Kaks hulka on teineteise osahulgad siis, kui nad on võrdsed. Mis on venni diagramm? Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente.
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KAUGÕPE 1.arvestustöö Tallinna Tehnikaülikool Lk.53 ülesanded · A B = {a; b; c; d; e; f; g; h} A B = {a; b; c; d; e} AB=Ø B A = {f; g; h} B A = {f; g; h} · Hulk A {1;3;5;6;7;8;9} Hulk B {2;3;6;9;10} · A B = A Juhul kui A on B sees A B = A Juhul kui B on A sees A B = A Erijuhul kui B on tühihulk A B = B A Kirjeldab kommutatiivsus teooriat A B = B A Kirjeldab mitte lõikuvaid hulki, ehk puudub ühisosa · (A B) C ABC C(AB) Tallinna Tehnikaülikool · A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) · AB=A AB=A · [ (A B) (A B) (A C) ] = = (A B) (A B) (A C) = = Ø (A B) Ø = (A B) = = ( A) ( B) = Ø ( B) = B
Kui ta aga enda habet ei aj a, s iis ta peaks ühtpidi kapteni käs u järgi enda habet aj ama (kõikidel liik me tel). D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k irju tam e x A H ulki tähis tame s uurte tähtedega j a nende ele men te väikes te tähtedeg a. Tühihulk Ø ={ } N äited hulkada defineerimis es t j a kas uta mis es t N 1. A ntud hulgad { a) x | x on reaalarv ja kehtib x 2 = 1} -1 ja 1 b) {x | x } on täisarv ja kehtib x 2 = 3 tühihulk M illis ed on nende hulkade elemend id (loetled a). N 2. A ntud on hulkade elemendid a) {a ,i ,e ,o ,u ,ö ,ä ,ü} b) {1,3,5,7 ,9 ,...} defineerida vas tavad hulgad V aatle me kahte hulka A j a B. D ef
erineval viisil. Näide: Kui poisil on peole minekuks võimalik valida 3 ülikonna ja 5 lipsu hulgast, siis ülikonna ja lipsu valimiseks on tal 3·5=15 erinevat võimalust. Permutatsioon tähendab ümberpaigutust. Lõpliku hulga elementide permutatsiooniks nimetatakse igat selle hulga elementide järjestust. Kui hulgas on n elementi, siis permutatsioonides esinevad nad kõik. Tähis Pn Arvutatakse Pn n! n! = 1·2·3· ... ·n (n! faktoriaal) Tühihulk on järjestatud ühel võimalikul viisil, see tähendab P0 1 Näide: Mitmel erineval viisil on võimalus moodustada 5-st õpilasest järjekorda? P5 5! 1 2 3 4 5 120 Variatsioonide tüüpülesande võib esitada kujul: On antud n erinevat elementi. Mitmel erineval viisil saab nende hulgast välja valida k elementi, nii et oleks erinev kas vähemalt üks element või elementide järjekord. Variatsioonideks n elemendist k elemendi
Ristkülik- nelnurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja vastasküljed on võrdsed j paralleelsed Ruut- võrdsete külgede ja nurkadega nelinurk Rööpkülik-Võrdsete ja paralleelsete vastaskülgedega nelinurk Romb- Rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed Trapets- nelinurk, millel on kaks paralleelset ja kaks mitteparalleelset vastaskülge Ringjoon- antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulk Ring-ringjoonega piiratud tasandiosa, koos seda piirava ringjoonega Tühihulk- hulk, milles pole ühtegi elementi Osahulk-hulk, mille kõik elemendid on ka teise hulga elemendid Hulkade ühend- kõigi elementide hulk, mis kuuluvad vähemalt ühte kahest hulgast Hulkade ühisosa- kahe hulga kõigi ühiste elementide hulk Kõõl- sirglõik, mis ühendab ringjoone kahte punkti Kesknurk- ringoone kekskpunktis tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk Piirdenurk- ringjoone punktist tõmmatud kahe kõõlu vaheline punkt
Kui ta aga enda habet ei aj a, s iis ta peaks ühtpidi kapteni käs u järgi enda habet aj ama (kõikidel liik me tel). D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k irju tam e x A H ulki tähis tame s uurte tähtedega j a nende ele men te väikes te tähtedeg a. Tühihulk Ø ={ } N äited hulkada defineerimis es t j a kas uta mis es t N 1. A ntud hulgad { a) x | x on reaalarv ja kehtib x 2 = 1} b) {x | x on täisarv ja kehtib x 2 = 3 } M illis ed on nende hulkade elemend id (loetled a). N 2. A ntud on hulkade elemendid a) {a ,i ,e ,o ,u ,ö ,ä ,ü} b) {1,3,5,7 ,9 ,...} defineerida vas tavad hulgad V aatle me kahte hulka A j a B. D ef. Hu lk a A n im etam e hu lga B alam h u lgak s ( A B ), s iis ja ain u lt s iis ku i iga
Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B}
sündmuses A) Tehted juh.s. : 1) Summa (ühend): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad väh 1 liidetavatest sündmustest, tähis U 2) korrutis (ühisosa): sisaldab kõik el.s., mis sisalduvad korraga kõigis korrutatavatessündmustes Tõenäosus: iseloomustab esinemissagedust katsetes, on sündmuse mõõduks, arv nullist üheni Omadused: 1) Normeeriusaksioom (0-1) 2)Liitmisaksioom (summa P=sündmuste P summa) 3)tinglik tõenäosus Valemid: P(tühihulk)=o, P(el.s.ruum)=1, summa ja korrutise tõenäosus, erijuhud, vastandsündmuse P. Määramisviisid: A)klassikalised (kombinatoorne, geomeetriline, statistiline) B) mitteklassikalised (subjektiivne/intersubjektiivne, kuuluvusfunkts väärtus..) Juh. Su suurus, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused:
Suulise arvestuse punktid 1. Hulgad 1) Hulk on määratud, kui on olemas eeskiri, mille abil on võimalik otsustada, kas vaadeldav element kuulub määratud hulka või mitte. 2) Tühihulk hulk, milles ei leidu ühtegi elementi. Ø 3) Alamhulk hulk, mille kõik elemendid kuuluvad teise(suuremasse) hulka. A B 4) Ühend hulk, mille elementideks on mõlema hulka kõik elemendid. A B 5) Ühisosa hulk, mille elementideks on kahe(või enama) hulga kõik ühised elemendid. AB 6) Loetelu hulga elementide loetelu. 2. Juurde ja mahaarvutamise valem. 1) Elimineerimismeetod.
Tingimisi koonduval real k , ak∈ R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida ΣUK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kϵN on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (X≠tühihulk) Fikseerides argumendi X0 ϵ X väärtuse saame arvrea Uk(X0) ϵ R Σ UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0ϵX, kui koondub arvrida Σ UK(x0) Kui arvrida Σ UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 ϵ X. koonduvus normi järgi Vaatleme funktsiooni f nn LP-normi (p≥1) piirkonnas D. Riemanni integraali omaduste põhjal, kui Siis võib leiduda lõplik arv punkte XϵD, mille korral f(x)≠g(x)
Eeldused ei mängi mingit rolli. Loogikalisust tõesust saab tõestada tühjast hulgas, tautoloogia ei vaja eeldusi, on iseenesest tõene. Paratamatult tõene. Roos on roos, mina olen mina. Mingit tuge pole vaja, lihtsalt on tõesed. 2) võib olla korrektne, aga ei pruugi? Eeldusteks võib olla ükskõik mis sellise arutluse puhul, kõik eeldused ei pruugi tõesed olla kuni selleni, et eeldusi ei pruugi üldse olla. Eelduste hulk võib olla tühihulk. Tautoloogiad on tuletatavad tühjast hulgast ehk ei millestki g. Oletame, et arutluse eeldused moodustavad mittekooskõlalise lausehulga. Selgita, miks see arutlus peab olema kehtiv. Selgita, miks ta peab olema mittekorrektne. – see lausehulk peab olema erinevate tõeväärtustega; kõik ei saa kunagi olla korraga tõesed, seega peab olema kehtiv – kehtivuse definitsooni kohaselt. (esimene näide, astroloogia –
Lubatavate lahendite piirkonna leidmine 5. Sihifunktsiooni samakõrgusjoone leidmine 6. Samakõrgusjoone liigutamine kindlaksmääratud suunas 7. Optimaalse lahendi leidmine 8. Optimaalse punkti koordinaatide välja arvutamine Lahendite hulk : · Üks optimaalne lahend üks tipp · Lõpmata palju lahendeid Samakõrgusjoon on paralleelne lubatava lahendihulga külje või kiirega · Puuduvad lahendid pole rahuldatud kõiki kitsendusi, piirkond on tühihulk, ülesanne on piiramata Duaalne planeerimisülesanne: Olgu antud esialgne ülesanne max-põhikujul: z = c1 x1 + c 2 x 2 +...+ c n x n + c max a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a21x1 + a22 x2 + ... + a 2 n xn b2 ... ... ... ... ... am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn bm x1 0, x 2 0, , ... , x n 0 Vastav duaalne ülesanne on: w = b1 y1 + b2 y 2 +...+ bm y m + c min
tulemuste hulk. Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka. 5. Sündmuse toimumise kriteerium. Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks. 6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal? Tõesta! N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2 n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk. 7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsündmus) Kindel sündmus on sündmus A, kui ta on määratud kogu elementaarsündmuste ruumil. Võimatu sündmus on sündmus A, kui ta ei sisalda ühtegi elementaarsündmust. Vastandsündmuseks nimetatakse sündmust, mis toimub ainult siis kui sündmus A ei toimu. ´ Tähistatakse A . 8. Otsustused sündmuste hulga kohta: ainuvõimalikud, üksteist välistavad, sündmuste täielik süsteem)
4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! ! Võtame 2 mistahes punkti x1,x2 Q ja moodustame: x= x1+x2Q. Kuna kõik Qi on kumerad, siis x1,x2 kuuluvad igasse Qi-sse. Kumerte hulkade ühisosa võib olla ka tühihulk, mis omakorda on kumer hulk, kuna ei sisalda ühtegi elementi. 5. Lineaarsete võrratuste süsteemid, vastuoluline süsteem !! ... !! ! ! Axb, kus = ... ... ... ,= ... ,= ... . !! ... !" ! ! Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk
33. Milliseid tehteid asendavad hulgaaritmeetilised asendusseosed? Hulkade vahe ja sümmeetriline vahe. 34. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub? Täiend, ühisosa, ühend, vahe, sümmeetriline vahe. Oluline kui avaldises puuduvad sulud. 35. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised? Duaalses hulgaavaldises on ühend asendatud ühisosaga, ühisosa ühendiga, universaalhulk tühihulgaga ja tühihulk universaalhulgaga. 36. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju? Avaldis, milles on hulgaaritmeetilistest tehetest ühend ja ühisosa, täiend võib olla rakendatud vaid üksikutele hulkadele. 37. Milline on Cantori minimaalne normaalkuju? Minimaalne Cantori normaalkuju on vähima keerukusega ehk vähima hulgatähistega Cantori normaalkuju. 38. Milline on Cantori täielik normaalkuju? Cantori täielik normaalkuju on selline ühisosade ühend või
loogiline ja aritmeetiline liitmistehe 11 = 1 ning 1+1 = 10 , mille tulem on erinev. Seepärast tuleb loogika- ja aritmeetikatehteid kindlalt eristada ja loogikatehete tähistamiseks võib kasutada aritmeetikatehete märke vaid juhul kui pole ohtu neid tehteid segi ajada. Loogikaaksioomide põhjal tuletatakse peamised loogikaseadused: 1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null (tühihulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga 2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks (universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega 3. Indempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta). Argumendi loogiline korrutamine või liitmine iseendaga ei muuda tulemi väärtust 4. Eituse eitamise seadus. Argumendi väärtus tema kahekordsel eitamisel ei muutu 5
1 1 korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi. ...
geneetilistest erinevustest indiviidide vahel. Muutlikkust saab mõõta näiteks kõrvalekaldumisena keskmisest. · Populatsioon A koosneb geneetiliselt identsetest indiviididest, kes on kasvanud üles väga heterogeenses keskkonnas. · Populatsioon B koosneb geneetiliselt heterogeensetest indiviididest, kuid keskkond on kõigile identne. · Milline on kummaski populatsioonis ekstravertsuse päritavuskoefitsient? Selle teadmiseks pole vaja lisa-andmeid! a) h2=0/0+1=tühihulk b) h2=1/1+0=1 · Seega päritavus sõltub nii keskkonna kui geenide variatiivsusest. · Üldisemalt: päritavuskoefitsient kehtib populatsiooni kohta antud keskkonnatingimuste juures. See ei ole tunnuse (nt ekstravertsuse) külge "naelutatud". Veel päritavusest · h2 sõltub tunnuse mõõtmistäpsusest (reliaablusest) · h2 võib olla populatsioonispetsiifiline ja võib sõltuda vanusest st võib eluea jooksul muutuda · h2 ei laiene populatsioonidevahelistele erinevustele Kaksikute meetod
Seega A C. 4. Oletame väite vastaselt, et leidub mittetühi hulk A nii, et A. Definitsiooni kohaselt peab siis leiduma element x hulgast , mis ei kuulu hulka A. See on aga võimatu, sest hulgas ei leidu ühtegi elementi. Seega A iga hulga A korral. Lause Tühi hulk on üheselt määratud. TÕESTUS Olgu 1 ja 2 kaks tühja hulka. Peame näitama, et 1 = 2. Kuna 1 on tühihulk siis transitiivsuse omaduse tõttu 1 2. Samuti selle sama omaduse tõttu 2 1. Ja Antisümmeetrilisuse omaduse põhjal need tühjad hulgad on võrdsed ehk see näitab ära, et tühjad hulgad on üheselt määratud. Pärisosahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B osahulk ja A B. Näide: 1. Kui S = {4, 5, 7} ja T = {3, 4, 5, 6, 7}, siis S T. 2
Loogikatehete ja aksioomide põhjal leitakse kahendarvude kohta kehtivad järgmised reeglid: 0 = 1; 1 = 0; 0 ⋅ 0 = 0; 0 ⋅ 1 = 0; 1⋅ 0 = 0; 1⋅ 1 = 1; (1.9) 20 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 1. 21 Aksioomide põhjal tuletatakse peamised loogikaseadused: 1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null (tühihulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga 0 ⋅ a ⋅ b ⋅ cL = 0. (1.10) 2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks (universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega 1 + a + b + c +L = 1. (1.11) 3. Idempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta)
Venni diagrammid väljendavad graafiliselt hulkade elementide omavahelisi paiknemisi ja võimaldavad täpsemat kirjeldust, sh on võimalik näidata ka üksikelementide paiknemist või elementide puudumist. Joonis 4.7. Venni diagrammides kujutab terminiga S tähistatud ring terminile S vastava hulga kõiki elemente, sellele vastab joonise vasakpoolne kujund. Keskmine kujund illustreerib olukorda, kus termini S maht on tühi – terminile vastav hulk on tühihulk. Viirutuse asemel kasutatakse ka halltoone või mingi värviga tooni. Oluline on see, et kui terminit kujutav ala on toonitud või viirutatud, siis selles alas pole terminil elemente. Parempoolne kujund illustreerib olukorda, kus termini S maht ei ole tühi, selles on vähemalt üks objekt – talle vastav hulk sisaldab vähemalt ühe elemendi, mida tähistatakse ristikese või x-iga. 1 5. ARUTLUS JA JÄRELDAMINE
Venni diagrammid väljendavad graafiliselt hulkade elementide omavahelisi paiknemisi ja võimaldavad täpsemat kirjeldust, sh on võimalik näidata ka üksikelementide paiknemist või elementide puudumist. Joonis 4.7. Venni diagrammides kujutab terminiga S tähistatud ring terminile S vastava hulga kõiki elemente, sellele vastab joonise vasakpoolne kujund. Keskmine kujund illustreerib olukorda, kus termini S maht on tühi terminile vastav hulk on tühihulk. Viirutuse asemel kasutatakse ka halltoone või mingi värviga tooni. Oluline on see, et kui terminit kujutav ala on toonitud või viirutatud, siis selles alas pole terminil elemente. Parempoolne kujund illustreerib olukorda, kus termini S maht ei ole tühi, selles on vähemalt üks objekt talle vastav hulk sisaldab vähemalt ühe elemendi, mida tähistatakse ristikese või x-iga.
84 3 Pidevad funktsioonid Olgu X kõigi niisuguste arvude x ∈ [a, b] hulk, et lõiku [a, x] saab katta lõpliku arvu vahemikega hulgast ∆, s.t. n [ o X := x ∈ [a, b] | leidub lõplik ∆x ⊆ ∆ : [a, x] ⊆ {S | S ∈ ∆x } . Märgime, et 1) X ei ole tühihulk, sest a ∈ X (põhjendada!)z ning 2) kui x ∈ X ja a 6 z 6 x, siis z ∈ X (selgitada!)z. Väide on tõestatud, kui oleme veendunud, et b ∈ X. Selge, et b on hulga X ülemine tõke, seetõttu saame rakendada pidevuse aksioomi, mille kohaselt ek- sisteerib c := sup X. Näitame kõigepealt, et c ∈ X. Kuna X ⊆ [a, b], siis c ∈ [a, b] (põhjendada!)z. See- ga leidub niisugune vahemik S0 = (α0 , β0 ) ∈ ∆, et c ∈ S0 . Paneme tähele, et vahemik S0 peab sisaldama
kimata? Selleks on mitu viisi. Kirjeldame siin ühte võimalikku viisi. 61 Arv 1 seatakse vastavusse ilma ühegi elemendita tühja hulgaga: . Tühjast hulgast võib mõelda kui tühjast kilekotist. Arv 2 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 1 vastav hulk ehk tühihulk. Seega võime seda hulka kirjeldada hulk sümbolites kui . Oleme oma tühjale kilekotile ümber pannud veel ühe kilekoti – kokku kaks kilekotti. Arv 3 seatakse vastavusse hulgaga, mille ainsaks elemendiks on arvule 2 vastav eelmises punktis leitud hulk. Tema kirjelduseks on . Kile- kott, mille sees on kilekott, mille sees on kilekott – kokku kolm kile- kotti.
annaabi.ee 
