lihtsam, kuigi x-i väärtuseks võib panna ka suurema arvu. 2. Moodustame väärtuste tabelid y=-0.5+0.5x y=4-x x 0 1 2 x 0 1 2 y -0.5 0 0.5 y 4 3 2 3. Joonestame sirged 4. Võrrandsüsteemi lahendiks on nende kahe sirgete lõikepunkti koordinaadid. (antud koordinaatteljestikul punkt G) = Vp= x-2y=1 x 3 Pp= x-2y=1 Vp=Pp Vp- Vasakpoolne Pp- Parempoolne y = 1 Vastus on: Kontroll: Vp= 3-2=1 Pp= 1 Vp=Pp Vp2=6+2=8 Pp2=8 Vp2=Pp2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega: Võtame näiteks võrrandsüsteemi: 2 x + 3 y = -4 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5. LINEAARSED VÕRRANDSÜSTEEMID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Asendus- ja liitmisvõte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Determinantide kasutamine võrrandsüsteemi lahendamisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Võrrandsüsteemi graafiline lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6. LINEAARSED FUNKTSIOONID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Võrdeline ja lineaarne seos. . .
saadud väärtusega ja leiame teise tundmatu. 3+2y=7 2y=73 2y=4 :2 y=2 3.Võrrandsüsteemi lahendiks on arvupaar x=1 ja y=2. See kirjutatakse x=1 loogelise sulu abil kokku, nagu olid esialgsed võrrandidki. Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2
Kuukaardid ÜLESANNE Lineaarse võrrandsüsteemi graafiline lahendamine Linnatranspordi kuukaart maksab 120 kr, soodustusega kaart aga 40 kr. Müüdud on 6700 kaarti kogusummas 684 000 kr. Mitu kuukaarti on müüdud kummastki liigist? Lahendada graafiliselt. x + y = 6700 120x + 40y = 684000 Kaartide arv 6700 40y= 684000 - 120 x 17100 Kaardimüügist saadud tulu 684000
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i
Ülesande algandmed: E₁ = 100 V f = 50 Hz E₂ = 100 V L₁ = 20 mH ⍺ = 30˚ L₂ = 30 mH R₁ = 4 Ω L₃ = 10 mH R₂ = 5 Ω C₁ = 200 µF R₃ = 2 Ω C₂ = 250 µF Joonis 1. Ülesande algskeem. 1. Võrrandisüsteem Kirchoffi seaduste põhjal Joonis 2. Algskeem, vattmeeter eemaldatud. Joonis 3. Lihtustatud skeem Kirchoffi seaduste põhjal saab koostada võrrandsüsteemi. Võrrandite arvu määramine: NKI = 2 - 1 = 1 NKII = 3 - 1 = 2 Differenttsiaalkujul: i₁ + i₂ - i₃ = 0 1 di di C′1 ∫ i1R′1 + i1dt + L1 1 + L 3 3 + i3 R3 = E1 dt dt 1 di di C2 ∫ i2 R2 + i2 dt + L 2 2 + L 3 3 + i3 R3 = E2 dt dt Sümbolmeetodil komplekssuuruste kujul: i₁ + i₂ - i₃ = 0
Ülesande algandmed: R₁ = 8 Ω J₇ = 2 A R₂ = 5 Ω I₁ = 4A R₃ = 4 Ω E₂ = 50 V R₄ = 6 Ω E₃ = 30 V R₅ = 6 Ω E₄ = 40 V R₆ = 7 Ω E₅ = 50 V R₇ = 2 Ω E₆ = 30 V R₈ = 3 Ω E₁ - ? Joonis 1. Ülesande algskeem. 1. Võrrandisüsteem Kirchoffi seaduste põhjal Joonis 2. Lihtustatud skeem suletud kontuuridega. Kirchoffi seaduste põhjal saan koostada võrrandsüsteemi. Võrrandite arvu määramine: NKI = 5 - 1 = 4 NKII = 6 - 3 = 3 Kirchoffi I seaduse põhjal: (1) I₁ - I₃ - I₆ = 0 (2) I₂ + I₃ - I₄ = 0 (3) I₅ - I₂ - I₁ = 0 (4) I₄ + I₆ - I₅ = 0 Kirchoffi II põhjal: I I₅R₅ + I₂R₂ + I₄R₄ = E₂ + E₄ + E₅ II I₆ R₆ - I₄R₄ - I₃R₃ = E₆ - E₄ - E₃ III I₁R₁ + I₃R₃ - I₂R₂ = E₃ - E₂ +E₁ 2. Kontuurvoolumeetod
fenotüübiväärtuste võrdlemisest populatsiooni keskmisega1 Kõik need fenotüübil mõõdetud erinevused koondatakse sobivalt valitud kordajatega kaalutuna ühte võrrandisse. Sellist looma aretusväärtuse (või geneetilise väärtuse) määramiseks konstrueeritud võrrandit nimetatakse selektsiooniindeksiks. BLUP – mis asi see on. BLUP (parim lineaarne tõepärane) -meetod -- põllumajandusloomade geneetilise aretusväärtuse hindamise rahvusvaheline lineaarse võrrandsüsteemi lahendamise standardmeetod, kus hinnatavate tunnuste kõrval arvutatakse samaaegselt ka seda tunnust mõjutanud keskkonnategurite väärtused. (BLUP) isa mudel – mis asi see on ja kuidas ja kellele abil aretusväärtusi hinnata saab? Isa mudel hindab geneetilise efektina isa mõju, eeldades vaikimisi, et kõik isad on paaritatud populatsiooni keskmiste emadega ning emad pole omavahel sugulased. Mis põhimõtte alusel isa mudelist päritavuskoefitsienti hinnatakse?
X= 2 , F= 2 . ... ... x f n n Kui m < n , siis on alamääratud süsteem, osa tundmatuid jääb määramata, kui m > n , siis on ülemääratud süsteem, lahend võib üldse puududa, kui m = n , siis on üks lahend kui det A 0 . Homogeense võrrandsüsteemi vabaliige on null ehk AX = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil esineb alati triviaalne lahend X = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil on m = n korral mittetriviaalsed lahendid ainult juhul, kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1 x2 bx2
D. Väikese või suure (aga mitte vahepealse) levimiskauguse korral? Liiga väikese vahemaa puhul võib tekkida inbriidingu depressioon (geneetiline degradatsioon tänu ristumisele geneetiliselt liiga lähedaste isendite vahel), liiga suure vahemaa puhul autbriidingu depressioon (geneetiline degradatsioon tänu ristumisele geneetiliselt liiga kaugete isendite vahel). Seega, C on õige. 23. Millised võrrandipaarid moodustavad Lotka-Volterra tüüpi kiskja-saakloom võrrandsüsteemi? A. dN/dt = rN – P; dP/dt = fP – qN; B. dN/dt = rN; dN/dt = rN(1 – N/K); C. dN/dt = logC – 3/2 log N; dP/dt = logC - logN; D. dN/dt = rN – a’NP; dP/dt = fa’NP – qP; D on õige, teised on mingi jama. 24. Millised näited sobivad illustreerima sellist elutsükliga seotud migratsiooni, mille piltlikuks nimetuseks on edasi-tagasi pilet (üks kord elus rännatakse toitumispaika ja üks kord elus paljunemispaika)? A
59. Lõikuvad , siis kahe tasandi vaheline nurk cos = = ja n1 n 2 A + B12 + C12 A22 + B22 + C 22 1 2 võrrandsüsteemi maatriksite astakud on r ( A ) = r ( AL ) = 2 60. On risti , siis n1 n2 = 0 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 B1 C1 D1 61. On paralleelsed, siis n1 x n2 = 0 ja = = ja r ( A ) = 1 ning r ( AL ) = 2 A2 B2 C 2 D2 A1 B1 C1 D1 62. Ühtivad, siis n1 x n2 = 0 ja = = = ja r ( A ) = r ( AL ) = 1 A2 B2 C 2 D2
59. Lõikuvad , siis kahe tasandi vaheline nurk cos = = ja n1 n 2 A + B12 + C12 A22 + B22 + C 22 1 2 võrrandsüsteemi maatriksite astakud on r ( A ) = r ( AL ) = 2 60. On risti , siis n1 n2 = 0 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 B1 C1 D1 61. On paralleelsed, siis n1 x n2 = 0 ja = = ja r ( A ) = 1 ning r ( AL ) = 2 A2 B2 C 2 D2 A1 B1 C1 D1 62. Ühtivad, siis n1 x n2 = 0 ja = = = ja r ( A ) = r ( AL ) = 1 A2 B2 C 2 D2
yx i 2i b^1 x2i b^2 x22i b^3 x2i x3i ... b^k x2i xki Vektori b^ leidmiseks korrutame vasakult poolt XTX pöördmaatriksiga yx i 3i b^1 x3i b^2 x2i x3i b^3 x32i ... b^k x3i xki yx b^1 xki b^2 x2i xki b^3 x3i xki ... b^k xki2 ( X T X ) 1 YX T = b^ i ki Võrrandsüsteemi lahendamisel saadakse valemid parameetrite Selline maatriksarvutus annab meile parameetrite hinnangute vektori. hinnangute b^1 , b^2 , ... , b^k arvutamiseks. b^1 sõltub KÕIKIDEST tunnustest, b^2 sõltub KÕIKIDEST tunnustest jne Parameetrite tõlgendamine ANOVA tabel ja F-statistik
Ohtlikema lihkepinna asendi saab leida proovimise teel Selline vajadus puudub, kui nõlva püsivuse kontrollimiseks kasutatakse lõplike elementide meetodit. Selle meetodi kasutamisel jaotatakse pinnas nõlva piirkonnas lõplike suurusega (näiteks kolmnurkseteks) elementideks. Elementide jäikuse maatriks, mis seob jõud ja paigutused elementide sõlmedes, saadakse potentsiaalse energia miinimumi tingimusest. Andes ette jõud ja paigutused vaadeldava ala piiril saab lahenda võrrandsüsteemi, mis põhineb kogu süsteemi jäikusmaatriksil. Süsteemi lahendist saadava elementide paigutiste kaudu saab leida pinged elementides ning seejärel kontrollida, kas elemendis on täidetud tugevustingimus = c + tan. Tugevuse ammendumine üksikus elemendis ei tähenda veel nõlva üldist püsivuse kaotust. Üldine püsivuse kaotus tekib juhul, kui elemendid kus tugevustingimus on täidetud moodustavad pideva tsooni kogu nõlva ulatuses. Meetod on realiseeritav
Tasakaal turul eksisteerib siis kui: a. nii töötajad kui ka omanikud on kõige toimuvaga rahul b. firmad müüvad rohkem kui suudavad ning varude suurust ei suuda keegi jälgida c. kui firmad müüvad just nii palju kui toodavad ning varud jäävad soovitud tasemele Antud on võrrandsüsteem C = 120 + 0,75*Qd c = 0,75 Io = 90 Go = 60 To = 40 Potentsiaalse SKP väärtus on 972 (Q*). Arvuta toodud võrrandsüsteemi baasil: 1. Tasakaalusissetulek Q', 960 Q’ = A/(1-C) A = C0 + I0 + G0 – T0*c = 240 => 240/(1-0,75) = 240/0,25 2. Kulumultiplikaator ksp, 4 ksp = 1/(1-C) 3. Autonoomsete maksude multiplikaator kT , -3 kT = - c/(1-C) = - 0,75/0,25 4. Kui palju peaks muutma autonoomseid kulutusi, et SKP lõhe kaoks, 3 SKP lõhe = ∆Q = Q* - Q’ = 972 – 960 ∆I = SKP lõhe / ksp = 12 / 4 5
sellele matemaatilise käsitluse ning saavutas tulemusena järelduse, et erinevad turud võivad tasakaalu saavutada ka üheaegselt. Walras oli üks esimestest ning eredamatest individualismi metodoloogia kaitsjatest, kes näitas, et majanduse selgitused peituvad üksikindiviidi valikutes. Ometigi on vast kõige tuntum hoopiski Walras’i üldise tasakaalu mudel, mis näitab majandussüsteemi kui matemaatilist võrrandsüsteemi. Walras näitas, kuidas leida taolisele võrrandsüsteemile lahendusi erinevate hindade ning koguste korral. Tema võrrandsüsteemis oli neli rühma võrrandeid, esimeses ja teises vaatles ta toodanguturgusid ehk teisisõnu tarbijate ja kodumajapidamiste nõutavaid koguseid sõltuvalt kauba hinnast jt teguritest. Kahes ülejäänus aga teguriturgude (tootmissisendite maa, töö ja kapitali) seoseid. Walras lisas nimetatud neljale
(b) loobudes survearmatuuri mõjust (võttes As2 = 0); (c) leides x ja s2 võrrandsüsteemist {0,8f= bx + (1Ad / x)f A s2 cd sc,u s2 s2 2 yd s1 =0 . Juhul (c) saame võrrandsüsteemi lahendamisel suhtelise survetsooni kõrguse = x/d1 suhtes: 2 1 1 2 , (3.14) kus f yd #1 sc ,u #2 1 ; 1,6 f cd sc ,u # 2 d 2 2 ; 0,8 f cd d1
Viimased põhjustavad hõõrdejõude F´h= F´02 ja F´´h= F ´´02, kus - hõõrdetegur. Kasutades kinetostaatika meetodit, on tõukuri tasakaalutingimus avaldatav kui: -F 12 sin+F´02-F´´02=0 F 12 cos- F´02- F´´02- F2=0 5.1 - F´02 y+ F´´02 (y+l)=0. 57 Joon. 5-6 Joon. 5-7 Toodud võrrandsüsteemi 5.1 lahendamine annab seose: F 12= F2 / cos- (1+2y/l)sin. 5.2 Kui valemis 5.2 nimetaja nullistub, tähendab see kiildumist: nukki pöörates pole võimalik tõukurit tõsta. Kiildumisel (vt. 5.2) on kriitiline survenurk kriitiline avaldatav järgmiselt: arccot kriitiline= (1+2y/l). 5.3 Praktikas kasutatavad maksimaalsed survenurgad max on oluliselt väiksemad
Ohtlikema lihkepinna asendi saab leida proovimise teel Selline vajadus puudub, kui nõlva püsivuse kontrollimiseks kasutatakse lõplike elementide meetodit. Selle meetodi kasutamisel jaotatakse pinnas nõlva piirkonnas lõplike suurusega (näiteks kolmnurkseteks) elementideks. Elementide jäikuse maatriks, mis seob jõud ja paigutused elementide sõlmedes, saadakse potentsiaalse energia miinimumi tingimusest. Andes ette jõud ja paigutused vaadeldava ala piiril saab lahenda võrrandsüsteemi, mis põhineb kogu süsteemi jäikusmaatriksil. Süsteemi lahendist saadava elementide paigutiste kaudu saab leida pinged elementides ning seejärel kontrollida, kas elemendis on täidetud tugevustingimus = c + tan. Tugevuse ammendumine üksikus elemendis ei tähenda veel nõlva üldist püsivuse kaotust. Üldine püsivuse kaotus tekib juhul, kui elemendid kus tugevustingimus on täidetud moodustavad pideva tsooni kogu nõlva ulatuses
annaabi.ee 
