M¨a¨ aratud integraali omadused. Integraali keskv¨a¨artusteoreem. . 122 5.8 Muutuva u ¨ lemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . 124 5.9 Asendusv~ote ja ositi integreerimine m¨a¨aratud integraali korral. . 127 5.10 P¨aratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . .
43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u
funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.
Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem b ∫ f ( x ) dx a = F(b) – F(a) = F(x) | b a 33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). b Vaatleme m¨a¨aratud integraali ∫ f ( x ) dx . Teeme integraali all a asenduse valides uueks muutujaks u, mis s˜oltub x-st j¨argmisel viisil: u = ϕ(x). Eeldame, et ϕ on ¨uks¨uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame ϕ p¨o¨ordfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja dx
5) ... xm = (bm - am )t , t [0, 1] . -- Tegemist on vektoriga OM , mille l~opp-punkt on M = (b1 - a1 , b2 - a2 , . . . , bm - am ), kuna s¨ usteemist (6.5) saame t = 1 korral xi = bi - ai . Koordinaatide -- alguspunktist l¨ahtuv vektor OM on u ¨heselt m¨a¨ aratud oma l~opp-punkti M ko- ordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. . Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) l¨abivaks vektori u = (u1 , u2 , . . . , um ) suunaliseks sirgeks loetakse sirget, mis saadakse vektoriga u samav¨ a¨arse punk- tist A l¨ahtuva vektori pikendamisel m~olemast otsast l~opmatuseni. Taolise sirge parameetrilised v~orrandid on x1 = a1 + u1 t
Kui eksisteerib l~oplik nullist erinev piirv¨a¨artus lim xa (x) /(x), siis nimetatakse suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kasvavateks suurusteks. 2. Kui lim xa (x) /(x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult kasvavateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim xa /(x) /(x)/ = , siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult kasvavaks suuruseks suhtes. 13. Pideva funktsiooni definitsioon. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui 1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a X, 2. eksisteerib l~oplik piirv¨a¨artus lim xa f(x), 3. lim xa f(x) = f(a). Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt t¨ahendab funktsiooni pidevus joone pidevust. T¨apsemalt: argumendi v¨a¨artusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a,f(a)) pidev joon Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. Pideva funktsiooni muut l¨aheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut l¨aheneb nullile.
Kui võtta arvesse ka tööstusjäätmed, siis tekib ühe eestimaalase kohta aastas umbes 10 tonni jäätmeid. See on rekordiline number kogu Euroopa jaoks. Lisaks olmeprügimägedele on Eestis probleemiks elektrijaamade aherainemäed Maardus ja Kirde Eestis. Üheks probleemiks on veel Eestis kaevandusjäätmed. 4. Tagajärjed Senisel viisil prügi ladustamine võib põhjustada loomade, taimede, inimeste mürgitusi ning taastumatute loodusvarade, kaasa aratud pinnase väga suuri kahjustusi. Prügimägedes tekib juurde gaasilisi ühendeid ja suures koguses mürgist nõrgvett. Väga suur kogus prahti jõuab ookeanidesse. 5. Mida teha? Inimesed ise on prügi tekitajad ning selleks, et hoida oma elukeskkonda inimväärsena ja loodussõbralikuna, pekasime tekkinud jäätmed võimalikult keskkonnasõbralikult koguma ja käitlema.
Eelmised n¨aited u ¨tlevad, et maatrikskorrutamine on u ¨ldiselt mit- tekommutatiivne tehe, s.t AB = BA. Korrutamine on u ¨ldiselt mittekommutatiivne ka siis, kui tegurid on ruutmaatriksid. 8 II. Maatriksarvutus Avaldist [A, B] := AB -BA (kui leidub) nimetatakse maatrik- site A ja B kommutaatoriks ehk Lie korrutiseks. Kommutaator on m¨a¨aratud vaid u ¨hesuguste j¨ arkudega ruutmaatriksite korral. Kom- mutaatori omadusi vaatleme allpool (teoreem 9). 3.4 Nullitegurid Arvutame 2 6 9 6 9 6 9 := -4 -6 -4 -6 -4 -6 6·6-9·4 6·9-9·6 0 0 = =
poolt tekitatud (v˜oi indutseeritud) topoloogiaks hulgal X. N¨aide 1.3 Kui A ⊂ X ja U = {A}, siis U poolt tekitatud topoloogia hulgal X on T = {∅, A, X}. 1.2 Topoloogilise ruumi baas Sageli antakse topoloogia hulgal X baasi abil. Definitsioon 1.3 Topoloogilise ruumi (X, T ) lahtiste hulkade hulka B ⊂ T nimetatakse ruumi X baasiks, kui iga mittet¨ ¨hendina hulka B kuuluvatest uhi lahtine hulk avaldub u hulkadest. N¨ aide 1.4 Hulgal X m¨a¨aratud diskreetse topoloogia baa- si moodustavad k˜oik hulga X u ¨heelemendilised alamhulgad. N¨ aide 1.5 Reaalarvude hulga R loomuliku topoloogia T baasi moodustavad k˜oikv˜oimalikud lahtised vahemikud ]a; b[, kus a, b ∈ R, a < b. T˜oepoolest, kui A ∈ T ja A = ∅, 1.3 Kinnised hulgad 9 siis iga x ∈ A jaoks leidub vastavalt loomuliku topoloogia definitsioonile vahemik ]ax ; bx [ nii, et ]ax ; bx [⊂ A
[a, b) = {x | a x < b} pooll~ oik. 7 ¨ 1. Uhe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus 1.1. Funktsioon Funktsiooni m~ oiste on u¨ks matemaatika p~ohim~oisteid. Selles punktis k¨asitletakse funktsionaalse s~ oltuvusega seonduvaid m~oisteid. Definitsioon 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud (¨ uhene) funktsioon f ja seda vastavust f t¨ahistatakse kas y = f (x) (x X) v~oi x - y. Hulka X nimetatakse funktsiooni f m¨ a¨ aramispiirkonnaks ja hulka f (X) = {y| x X y = f (x)} Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk s~ oltumatuks muutujaks ja elementi y s~ oltuvaks muutujaks.
J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma.
Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p= tan = 0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a))
Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous p puutuja tõusule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p= tan = 0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a))
vanema ja laiema kasutusalaga on m¨ark, seda hajusamateks osutuvad selle t¨ahendused. Arvestades eelpool ¨oeldut ning diakroonset l¨ahenemist, k¨asitlen j¨argnevalt t¨ahenduste paljusust kui reeglit ja ainsust kui erandit. M¨arkide makrotasandi omadused olen esitanud kokkuv~otvalt joonisel 1.1. Joonisel oleva kolmnurga keskel on kanji m¨ark kui tervik, selle t¨ahendused moodustavad m¨argi semantilise ruumi--joonisel kolmnurga pind. M¨argi semantilise ruumi piirid on m¨a¨aratud m¨argi kolme p~ohi- omadusega: h¨a¨aldus (¨ ulal), kuju (vasakul) ja kasutamine(paremal). ¨ Ulemine kolmnurga tipp, joonisel t¨ahistatud kui `m¨argi heli' , kujutab m¨argi h¨aa¨ldust, vasak tipp m¨argi kuju ning parem tipp m¨argi kasutusviisi .
tõgina ja hiljem arhivaarina. Samal aastal avaldas kirjanik oma kol-manda ajaloolise jutustuse «Vüst Gabriel ehk Pirita kloostri viimsed pävad'». 1898. a. haaras Bornhöe veel kord rädurikepi ja tegi oma pikima reisi, küastades Tügimaad, Palestiinat, Egiptust, Kreekat ja Itaaliat. Selle reisi mäkmeid on ta avaldanud raamatus «Usurädajate radadel» (1899). Päast väismaareisi Bornhöe abiellus ja asus elama Jõvi, kuhu ta oli mä aratud üem-talurahvakohtu eesistujaks. Sellest ajast on päit tema viimane ilukirjanduslik teos --jutustus «Rollid», mis ilmus 1902. a. ajalehes «Uus Aeg» ja jägmisel aastal raamatuna. Alates 1912. a. sai Bornhöe elukohaks Narva, kust ta käs Jõvis kohtuistungeid pidamas. 1919. a. mä arati Bornhöe rahukohtunikuks Tallinna. Sellel tö okohal ta surigi ametisõdul saadud kümetuse tagajäjel 17. novembril 1923. aastal. Kopli kämistult, kuhu Bornhöe oli maetud, toodi tema põm 1951. a.
» «Pagana pihta, siis oleme kogu selle tö o asjata teinud. Nü ud, tont võku, peame ö osel tagasi tulema. See on kole pikk tee. Kas sa pä ased väja?» «Vean kihla, et pä asen. Me peame seda juba täa ö osel tegema, sest kui keegi juhtub neid auke näema, siis teab ta otsekohe, milles asi seisab, ja hakkab ise otsima.» «Hea kül, ma tulen õtul sinna ja nän.» «Häti. Peidame riistad põ osastesse.» Ö osel olid poisid mä aratud ajal kohal. .Nad istusid oodates puu varjus. See oli üsildane koht ja ka kellaaeg oli vanade traditsioonide jägi püalik. Vaimud sosistasid käisevates lehtedes, kodukäjad varitsesid pimedais nurkades, kaugelt kostis koera madal haukumine, millele ö okull vastas hauataguse hä alega. Poisid olid kogu selle salapäasuse mõu all ja kõelesid väe. Viimaks arvasid nad, et kell peab olema kaksteist, mäkisig äa koha, kuhu langes puu vari, ja alustasid
annaabi.ee 
