Leidsid 21 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tükeldused". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
tükeldus, plokk, plokki, ekvivalentsiklass, osahulkade, relatsioon, ühisosa, relatsiooni, plokkideks, liitmine, liidetavate, plokis, sümmeetriline, transitiivne, hulgaelemendid, suvaline, hulgaga, tehet, korrutamine, korrutiseks, summaks, tervikuna, nendest, teguriteks, teguriks, olevast, plokid9. Kuidas saadakse mingi loogikavaldise jaoks tema duaalne kuju? Loogikaavaldise duaalne kuju saadakse konjunktsiooni asendamisel disjunktsiooniga, disjunktsiooni asendamisel konjunktsiooniga, konstandi 0 asendamisel konstandiga 1 ning konstandi 1 asendamisel konstandiga 0. 10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas? Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu. 12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon on vastavus n-
hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed. Venni diagramm on hulkade illustratiivne esitusviis. Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend.
võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja samal ajal ka 𝑄 → 𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks ->
kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. · Hulkade vahe AB={x |(xA)& (xB)} · Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x | (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused · Kommutatiivsusseadused AB=B A B = B · Assotsiatiivsusseadused A(BC)=(AB)C 1 A(BC)=(AB)C
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B
c. Funktsiooni f : X Y nimetatakse bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui ta on injektiivne ja sürjektiivne ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub parajasti üks originaal. d. Bijektiivse funktsiooni f : X Y pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f -1 : Y X, mis seab igale y Y vastavusse sellise elemendi x X, mille korral f(x) = y. 21) Relatsioonide esitusviisid: a. Loend: definitsiooni järgi on relatsioon paaride hulk. Kui see hulk on lõplik, siis saab teda esitada elementide (so paarida) loendina. Nt, vaatleme neljaelemendilisel hulgal X = {1, 2, 3, 4} määratud relatsiooni R, mis kehtib kahe arvu x ja y vahel parajasti siis, kui nende arvude sõnalises kujus ei leidu ühist tähte (,,sõltumatud arvud"). Lihtne on üle kontrollida kõik arvupaarid ja tulemuseks saame R = {(1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)} b
o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A ⊆ B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A ⊆ B ⇔ ∀x[ x∈A ⇒ x∈B ] Ülemhulk o DEF: Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B ⊇ A. Pärisalamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A ⊂ B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A ≠ B. 15. Hulkade ühend, ühisosa, vahe. Universaalhulk. Hulga täiend. Venni diagrammid. Tehete algebralised omadused, nende tõestamine ja kontroll . [3, 4, 5] Ühend o DEF: Hulkade A ja B ühendiks e. summaks nimetatakse hulka A∪B, mille moodustavad kõik elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte hulkadest A ja B, st A ∪ B = { x | x∈ A ∨ x∈ B } Ühisosa o DEF: Hulkade A ja B ühisosaks e. lõikeks nimetatakse hulka A∩B, mille moodustavad
tühjad hulgad on üheselt määratud. Pärisosahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B osahulk ja A B. Näide: 1. Kui S = {4, 5, 7} ja T = {3, 4, 5, 6, 7}, siis S T. 2. Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused . 3. Kui a < b, siis (a, b) (a, b] [a, b]. Kõigi osahulkade hulk Hulga A kõigi osahulkade hulka tähistatakse tavaliselt P( A)={ X X A }. Ülesanne: Iga hulga korral leia tema kõigi osahulkade hulk. Samuti määra |A| ja |(A)|. 1. A = 2. A = {a, b} LAHENDUS 1. A = , ()=? |A| = 0, () = {X | X } = , |()| = 1 2. A = {a, b} |A| = 2, (a, b) = {X | X {a, b} } = {, {a}, {b}, {a, b}}, |()| = 4 Lause Kui hulgas A on n elementi, siis hulgal A on 2n erinevat osahulka TÕESTUS {a 1 , a2 , ... , an }
P — väljas on pime ∧ loogiline korrutamine e. konjunktsioon e. JA-tehe R — päikesevarjutus kestab ( aritmeetilise korrutamise analoog loogikas ) L — päike on loojunud ∨ loogiline liitmine e. disjunktsioon e. VÕI-tehe M — Ferrari on kiirem kui McLaren ( aritmeetilise liitmise analoog loogikas ) H — Häkkinen võidab sõidu → loogiline järeldamine e. implikatsioon ( ei oma aritmeetikas analoogi) Esitada järgnevad liitlaused lausearvutusvalemitena: ↔ loogiline samaväärsus e
1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B}
Lihtsam on aga kasutada multinoomi teoreemi, mis annab meile palju mugavamalt kätte mistahes liikme koefitsiendi, näiteks: ning . Binoomiteoreem ning binoom-koefitsiendid on sisuliselt vaid multinoomi valemi erijuht. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). Elimineerimismeetod- Elimineerimismeetod on hulkade võimsuse notatsioonil põhinev, äärmiselt mugav vahend leidmaks mitme, üksteisega ühisosa omava hulga ühendit või ühisosa. *Ilma konkreetse valemita oleks suure hulga ühisosa omavate hulkadega arvutamine äärmiselt tülikas. (Venni diagramme kasutades kaob ülevaade juba näiteks 4 hulga puhul). *Elimineerimismeetod on aga rakendatav praktiliselt kuitahes suure koguse hulkade korral. *Elimineerimismeetodi valem avaldub üldkujul järgmiselt: *Elimineerimismeetodil on rakendusi ka arvuteoorias: näiteks võimaldab ta meil lahendada
düsmatemaatikute raviprogrammid individualiseerida. Järelikult ei ole ühest ega kerget teed raviõpetuseks või edukaks õpetamiseks. See tähendab, et matemaatika õppimisel/õpetamisel on kaks olulist aspekti: teema ja käitumine, mida ei saa vaadelda lahus. 4. Terminite ,,akalkuulia", ,,düskalkuulia" ja ,,düsmatemaatika" määratlus ja kasutus. - Akalkuulia arvutusvõimetus ; kahjustus, mille puhul on inimesel raskusi lihtsate matemaatiliste ülesannetega nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja isegi määramaks, kumb kahest numbrist on suurem. Erineb düskalkuuliast selle poolest, et akalkuulia tekib vanemas eas põhjustatuna neuroloogilisest kahjustusest. Tihti esineb ühe sümptomina mõne haiguse esinemisel. Eraldi seisvana raskem diagnoosida. - Düskalkuulia ehk düsmatemaatika - on spetsiifiline arvutamisvilumuste häire, mis ei ole seletatav üldise vaimse mahajäämusega või ebaadekvaatse õpetamisega. Düskalkuulia
Ühest hinnast paarikümne protsendi maha arvutamisega saab ka käsitsi mõne ajaga hakkama. Kui aga hindu on mitukümmend, siis on päris hea meel, kui arvuti selle töö meie eest ära teeb. Järgnevalt näide, 13 kuidas arvuti vastu tulevale viiele matkajale tere ütleb. Täisarvuline muutuja nimega nr näitab, mitmenda matkaja juures parajasti ollakse. Käskluse while juurde kuuluvat plokki saab korrata. Plokk läbitakse üha uuesti juhul, kui ümarsulgudes olev tingimus on tõene. Et kordusi soovitud arv saaks, on juba programmeerija hoolitseda. Selleks on siin igal korral pärast tervitust käsklus nr=nr+1, ehk siis suurendatakse matkaja järjekorranumbrit. Kui see suurendamine kogemata tegemata jääks, siis jääkski arvuti igavesti esimest matkajat teretama (proovi järele). Nüüd aga töötav korduste näide: using System; public class Kordus1{ public static void Main(string[] arg){
tarvis ükshaaval ja üksluiselt sama toimetust ette võtta. Ühest hinnast paarikümne protsendi maha arvutamisega saab ka käsitsi mõne ajaga hakkama. Kui aga hindu on mitukümmend, siis on päris hea meel, kui arvuti selle töö meie eest ära teeb. Järgnevalt näide, kuidas arvuti vastu tulevale viiele matkajale tere ütleb. Täisarvuline muutuja nimega nr näitab, mitmenda matkaja juures parajasti ollakse. Käskluse while juurde kuuluvat plokki saab korrata. Plokk läbitakse üha uuesti juhul, kui ümarsulgudes olev tingimus on tõene. Et kordusi soovitud arv saaks, on juba programmeerija hoolitseda. Selleks on siin igal korral pärast tervitust käsklus nr=nr+1, ehk siis suurendatakse matkaja järjekorranumbrit. Kui see suurendamine kogemata tegemata jääks, siis jääkski arvuti igavesti esimest matkajat teretama (proovi järele). Nüüd aga töötav korduste näide: using System; public class Kordus1{ public static void Main(string[] arg){
Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub on samaväärne (mõlematpidi järeldumine) x kehtib iga x korral x leidub selline x N naturaalarvud 1, 2, 3, . . . N0 naturaalarvud koos nulliga 0, 1, 2, 3, . . . Z täisarvud . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . Q ratsionaalarvud pq , q = 0 I irratsionaalarvud R reaalarvud C kompleksarvud n! faktoriaal 1 · 2 · · · n
sajandil. Selliseid reaalarvude erinevaid esitusi on konstrueeritud mitmeid, tegelikult on nad ühe matemaatilise struktuuri – täieliku järjestatud korpuse – konkreetsed esitused. Sellest tõsiasjast lähtudes defineerime me käesolevas kursuses kõigi reaalarvude hulga R kui täieliku järjes- tatud korpuse. 1.1 Järjestatud korpused 1.1.1 Korpuse aksioomid Definitsioon. Korpuseks (field, поле) nimetatakse hulka F , milles on defineeritud kaks bi- naarset tehet, liitmine A : F × F → F , (a, b) 7→ a + b ja korrutamine M: F × F → F, (a, b) 7→ ab (= a · b) , ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 7 nii et on täidetud järgmised tingimused (korpuse aksioomid ): (A1) a + b = b + a kõikide a, b ∈ F korral (liitmise kommutatiivsus), (A2) (a + b) + c = a + (b + c) kõikide a, b, c ∈ F korral (liitmise assotsiatiivsus),
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad ....................
tulemusena, mittemateriaalne), universaalne (haarab kõiki võimalikke objekte, millest mõistet abstraheerida saab), põhitunnustega (olemuslike omadustega) ning püsiv (ei muutu mõistega haaratud objektide muutumisel). Termin on üldkasutatav ja väljendab keeleliselt seda, mida isik mõistega mõtleb. Sinna kuulub isiklik mõiste ja arusaam kokkuleppelisest mõistest, nt koerte puhul võivad teised isikud koerte kohta rohkem või vähem teada, kuid on olemas mingi kokkuleppeline ühisosa, mida kõik peaks enam-vähem tunnustama, juhul kui selle kohta kasutatakse väljendit ,,koer". Argikeeles räägitakse tavaliselt kas asjadest või sõnadest, mitte mõistetest. Mõistetest räägitakse peamiselt siis, kui jutt on sõnade tähendustest. 2 Traditsioonilise loogika mõisteõpetuse osa saab üles ehitada vähemalt kahel viisil: 1) võtta
algebra). Muutujatel saab siin olla ainult kaks väärtust 0 - väär ja 1 - tõene. Seepärast nimetatakse seda loogikat ka binaarloogikaks. Loogilisi muutujaid tähistatakse ladina tähestiku tähtedega. Sõltumatuid muutujaid (sisendeid) nimetatakse argumentideks, neist sõltuvaid muutujaid aga funktsioonideks. Loogikafunktsiooni kõik argumendid on loogilised muutujad, millel on kaks väärtust 0 ja 1. Kõiki loogikafunktsioone väljendavad kolm põhitehet: loogiline korrutamine, loogiline liitmine ja loogiline eitus. Loogiline korrutamine (NING). NING-funktsioon on võrdne ühega ainult juhul, kui kõik argumendid on võrdsed ühega. Tehte tähistamiseks kasutatakse nii harilikku korrutus- märki ( • ) kui ka loogilise korrutamise eritähist - katust ( ∧ ). Loogilist korrutamist nimetatakse ka konjunktsiooniks. Loogiline liitmine (VÕI). VÕI-funktsioon on üks siis, kui kas või üks argumentidest võrdub ühega
ükshaaval ja üksluiselt sama toimetust ette võtta. Ühest hinnast paarikümne protsendi maha arvutamisega saab ka käsitsi mõne ajaga hakkama. Kui aga hindu on mitukümmend, siis on päris hea meel, kui arvuti selle töö meie eest ära teeb. Järgnevalt näide, kuidas arvuti vastu tulevale viiele matkajale tere ütleb. Täisarvuline muutuja nimega nr näitab, mitmenda matkaja juures parajasti ollakse. Käskluse while juurde kuuluvat plokki saab korrata. Plokk läbitakse üha uuesti juhul, kui ümarsulgudes olev tingimus on tõene. Et kordusi soovitud arv saaks, on juba programmeerija hoolitseda. Selleks on siin igal korral pärast tervitust käsklus nr=nr+1, ehk siis suurendatakse matkaja järjekorranumbrit. Kui see suurendamine kogemata tegemata jääks, siis jääkski arvuti igavesti esimest matkajat teretama (proovi järele). Nüüd aga töötav korduste näide: using System; public class Kordus1{ public static void Main(string[] arg){
V.Jaaniso Pinnasemehaanika 1. SISSEJUHATUS Kõik ehitised on ühel või teisel viisil seotud pinnasega. Need kas toetuvad pinnasele vundamendi kaudu, toetavad pinnast (tugiseinad), on rajatud pinnasesse (süvendid, tunnelid) või ehitatud pinnasest (tammid, paisud) (joonis 1.1). a) b) c) d) J o o n is 1 .1 P in n a s e g a s e o tu d e h i tis e d v õ i n e n d e o s a d .a ) p i n n a s e le t o e t u v a d ( m a d a l - j a v a iv u n d a m e n t) b ) p i n n a s t t o e t a v a d ( t u g is e in a d ) c ) p in n a s e s s e r a j a tu d ( tu n n e li d , s ü v e n d i d d ) p in n a s e s t r a j a tu d ( ta m m i d , p a is u d ) Ehitiste koormuste ja muude mõjurite tõttu pinnase pingeseisund muutub, pinnas deformeerub ja võib puruneda nagu kõik teisedki materjalid. See põhjustab
annaabi.ee 
