Olgu antud ruutmaatriks A(n×n), mille determinant olgu nullist erinev |A| 0 · Kustutame A i-nda rea ja j- inda veeru ning sellisel juhul saame uue maatriksi B(n- 1 × n-1). · Arvutame uue maatriksi determinandi ja nimetame selle maatriksi A elemendile aij vastavaks miinoriks ja märgime sümboliga mij · Saadud miinori mij korrutatakse läbi teguriga (-1)i+j. Saadakse uued suurused ij, millised nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks. i j = (-1) i + j mi j A' = ( mi j) miinorite maatriks A* = (i j) alamdeterminantide maatriks A~ = A*T adjungeeritud maatriks Maatriksi omaväärtused ja omavektorid Kui teatava ruutmaatriksi A (n × n) korral leidub maatriksi X (n × 1) X ja leidub reaalarv , et rahuldatud on tingimus A X = X, siis maatriksi X nimetatakse maatriksi A omavektoriks ja reaalarvu nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks.
Näiteks: A= 1 3 5 M11 = 7 8 6 7 8 esimene rida jääb välja 0 2 2 4 M23 = 6 7 M31 = 3 5 (jääb välja 2-ne rida ja 3-s veerg) Elemendi aij alamdeterminandiks (Dij) nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga ,,+", kui elemendi asukoha indeksite summa on paarisarv, ja märgiga ,,-,, kui ta on paaritu arv. Dij = (-1)i+j (paarisastmel on tulemus ,,+"-ga ja paaritu astmel on see ,,-,,-ga) 0 2 4 3 5 A= 1 3 5 D11 = 7 8 = 3*8 7*5 = 24-35 = -11 6 7 8 (1+1=2 paarisarv)
● transponeerimine ja nende omadused 5 1. Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 2. (A + B)T=AT + BT. 3. (AB)T = BTAT. Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui maatriksist A ära jätta i-s rida ja j-s veerg, siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks ja tähistatakse Mij. Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). Determinandi arendus rea või veeru järgi Determinandi omadused 1. Maatriksi ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed, s.t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3. Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga. 4. Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes
alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik.Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti. Algebraline täiend Elemendi aik algebraliseks täiendiks Aik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+",
( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E: 3. Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Maatriksi elemendi miinor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi Mulle tundub, et det teooria põhivalem on 5. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu
Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: Nt: Kolmandat järku ruutmaatriksi det arvutatakse sedasi: Nt: Kolmanda järgu puhul saab kasutada ka Sarrusi reeglit: 5. Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri.
. . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru. DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS. TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . . . + a n l A n l , l = 1, 2, . . . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda
7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru
. . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru. DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS. TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi : | A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . . . + a n l A n l , l = 1, 2, . . . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda
7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru
veerg, kus antud element paikneb. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 4. Teist ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad. Teist järku ruutmaatriksi korral leitakse determinandi väärtus avaldisega: näiteks: Kolmandat järku ruutmaatriksi determinant arvutatakse (mistahes
D = ak1 Ak1 + ak 2 Ak 2 + ... + akn Akn = akj Akj . (2) j =1 Def. Summat (2) nimetatakse determinandi D arendiks k-nda rea järgi. Arvu Akj nimetatakse determinandi D elemendi akj alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Leiame nüüd eeskirja alamdeterminantide Ak 1 , Ak 2 , ... , Akn väärtuste leidmiseks. Alamdeterminantide moodustamise eeskirjast tuleneb, et alamdeterminantide Ak 1 , Ak 2 , ... , Akn ( n - 1) ! liidetava summana ei esine determinandi D k-nda rea elemente ak1 , ak 2 , ... , akn . avaldistes
Omadus 8. Maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega: 7. Determinandi arendamine rea (veeru) järgi. Vaatleme teise meetodi determinandi arvutamiseks. Definitsioon. Maatriksi A = (aij) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse determinanti, mis saadakse maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. Näide. Determinandis ¯¯¯¯¯¯ on elemendi a21 = 2 miinoriks Definitsioon. Arvu nimetatakse ka elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. Lemma 1. Kui determinandi detA viimases reas (veerus) kõik elemendid peale ann võrduvad nulliga, siis determinant võrdub elemendi ja tema täiendusmiinori korrutisega: detA =annMnn. Tõestus. Olgu Siis determinandi definitsiooni põhjal Et n on indeksitest , ... , suurem, siis nende indeksitega ta ei moodusta ühegi inversiooni ja võib kirjutada: ning sellepärast Lemma 2
2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = = 17; 4 -4 -3 -4 -3 4 -3 4 -4 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 M 21 = = 4; M 22 = = -7; M 23 = = 4; M 31 = = 3; 4 -4 -3 -4 -3 4 3 -2 1 -1 1 0 M 32 = = 0; M 33 = = 3. 2 -2 2 3 Elemendi aij alamdeterminandiks Aij (algebraliseks täiendiks) nimetatakse tema miinorit , mis omab ,,+" märki, kui ,,i + j " summa on raarisarvuline , ning omab ,, - " märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline). 16. omadus( determinandi arendusteoreem) : Determinant võrdub suvalise rea
-3 4 -4 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 M 21 = = 4; M 22 = = -7; M 23 = = 4; M 31 = = 3; 4 -4 -3 -4 -3 4 3 -2 1 -1 1 0 M 32 = = 0; M 33 = = 3. 2 -2 2 3 Elemendi aij alamdeterminandiks Aij (algebraliseks täiendiks) nimetatakse tema miinorit , mis omab ,,+" märki, kui ,,i + j " summa on raarisarvuline , ning omab ,, - " märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist, saame: A ij = (-1)i + j Mij . - 15 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina
. . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3 1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨ (-1)i+j nimetame elemendi aij ja alamdeterminandi Aij m¨ argi- teguriks. 1.9 Determinandi (induktiivne) definitsioon arku determinandi (n - 1)-j¨arku determinantide Defineerime n-j¨ kaudu arendusvalemiga a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n det A := . .. .. .. .. := a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n
.. .. .. .. .. .. . . . . . . an1 an2 ··· anj ··· ann Alamdeterminanti Aij nimeta- Definitsioon 1.14 takse ka elemendi aij algebra- Determinandi D elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks Aij liseks täiendiks. i+j nimetatakse vastava miinori Mij korrutist teguriga (-1) , Aij = (-1)i+j · Mij . (1.9) 12
annaabi.ee 
