peapingega 7.29. Kuidas põhimõtteliselt ruumpingust analüüsitakse? Ruumpingust analüüsitakse kolme tasandpinguse kombinatsioonina, kus suurimad nihkepinged (ehk peanihkepinged) 1 ; 2 ja 3 mõjuvad pindadel, mis on vastavate peapindade suhtes 45° kaldu. 8. LIITKOORMATUD DETAILIDE TUGEVUS 8.1. Mis on vildakpaine? sama ristlõike mõlema peatelje suhtes mõjub paindemoment 8.2. Milline pinguse liik (joon-, tasand- või ruumpingus) on vildakpainde korral materjali sisepunktides? ruumiline paindeülesanne, mis taandatakse tasapinnalisteks paindeülesanneteks peatasandites 8.3. Määratlege vildakpainde tugevustingimus! 8.4. Kus paiknevad vildakpaindes nelikantristlõike ohtlikud punktid? on ekstreemsed pingeväärtused alati ristlõike nurkades (mis asuvad pinnakeset läbivast null-joonest alati kõige kaugemal). 8.5. Kus paiknevad vildakpaindes ümar-ristlõike ohtlikud punktid? on ekstreemsed pinge väärtused ristlõike serval 8.6
suurimad nihkepinged (ehk peanihkepinged) 1 ; 2 ja 3 mõjuvad pindadel, mis on vastavate peapindade suhtes 45° kaldu. 8. LIITKOORMATUD DETAILIDE TUGEVUS 8.1. Mis on vildakpaine? sama ristlõike mõlema peatelje suhtes mõjub paindemoment 8.2. Milline pinguse liik (joon-, tasand- või ruumpingus) on vildakpainde korral materjali sisepunktides? ruumiline paindeülesanne, mis taandatakse tasapinnalisteks paindeülesanneteks peatasandites 8.3. Määratlege vildakpainde tugevustingimus! 8.4. Kus paiknevad vildakpaindes nelikantristlõike ohtlikud punktid? on ekstreemsed pingeväärtused alati ristlõike nurkades (mis asuvad pinnakeset läbivast null-joonest alati kõige kaugemal). 8.5. Kus paiknevad vildakpaindes ümar-ristlõike ohtlikud punktid? on ekstreemsed pinge väärtused ristlõike serval 8.6
Hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0)
1. Mis on vildakpaine? 6.40. Miks on terasest I-tala paindetugevus 8.2. Milline pinguse liik (joon-, tasand- või suurem, kui samast materjalist sama ruumpingus) on vildakpainde korral massiga ümartala paindetugevus? materjali sisepunktides? 6.41. Miks on puitprussi paindetugevus 8.3. Määratlege vildakpainde tugevustingimus! "serviti" suurem, kui "lapiti"? 8.4. Kus paiknevad vildakpaindes nelikant- 6.42. Kui mitu korda on 5x20 cm ristlõikega ristlõike ohtlikud punktid?
Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x0 + x , siis ka funktsioon muutub y (funktsiooni muudu) võrra ja saab väärtuse y0 + y = f ( x0 + x ) . Funktsiooni muut y = f ( x0 + x ) - f ( x0 ) . Funkst-i y=f(x) nim pidevaks paremalt punktis a, kui lim (x0+)y=0 ja pidevaks vasakult lim (x0-)y=0 Funktsiooni nim pidevaks hulgal X-R, kui ta on pidev hulga X igas punktis (elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides) Hulga X - R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse supX. Hulga X - R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse infX. Pidevuse aksioom: igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine rada ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine rada. Funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nimetatakse funktsiooni ekstremaalseteks väärtusteks sellel hulgal. (Lõigul
K1 = = = bh M h 12 3(2 R - h ) y - 3 (suurim absoluutväärtus I max 2 bh ümarristlõike "sisepunktides") 6 FR F Kõvera varda tugevustingimus: = 2 K1 + [ ] (tõmme või surve ristkülikristlõike "sisepunktides") max
siis C1 f1(x) + C2 f2(x) C(x0) * Suuruse f1(x)/ f2(x) jaoks saame esituse: = = + , kusjuures suurus = , kui lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike suurus piirprotessis x->x0. 21*(Hulgal pidevad funktsioonid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X c R, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tähistatakse f(x) C(x). *Elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. * = = = = = ln = =k 22*(Tõestada Weierstrassi teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest)Lõigul pidev funktsioon f(x) on tõkestatud sellel lõigul st. selle funktsiooni väärtuste hulk sellel lõigul Y={f(x) } on tõkestatud. Tõestus: Olgu f(x) . Eeldame väitevastaselt, et funktsioon f(x) on
x0 4. Elementaarf-n on pidev oma määramispiirkonna f (x ) sisepunktides. Esimest liiki katkevuspunkt: punkt , kui eksisteerivad k = lim ühepoolsed lõplikud piirväärtused x →± ∞ x , seejärel (kui k eksisteerib, siis)
Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] ⊆ R, kui ta on pidev vahemiku (a, b) igas Reaalarvu a parempoolseks umbruseks nimetatakse suvalist poolloiku [a, a + ε), kus ε > 0. punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja vasakult pidev loigu otspunktis b. Tahistatakse f(x) ∈ Arv x kuulub arvu a parempoolsesse umbrusesse [a, a + ε) parajasti siis, kui selle arvu kaugus C[a, b]. Elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. arveljel on arvust a vaiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x > a. Hulga ∅ =/= X ⊂ R vahimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ulemiseks rajaks ja tahistatakse Suuruse lopmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus M > 0. supX. Hulga ∅ =/= X ⊂ R suurimat alumist toket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja Suuruse miinus lopmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M), kus M > 0
Kuidas neid leida? Funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas. Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Kui piirkonnas A pideval funktsioonil f on üksainus lokaalne ekstreemum, siis on see ka funktsiooni globaalne ekstreemum selles piirkonnas. Leidmine: 1) leida funktsiooni f kriitilised punktid lõigu X sisepunktides; 2) arvutada funktsiooni f väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otspunktides; 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim, mis ongi globaalsed ekstreemumid sellel lõigul. 25. Kirjeldada kasumi maksimeerimise kuldreeglit. Tootjale optimaalne toodete väljalaske hulk vastab marginaalkulu ja marginaaltulu võrdsusele. MR(Q)=MC(Q). Täieliku konkurentsi tingimustes: Tootjale optimaalse toodete väljalaske korral ühtib marginaalkulu turul oleva hinnaga p, MC(Q)=p. 26
Vähimat positiivset arvu T, mille korral f(x + T) = f(x) x X, nim. funktsiooni pidev vahemiku (a, b) igas punktis, paremalt pidev lõigu otspunktis a ja vasakult pidev lõigu f(x) perioodiks. otspunktis b. Tähistatakse f (x) C[a, b]. Funk-ni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, Lause. Elementaar funk-n on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. mis rahuldavad võrratust x1< x2 kehtib võrratus f(x1) > f(x2). Lause (Weierstraß'i teoreem lõigus pideva funktsiooni tõkestatusest): Lõigul [a, b] pidev f-n f(x) Funktsi-ni f nim. kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X on tõkestatud sellel lõigul st selle fun-ni väärtuste hulk sellel lõigul Y = {f(x)| x [a, b]} on korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f(x1) > f(x2)
x → Xo R, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tähistatakse f(x) ∈ C(x). lim ∆ y =0 *Elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides. f(xo))=0 ∆ x→ 0 ) 1 ln(1+kx )
ümbruses. 2)lokaalne miinimum kui märk muutub -+ Punktide Xx,kus f´(xo)=0 nim fn-i f(x) statsionaarseks punktiks.Fn-i statsionaarseid punkte ja neid punkte,kus tuletis on lõpmatu( f´(xo)=+-) või ei eksisteeri(f´(xo)) nim fn-i f(x) kriitilisteks punktideks Kui pk x pideval fn-il on üksainus lokaalne ekstreemum siis on see ka fn-i f globaalne ekstreemum selles pk-s.Lõigus x pideva fn-i f globaalsete ekstreemumite leidmine:1)leida fni kriitilised punktid lõigu x=(a,b) sisepunktides 2)arvutada fni f väärtused kriitilistes punktides ja lõigu x=(a,b) otspunktides a ja b 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim,mis ongi vastavalt fni f suurim(glob max) ja vähim(glob min) väärtuses selles lõigus xTaylori ritta arendamisel arendame antud fni f(x) suvalise punkti x=xo(ümbruses),st kõigepealt teisendatakse antud fn polünoomi kujule,kus kordajateks on antud fni tuletised kohal X0,st tuletiste väärtused andtud punktis:f´(xo),f´´(xo)...kaudu
rangelt kasvavaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) , kasvavaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) , rangelt kahanevaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) , kahanevaks, kui suvaliste x1, x2 ∈ D korral x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) . Tõestada lause 7.1 diferentseeruva funktsiooni monotoonsusepiirkondade leidmisest: Olgu f : D → R pidev funktsioon, mis intervalli D kõigis sisepunktides x ∈ Do on diferentseeruv. (a) Kui f′ (x) = 0 iga x ∈ Do korral, siis f on hulgas D konstantne funktsioon. (b) Kui f′ (x) > 0 (f′ (x) ≥ 0) iga x ∈ Do korral, siis f on hulgas D rangelt kasvav (kasvav) funktsioon. (c) Kui f′ (x) < 0 (f′ (x) ≤ 0) iga x ∈ Do korral, siis f on hulgas D rangelt kahanev (kahanev) funktsioon. Olgu y ja z suvalised punktid intervallis D. Eeldame, et y ≠ z, konkreetsuse mõttes olgu y < z
X igas punktis. ¨ Tahistatakse f (x) C(X ). Definitsioon ~ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] R, kui ta on pidev ~ vahemiku (a, b) igas punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja ~ vasakult pidev loigu otspunktis b. ¨ Tahistatakse f (x) C[a, b]. Lause Elementaarfunktsioon on pidev oma ma¨ aramispiirkonna ¨ sisepunktides. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 19 / 1 Funktsiooni pidevus Pidevus hulgal Definitsioon Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X , kui ta on pidev hulga X igas punktis. ¨ Tahistatakse f (x) C(X ). Definitsioon ~ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] R, kui ta on pidev
¨ Definitsioon 7. Oeldakse, et funktsioon f (x) on pidev hulgal X R, kui f (x) on pidev hulga X igas punktis. Fakti, et funktsioon f (x) on pidev hulgal X, t¨ahistatakse uhidalt f (x) C(X). l¨ Lause 5. Kui funktsioon g(x) on pidev punktis a ja funktsioon f (u) on pidev punktis g(a), siis liitfunktsioon f [g(x)] on pidev punktis a. T~oestage! Peab paika j¨ argmine v¨ aide. Lause 6. Elementaarfunktsioon on pidev m¨a¨aramispiirkonna sisepunktides. N¨ aide 7. Leiame piirv¨ a¨ artuse k=0 ln (1 + kx) 0 1/x y = kx x = y/k lim = lim ln (1 + kx) = = x0 x 0 x0 x0y0 k kasutame Lauset 6 logaritm-
b−a s.t. kehtib (4.9). Tingimus (4.9) esitatakse tihti kujul f (a + h) − f (a) = f ′ (a + θh) h mingi θ ∈ (0, 1) korral. Lagrange’i keskväärtusteoreem võimaldab meil lihtsalt rakendada funktsiooni tuletist sel- le funktsiooni monotoonsusomaduste kirjeldamisel. Lause 4.12 Olgu f : D → R pidev funktsioon, mis intervalli D kõigis sisepunktides x ∈ D o on diferentseeruv. (a) Kui f ′ (x) = 0 iga x ∈ D o korral, siis f on konstantne funktsioon. (b) Kui f ′ (x) > 0 (f ′ (x) > 0) iga x ∈ D o korral, siis f on rangelt kasvav (kasvav) funktsioon. (c) Kui f ′ (x) < 0 (f ′ (x) 6 0) iga x ∈ D o korral, siis f on rangelt kahanev (kahanev) funktsioon. Tõestus. Olgu y ja z suvalised punktid intervallis D, eeldame, et y < z. Eelduse ko-
annaabi.ee 
