Trigonomeetria valemid kõik ühel lehel. Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin sin 2 + cos 2 = 1 = tan tan cot = 1 funktsioonid funktsioonid cos 1 1 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos 2 sin 2 Põhilised taandamisvalemid
Trigonomeetria valemid: Põhiseosed Täiendusnurga trigonomeetrilised Negatiivse nurga trigonomeetrilised sin α funktsioonid funktsioonid sin 2 α + cos 2 α = 1 = tan α tan α ⋅ cot α = 1 cosα 1 1 1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α = cos 2 α sin 2 α
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Põhiteadmised · Kraadimõõt; · radiaanimõõt; · suvalise nurga (ka negatiivse) trigonomeetrilised funktsioonid; · trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine;
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Põhiteadmised · Kraadimõõt; · radiaanimõõt; · suvalise nurga (ka negatiivse) trigonomeetrilised funktsioonid; · trigonomeetrilised põhiseosed; · trigonomeetriline avaldis; · taandamisvalemid nurkade 90o , 180 o ja 360 o puhul; · kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus, tangens; · kahekordse ja poolnurga siinus, koosinus, tangens; · siinus- ja koosinusteoreem; · trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud ja omadused; · trigonomeetrilised põhivõrrandid. Põhioskused · Täis-, terav- ja nürinurksete kolmnurkade lahendamine; · trigonomeetriliste avaldiste teisendamine;
2 tan 0 3 1 3 puudub 2 cot puudu 3 1 0 3 b 3 34. Täiendusnurga trigonomeetrilised funktsioonid sin(90 0 - ) = cos , cos(90 0 - ) = sin , tan(90 0 - ) = cot 35. Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin( -) = -sin , cos( -) = cos , tan(-) = - tan 36. Tähtsamad taandamisvalemid sin(180 0 - ) = sin sin(180 0 + ) = - sin sin(360 0 - ) = - sin cos(180 0 - ) = - cos cos(180 0 + ) = - cos cos(360 0 - ) = cos
2 tan 0 3 1 3 puudub 2 cot puudu 3 1 0 3 b 3 34. Täiendusnurga trigonomeetrilised funktsioonid sin(90 0 - ) = cos , cos(90 0 - ) = sin , tan(90 0 - ) = cot 35. Negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin( -) = -sin , cos( -) = cos , tan(-) = - tan 36. Tähtsamad taandamisvalemid sin(180 0 - ) = sin sin(180 0 + ) = - sin sin(360 0 - ) = - sin cos(180 0 - ) = - cos cos(180 0 + ) = - cos cos(360 0 - ) = cos
Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid Valemid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + + y = cot + + · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi
cos 2a =cos2 a - sin2 a cos 2a = 2 cos2 a -1 cos 2a = 1- 2 sin2 a tan 2a = 2 tan a/ (1 - tan2 a) cot 2a = cot2 a - 1/ (2cot a) NURKADE TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE VÄÄRTUSED. 0 30 45 60 90 sin 0 0.5 1 cos 1 0,5 0 tan 0 1 puudub cot puudub 1 0 POOLNURGA TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID cos2 (a/2) + sin2 (a/2) = 1 cos2(a/2) - sin2(a/2) = cos a Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(a/2) = 1 + cos a Lahutades: 2sin2(a/2) = 1 - cosa järelikult: cos2 (a/2) = 1 + cos (a/2) sin2a/2) = 1 - cos (a/2) VEKTORID TASANDIL Punktid A(x1;y1) ja B(x2;y2) Vektori koordinaadid on AB=(x2-x1;y2-y1) Vektorid u=(a;b) ja v=(c;d) Summa ja vahe u ±v =(a±c;b±d) Korrutis arvuga r r·u = (ra;rb) Vektori skalaarkorrutis u·v = a·c + b·d ja u· v =|u||v|·cos Vektori pikkus |u|=
sin ( - ) = sin cos - cos sin tan ( - ) = tan - tan / (1 + tan tan ) cos ( + ) = cos cos - sin sin cot ( + ) = cot cot -1/ (cot + cot ) cos ( - ) = cos cos + sin sin cot ( - ) = cot cot + 1 /( cot - cot ) Kahekordse nurga siinus, koosinus, tangens ja kootangens. sin 2 =2sin cos cos 2 =cos2 - sin 2 cos 2 = 2 cos2 -1 cos 2 = 1- 2 sin 2 tan 2 = 2 tan / (1 - tan 2 ) cot 2 = cot2 - 1/ (2cot ) Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid. cos2 (/2) + sin2 (/2) = 1 cos2(/2) - sin 2(/2) = cos Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(/2) = 1 + cos Lahutades: 2sin 2(/2) = 1 - cos järelikult: cos2 (/2) = 1 + cos (/2) sin 2/2) = 1 - cos (/2) Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks. sin + sin = 2sin( + ) /2 cos( - ) /2 sin - sin = 2cos( + ) /2 *sin( - ) /2 cos + cos =2cos( +) /2 *cos( -) /2 cos cos = -2sin( + ) /2 *sin( - ) /2 tan + tan = sin( + ) / (cos*cos)
tan(2 - x) = - tan x sest neljandas veerandis on tangens negatiivne cos(2 - x) = cos x sest neljandas veerandis on koosinus positiivne sin( + x) = cos x sest teises veerandis on siinus positiivne 2 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan( ± ) = 1 tan tan Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos - sin 2 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid Järgmistes valemiste võetakse märk "+" või "-" vastavalt sellele, millise märgiga on vasakul olev funktsioon veerandis, kus lõpeb nurk /2 1 - cos sin = ± 1 - cos = 2 sin 2
.................................................................................................. 23 Radiaanimõõt......................................................................................................................24 Trigonomeetriliste nurkade väärtused mõnede nurkade korral.............................................. 24 Ringjoone kaare pikkus, sektori pindala.................................................................................24 Mistahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid.................................................................... 24 Seosed ühe ja sama nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel.........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus........................
Taandamisvalemid Trigonomeetrilised funktsioonid Varasemast on teada: sin (a + n*360)= sin a cos (a + n*360)= cos a tan (a + n*360)= tan a cot (a + n*360)= cot a Iga 360 kraadist väiksem nurk on teisendatav 1. veerandi nurgaks II veerand I veerand III veerand IV veerand II veerandi nurgad: Valem: 180-a sin (180-a)= sin a cos (180-a)= -cos a tan (180-a)= -tan a cot (180-a)= -cot a III veerandi nurgad: Valem: 180+a sin (180+a)= -sin a cos (180+a)= -cos a tan (180+a)= tan a
TRIGONOMEETRIA VALEMILEHT 10. KLASS Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel 3 0° 30° 45° 60° 90° 180°() 270° 6 4 3 2 2 1 2 3 sin 0 1 0 -1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 -1 0 2 2 2 3 tan 0 1 3 puudub 0 puudub 3 3 cot puudub 3 1
1 + cot 2 = tan 2 = tan( + ) = sin 2 1 - tan tan tan cot = 1 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid Liitmisvalemid sin 2 + cos 2 = 1 sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos 2 - sin 2 = cos 2 cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan 2 2 tan( ± ) = sin 2 + cos 2 = 1
b) On lõpmatult palju lahendeid 1° = rad 180° 25. Ringjoone kaare pikkus ja sektori pindala 1 - cos 1 sin =± l = rx S = xr 2 2 2 2 1 + cos 26. Mistahes nurga trigonomeetrilised cos =± funktsioonid 2 2 27. Taandamisvalemid 1 - cos tan =± Teine veerand: 2 1 + cos sin(180° - )=sin sin cos(180° - )= -cos tan = 2 1 + cos
1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a
Tema graafik ei lõika y-telge ja graafik läbib punkti (1; 0). · Eksponentvõrrand a = b x = loga b x a f(x) = ab f(x) = b log a x = b x = a b · Logaritmvõrrandid log a f ( x ) = log a b f ( x ) = b 7. Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid · Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste märgid Funktsioon I veerand II veerand III veerand IV veerand y = sin + + y = cos + + y = tan + +
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
Trigonomeetria põhivalemid ja nende järeldused: sin 2 + cos 2 = 1 2 2 2 sin = 1 - cos sin = 1 - cos 2 2 2 cos = 1 - sin cos = 1 - sin sin = cos( 90° - ) ; cos = sin ( 90° - ) sin sin tan = sin = cos tan cos = cos tan 1 1 tan = ; cot = cot tan 1 1 + tan 2 = cos 2 Kahekordse nurga valemid: sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 Liitmisvalemid: sin ( + ) = sin cos +cos sin cos( + ) = cos cos +sin sin tan + tan tan (+ ) = 1 +tan tan Summa teisendamine korrutiseks:
Nurga a sin nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktis Nurga a cos nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti abtsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist Nurga a tan nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti ordinaadi ja abtsissi suhet Nurga a cot nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes abtsissi ja ordinaadi suhet tan a väärtus puudub kui cot a väärtus puudub kui 5.4 Nurga trigonomeetrilised funktsioonid nurga sin, cos, tan, cot 5.5 Mõningate nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused 5.6 Taandamisvalemid Kui teise veerandi nurk kirjutada kujul 180-a, kolmanda kujul 180+a ja neljanda 360-a, kus a on teravnurk, siis mingi trigonomeetrilise funktsiooni väärtus ühest neist nurkadest on võrdne sama trigonomeetrilise funktsiooni väärtusega nurgas
(ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx (arcsin (arccos (tan (log e ) xe = =nx (arctan = 1 -ln2 xxcos x1a -x xx 1+ x 2 Arcusfunktsioon Eksponentfunktsioon Trigonomeetrilised funktsioonid Logaritmfunktsioon Liitfunktsioon Eksponentfunktsioon Astmefunktsioon
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 1 - tan 2 1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n cot x = m, x= , nZ Võrrandeid: sin x = 1, sin x = - 1, sin x = 0;
Põhiseosed : Funktsioonid: sin + cos = 1 2 2 sin sin(180° - )=sin tan = cos(180° - )=-cos cos tan · cot = 1 tan(180° - )=-tan cot(180° - )=-cot 1 1 + tan 2 = cos 2 sin(180° + )=-sin Liitmisvalemid : cos(180° + )=-cos sin( ± ) = sin cos ± cos sin tan(180° + )=tan cos( ± ) = cos cos sin sin cot(180° + )=cot tan ± tan sin( ± ) tan( ± ) = = 1 tan · tan cos( ± ) sin(360° - )=-sin Kahekordse _ nurga _ ja _ poo ln urga _ valemid : cos(360° - )=cos
+ + - - Sin = Cos = - + - + Tan = - + + - Cot = - + + - 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Sin 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tan 0 1 3 - 0 - 0 Cot - 3 1 0 - 0 - 1. Täispöörete eraldamine Sin(+n360°) = sin Cos(+n360°) = cos tan(+n360°) = tan cot(+n360°) = cot 2. Taandamisvalemid II veerandi nurgale Sin(180°-) = sin cos(180°-) = -cos tan(180°-) = -tan 3. Taandamisvalemid III veerandi nurgale Sin(180°+) = -sin cos(180°+) = -cos tan(180°+) = tan 4. Taandamisvalemid IV veerandi nurgale Sin(360°-) = -sin cos(360°-) = cos tan(360°-) = -tan 5. Negatiivse nurga taandamine Sin(-) = -sin Cos(-) = cos Tan(-) = -tan
Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z cosx = m = x = ±arccosm + 2n ; n Z tanx = m = x = arctanm + n ; n Z SIN, COS, TAN joonised ! SIN x I - I -3/4 I -/2 I /4 I -/6 I 0 I sin x I 0 I -0,7 I -1 I -0,7 I -0,5 I 0 I x I /6 I /3 I /2 I 5/6 I 2/3 I I sinx I 0,5 I 0,9 I 1 I 0,5 I 0,9 I 0 I COS x I
Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid Sin(α+β)=sinα x cosβ+cosα x sinβ Sin(α-β)=sinα x cosβ-cosα x sinβ Cos(α+β)=cosα x cosβ-sinα x sinβ Cos(α-β)=cosα x cosβ+sinα x sinβ tanα+tanβ Tan(α+β)= 1−tanα x tanβ tanα−tanβ Tan(α-β)= 1+tanα x tanβ Kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid Sin2α=2 x sinα x cosα 2 2 Cos2α= cos α−sin α 2 x tanα Tan2α= 1−tan2 α Poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid α 1−cos ∝ ∝ sin 2 = /x 2⇛ 2sin 2 =1−cos ∝ 2 2 2 ∝ 1+cos ∝ ∝ cos 2 = /❑ x 2 ⇛ 2 cos 2 =1+ cosα 2 2 2 ∝ 1−cos ∝ tan 2 = 2 1+cos ∝ ∝ sin ∝
Ühe muutuja funtsiooni diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhivalemid Funktsioon Diferentseerimisvalem Põhiintegraal Konstant a '=0 adx =axC n-1 n1 Astmefunktsioon x ' ' ' =nx x x ' ' dx = n1 C 1 2 x '= 2 x xdx = 3 x 3C x x x Eksponentfunktsioon a ' =a ln a a x dx= lna a C e x dx=e x C x x
Taandamisvalemid Taandamisvalemid on valemid, mille abil saab mistahes nurga siinuse, koosinuse ja tangensi väärtuse leidmise taandada teravnurga juhule või siis negatiivse nurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmise taandada positiivse nurga juhule. 1. Taandamisvalemid II veerandi nurkade korral. Iga II veerandi nurga , kui 90° < < 180°, saab esitada kujul = 180° - , kus on positiivne teravnurk. Näiteks = 110° = 180° - 70°. y II veerandi nurkade korral kehtivad valemid: sin(180° - ) = sin cos(180° - ) = - cos x tan(180° - ) = - tan Näide 1. Kasutades II veerandi nurkade taandamisvalemeid, saame sin 155° = sin(180° - 25°) = sin 25°, cos155° = cos(180° - 25°) = - cos 25°,
PÕHISEOSED tan cot = 1 sin 2 + cos 2 = 1 + y + - y + - y + sin 1 tan = 1 + tan 2 = cos cos 2 x x x cot = cos 1 + cot 2 = 1 - - - + + - sin sin 2 +sin +cos
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Trigonomeetria Teravnurga puhul on sin vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe, tan vastaskaateti ja lähiskaateti suhe ning cos lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Nurga veerand võetakse lõpphaara asukoha järgi ning on vastupäeva positiivne, päripäeva negatiivne. Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinu
puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x
Trigonomeetrilised võrrandid Kordamine (lai matemaatika) 1. Trigonomeetrilised põhivõrrandid Näide: sin x = 0,3342 arcsin 0,3342 = 19,5 0 Vastus : x = ( - 1) 19,5 0 + n 180 0 , n Z n Näide: Lahenda võrrand lõigul - 90 ;90 0 0 [ ] 2 cos 3 x + 2 = 0 3x = ±135 0 + n 360 0 , n Z : 3 n = 1 x = ±45 0 + 1 120 0
Trigonomeetria põhiseosed Lihtsustamiseks kasutatakse 1. Trigonomeetria põhiseoseid: sin 2 + cos 2 = 1 1 - cos 2 = sin 2 sin 1 - sin 2 = cos 2 = tan cos cos tan = sin 1 1 + tan 2 = tan cot = 1 cos 2 1 cos tan = = cot cot sin 2. Ühise teguri sulgude ette toomist 3. Ühise nimetaja leidmist 4. Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Näited: 1. (1 - sin )(1 + tan ) - cos = cos
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
