2. Kui determinandis 2 rida/veergu 3. Trigonomeetriline: =r*(+i*) ; Euleri valem: tingimusi nim. lineaarkujutuste vektorruumiks ja märgime L. Nullvektorist erinevat vektorit, mis teatava lineaarteisenduse f omavahel ümber paigutada, siis muutub korral rahuldab tingimust f(x´)=*x' nim. selle lineaarteisenduse determinandi märk vastupidiseks.
Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral
lahutamise olemasolu seadus, tähendab seda et ka vektorvõrdustes võib viia liikmeid teisele poole, muutes märki. Vektori korrutamine arvuga Vektori korrutiseks arvuga nim vektorit mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused
aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ....an bn . i =1 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud lineaarsete tehete 8 omadust. 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja .
1. ( f + g ) a = f ( a ) + g ( a ) lineaarkujutuse distributiivsus kujutiste liitmise suhtes. 2. ( f) a = f ( a ) skalaariga korrutamise kommutatiivsus lineaarkujutuste suhtes. Öeldakse, et lineaarkujutused f ja g on võrdsed, kui on täidetud tingimus : f ( a) = g ( a ). Osutub, et kõik lineaarkujutused, mis rahuldavad eelpool esitatud tingimusi moodustavad omaette vektorruumi, millist nimetatakse lineaarkujutuste vektorruumiks. Lineaarkujutust seal hulgas lineaarteisendust saab kujutada maatriksi mõistet kasutades. W = V = V3 geomeetriliste vektorite vektorruum. { e1 ; e2 ; e3 }.....9 aksioomi ... ( x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 ) x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 [ f (e1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e1 ] A = [ f (e2 ) ] = ( a21 a22 a23) [e2 ] [ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral.
o e = o ( a + b ) = a + b o a ( + ) = a + a o a (b ) = ( a b ) o ( a ) = ( a ) = a ( ) Kui süsteemis M on defineeritud ainult üks arvutusoperatsioon ( a ), siis jäetakse viimase välja ( kehtivad 1 4 [skalaariga korrutamise postulaadid]). Def13 Aditiivset Abeli rühma M, milles on defineeritud skalaariga korrutamine, mis rahuldab postulaate 1 4 nimetatakse vektorruumiks ja tema elemente vektoriteks. o + ( + ) = ( + ) + o + = + o : + = o - : + ( - ) = o e = o ( a + b ) = a + b o a ( + ) = a + a o a ( b ) = ( a b )
.. + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused: Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetilseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgnevalt (x1;...; xn) + (y1;...; yn) := (x1 + y1; ... ; xn + yn) (x1; ... ; xn) := (x1; ... ;xn) kus (x1; ... ; xn); (y1; ... ; yn) Rn, R. Näidata et... 2. Ühe reaalmuutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuste mõistete üldistamine vektorruumile. E-ümbrused . Lause
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,
*Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E. * Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmiseoperatsioon on kommuteeruvad ehk vahetatavad, s. t.(AT )-1= (A-1)T . VEKTORRUUM (ÜLE REAALARVUDE HULGA): Mittetühja hulka V nimetame vektorruumiks üle reaalarvude R, kui hulgal V on järgmine ehitus: I On antud kujutus + : V × V ->V; (x, y) -> x + y, mida nimetame (hulga V) elementide liitmiseks. II On antud kujutus : R × V -> V; (, x) -> x, mida nimetame (hulga V) elemendi korrutamiseks reaalarvuga (vasakult) . III Elementide liitmine ja reaalarvuga korrutamine peavad rahuldama järgmisi aksioome: 1. Elementide liitmine on assotsiatiivne, s. t. iga x, y, z V korral kehtib (x + y) + z = x + (y + z). 2
2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 4° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 5° a ( ) = ( a ) = ( a ) iga a ja , V korral. 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Def. 1. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud II ptk. §1 teoreemis loetletud aksioomid 1° 8°. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks. Def. 1. Vektorite 1 , 2 , ... , m V lineaarseks kombinatsiooniks nimetatakse iga vektorit kujul
assotsiatiivne a+(b+y)=(a+b)+y 3. lahutamise olemasolu seadus, tähendab seda et ka vektorvõrdustes võib viia liikmeid teisele poole, muutes märki. Vektori korrutamine arvuga Vektori korrutiseks arvuga nim vektorit mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by
Vektorruum Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks üle reaalarvude hulga R, kui sellel hulgal on defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja korrutamine skalaaridega nii, et on täidetud järgmised tingimused: hulk V on kinnine elementide liitmise suhtes ja hulk V on kinnine skalaariga korrutamise suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a
determinandi D elemendi akj alamdeterminant. Analoogiliselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral a1jA1k + a2iA2k + ... + aniAnk = jBk = (1<=j<=n)aijAik = D, kui j=k ja 0, kui jk 10. kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis nende maatriksite korrutise AB determinant võrdub maatriksite A ja B determinantide korrutisega. A, B, AB Knxn; |AB| = |A|*|B| 16. Vektorruumi defnitsioon ja näiteid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet - liitmine (igale kahele elemendie , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a R ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V), mis rahuldavad omadusi V1-V8. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks Vektorruume: 1. V - geomeetriliste vektorite hulk tasandil (ruumis); K = R 2. V = Kn - n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulk 3. V = Kmxn - maatriks 4
skalaarkorrutis analoogselt reegliga (1): n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Seega
2) kahemõõtmelises aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: aga näiteks, avaldised skalaarkorrutist ei määra. 3) 2 2-maatriksite hulgas võib skalaarkorrutise defineerida järgmise valemiga: Olgu Siis määrab skalaarkorrutise. Definitsioon. Vektorruumi koos temas defineeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Definitsioon. Vektori pikkuseks nimetatakse arvu Näide: Kui aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2) skalaarkorrutis on defineeritud võrdusega , siis vektori pikkus langeb kokku tavalise tasandilise vektori pikkusega. Vektori pikkuse omadused: Tõestus: 2) On kerge kontrollida, et antud võrratus kehtib kui või : Seepärast eeldame, et ja
elemente nimetatakse selle ruumi punktideks ja arve xi nimetatakse punkti P (x1, . . . , xn) koordinaatideks. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse n teguri otsekorrutist R × . . . × R, milles elementide liitmine on defineeritud 1. Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest
Korpuse elemente nimetatakse skalaarideks ehk arvudeks. Lisaks eeldatakse, et K on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, s.t ska- laaride summad ja korrutised kuuluvad samuti korpusesse K. N¨ aiteid Q, R, C 1 2 V. Vektorruumid 2 Vektorruumi m~ oiste ja n¨ aited 2.1 Vektorrumi m~ oiste Hulka V = {a, b, c, . . . } nimetatakse vektorruumiks u ¨le korpuse K, kui on defineeritud hulga V elementide liitmine ja hulga V elementide korrutamine korpuse K skalaaridega nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused: 1) a + b = b + a a, b V (liitmise kommutatiivsus) 2) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c V (liitmise assotsiatiivsus) 3) o V nii, et a + o = a = o + a a V
Seega meie peame olukorra liht- gel, (x, y) E2 tasandil ja (x, y, z) ruumis E3 saab vaadelda n-korteezi salt ära defineerima. (x1 , . . . , xn ), n N, mille abil defineerime palju üldisema vektorruumi. Definitsioon 13.23 Me nimetame hulka Rn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . , xn R}, nN (13.2) n-mõõtmeliseks (eukleidiliseks) vektorruumiks, millel on defi- neeritud liitmine x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), x, y Rn (13.3) Tegelikult leidub ühel vektor- ja skalaariga korrutamine ruumil lõpmata palju erine- vaid baase ja viimaste muut-
annaabi.ee 
