Kontrollime nüüd lahendeid graafiliselt ja vaatame, kas sel võrrandil võib olla veel lahendeid. Joonestame funktsioonide y =(x+2)x2-x, y =1 graafikud ja leiame nende lõikepunktid, mis ongi võrrandi (x+2)x2-x=1 lahenditeks. Siit graafikult näeme, et tegelikult pole funktsioon y =(x+2)x2-x määratud reaalarvude hulgal kui x<-2, sest siis ei saa kõikide reaalarvuliste x väärtuste korral funktsioonile väärtusi leida. Samuti näeme, et võrrandil on just nimelt need neli lahendit, mis me juba eespool leidsime. Vastus: x1=0 x2=1 x3=-1 x4=-3
Ülesandes antud funktsiooni määramispiirkond on mõlema liidetava määramispiirkonna ühisosa: X = [ -5; 0 ) U ( 0;1] . 5 Ülesanne 5. Leida funktsiooni y = - 7 cos x määramispiirkond. 3 2 x - x2 Lahendus. Funktsioon 7 cos x on määratud kõigi x reaalarvuliste väärtuste korral, aga 5 funktsioon 3 nende x väärtuste korral, mille puhul 2 x - x 2 0 ehk 2x - x 2 x ( 2 - x ) 0 ehk x 0, x 2 . Seega määramispiirkond X = ( - ; 0 ) U ( 0; 2 ) U ( 2; ). 1 Ülesanne 6. Leida funktsiooni y = log 3 ( - x ) + määramispiirkond. x-7 Lahendus.
Liitfunktsiooni moodustamise operatsiooni võib teostada mitte 29 üks, vaid mistahes arv kordi. Liitfunktsiooni määramispiirkond Liitfunktsiooni y = f [g(x)] määramispiirkonnaks on kas funktsiooni u= g(x) kogu määramispiirkond või selle niisugune osa, millega määratud u väärtused ei välju funktsiooni f(u) määramispiirkonnast. Näide. f = 1 - x 2 f = u, u = 1- x2 Funktsioon u = 1 - x2 on määratud kõigi reaalarvuliste x väärtuste korral. u on määratud siis, kui u 0 ehk 1 - x2 0. x 2 - 1 0, millest x [-1; 1]. Seega funktsiooni f määramispiirkonnaks on lõik [-1; 1]. 30
Otsime ühte erilahendit kujul y = e x , siis saame (a 0 2 + a1 + a 2 ) e x = 0 . Seejuures karakteristlikul võrrandil a 0 + a1 + a 2 = 0 on üldjuhul kaks erinevat 2 lahendit - a1 + a12 - 4a 0 a 2 - a1 - a12 - 4a 0 a 2 1 = , 2 = . 2a 0 2a 0 Reaalarvuliste 1 ja 2 korral on KKLD erilahenditeks y1 = e 1 x ja y 2 = e 2 x . Kui a1 < 4a 0 a 2 , tekivad kaaskomplekssed karakteristlikud väärtused 2 1 = + i ja 2 = - i , 5 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken millele vastavad KKLD erilahendid ~ y1 = ex e i x ja ~
Hulka nimetatakse funktsiooni lähtehulgaks ehk määramispiirkonnaks ja hulka nimetatakse funktsiooni sihthulgaks. Elementi nimetatakse väärtuseks ehk elemendi kujutiseks, elementi nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk elemendi originaaliks. Funktsiooni asemel räägitakse abstraktsemate hulkade korral ka operaatorist või kujutusest. Kujutust : nimetatakse hulga teisenduseks. Funktsiooni mõiste hulgateoreetiline käsitlus samastab funktsiooni tema graafikuga, nagu me oleme seda reaalarvuliste funktsioonide korral harjunud mõistma, kus funktsiooni graafik on tasandi punktide ehk reaalarvupaaride hulk: ={(,) | =()}={(,()) | }×. Funktsiooni määramispiirkond matemaatilises analüüsis vastabki hulgale meie definitsioonis. Muutumispiirkond ehk funktsiooni väärtuste piirkond () on aga sihthulga mingi osahulk. Elemendi kujutis ja hulga kujutis Olgu antud funktsioon . Kui , ja =(), siis elementi nimetatakse elemendi kujutiseks (funktsiooniga ).
Mudeli valiku määrab eeskätt kasutuseesmärk, aga ka võimalus mudeli parameetreid piisava täpsusega määrata. 1.3, Muutujad ja parameetrid Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis)
suurima ja vähima väärtuse summa. B-7 Leia võrrandi (5 2 x - 61 - 125 ) log ( 19 - 7 x - x 2 ) = 0 kõigi lahendite korrutis. B-8 Paarisfunktsiooni y = f ( x ) ja paaritu funktsiooni y = g ( x ) . Kõigi reaalarvuliste argumendi väärtuste korral kehtib seos f ( x ) + g ( x ) = 2 x 2 - 7 x - 5 . Leia võrrandi lahend või lahendite summa, kui f ( x) = g ( x) . B-9 Peale kärbsetõrjet turismibaasis vähenes kärbeste arv 40% võrra, sääskede arv 20% võrra. Kokku vähenes kahjurite arv 25% võrra. Leia millise protsendi moodustasid algselt sääsed kahjurite koguarvust? B-10 Püramiidi põhitahuks on võrdhaarne kolmnurk haaradega 2 ja alusega 2,4. Püramiidi külgservad
mudeli muutujatest. Elementide ning süsteemi parameetrite vahelised seosed on igal süsteemil eripärased. Matemaatilise mudeli muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt (vähemalt põhimõtteliselt) mõõdetavad. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsioonilise protsessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele või varasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest, kuid mitte tulevaste ajamomentide hetkväärtustest. Süsteemi (või selle elementide) parameetrid on süsteemi või tema elementide iseloomustus-suurused, mis esinevad enamasti dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavais võrrandeis (matemaatilises mudelis)
Ülekandefunktsioon on lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. See määratakse väljund-ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Diskreetaja süsteemides kasutatakse z-teisendust. 7.2 Diskreetne ülekandefunktsioon. Vaata eelmist punkti. 7.2 Ülekandefunktsiooni realiseeritavus. ajamomentide t hulk T={ti} on lineaarselt järjestatud reaalarvude hulk (R). kõik süsteemimuutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. mistahes muutuja hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate samadele võivarasematele ajamomentidele vastavatest hetkväärtustest.7.3 Siirdeprotsessid ja nende arvutamine. Vaata punkti 3.4 7.4 Impulss ja hüppekaja Kui rakendada z-teisendust diskreetaja süsteemi olekuvõrranditele, saame nullistel algtingimustel kujutisvõrrandid X[k+1]=X[k]
Muutujad ja parameetrid: Muutujad - süsteemi iseloomustavad suurused, ajast sõltuvad (sest enamik süsteeme on pidevalt muutuvas seisundis), nt sisend, väljund, olek, häiringud (mürad), üldiselt mõõdetavad. Kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse. Orienteeritud süsteemis, kus on põhiliselt tegemist informatsiooniliste protessidega, nimetatakse muutujaid ka signaalideks. Kõik süsteemi muutujad on esitatavad reaalarvuliste hetkväärtustega aja funktsioonidena. Hetkväärtused võivad sõltuda teiste muutujate (sama või varjasema ajamomendi) hetkväätustest. Parameetrid- süsteemi või tema elementide iseloomustavad suurused, mis esinevad dimensiooniga kordajatena süsteemi või mõnda elementi iseloomustavas võrrandis (nt. matemaatilises mudelis). Parameetrid võivad olla konstantsed, sõltuda ajast või mudeli muutujatest. Parameetri muutumisel
deks (j) osutab veergu (veeruindeks), kus element aij asetseb. Ar- vupaari k × n := (k, n) nimetatakse maatriksi A j¨ arguks. Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul- ka t¨ahistame edaspidi Matk × n := Matk × n (R). 1.2 Aritmeetilised vektorid ¨ Uherealisi ja u ¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti- listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse tavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1 × n ja Matk × 1 . Maatriksi ridadest moodustatud u ¨herealisi maatrikseid nime-
Kui M ja N on astme monotoonsed funktsioonid, siis saame asendusega y =ux : M(x,y)dx + N(x,y)dy = M(x,ux)dx + N(x,ux) (xdu + udx) = x((M(1,u) + uN(1,u))dx + xN(1,u)du) = x+1(M(1,u) + uN(1,u))((dx/x) + (N(1,u)/(M(1,u) + uN(1,u))du) Kui funktsioonid x = x(u,v) ja y = y(u,v) on diferentseeruvad punktis P(u,v) ning funktsioon z = z(x,y) on diferentseeruv punktis Homogeenseks taanduv DV : Reaalarvuliste kordajatega ak, bk, ck, kus c12 + c22 <> 0 ja a1/a2 <> b1/b2, võrrand dy f((a1x + b1y + (x(P),y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P),y(P)) = z(u,v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu, zv = zxxv + zyyv. c1)/(a2x + b2y + c2))dx = 0 on võimalik taandada homogeenseks võrrandiks asendustega x = u + , y = v + . Tõestus: Me peame leidma tuletise du(t)/dt = = lim 0 ((+ )-()) / . Kuna vastavalt eeldusele u = f(x) on
· Tuletis ja integraal. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal. Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus. Integraal määramata integraaliks nimetatakse funktsiooni algfunktsiooni leidmist ehk tuletise pöördfunktsiooni. Määratud integraal on arvuliselt võrdne
tingimuse abil. · Sellistel juhtudel kasutame kirjeldusviisi A = {x : p(x)} või A = {x | p(x)}, kus p(x) tähistab tingimust või tingimuste loetelu, mida vaadeldavasse hulka kuuluvad elemendid x peavad rahuldama. o Näiteks, kui uurime võrrandi reaalarvulisi lahendeid, siis: · A={x (x-1)( x+2)(x +3)=0 } on kõigi selliste reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrrandit ( x-1)(x+2)(x +3)=0 ehk A on selle võrrandi reaalarvuliste lahendite hulk. Me oleks võinud ka kirjutada, et A = {1, -2, -3} Tähtsamad arvuhulgad · Naturaalarvude hulk = {1, 2, 3, . . . }; · Täisarvude hulk = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }; · Ratsionaalarvude hulk = {qq=m n , m Z , n N } ; · Reaalarvude hulk ; · Irratsionaalarvude hulk ; · Kompleksarvude hulk = {zz=x +iy , x , y R , i2=-1 } . Olgu a ja b reaalarvud, kus a b. · Lõik [a ,b ]={ x Ra x b } ; · Vahemik (a , b)={ x Ra< x
Kui nimetatakse seda n-järku ruutmatriksiks. Definitsioon. 1) Öeldakse, et maatriksid A ja B on võrdsed, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t. 2) Maatriksite A ja B summaks nimetatakse sellist maatriksit C; mille elemendid on võrdsed maatriksite A ja Bvastavate elementide summaga, s.t. 3) Maatriksi A korrutiseks arvuga nimetatakse sellist maatriksit B; mille elemendid on maatriksi A elementide -kordsed, s.t. Kõikide reaalarvuliste elementidega ( )-maatriksite hulka tähistame : Muidugi, siia hulka kuulub ka nullmaatriks Definitsioon. Maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatakse sellist maatriksit , mis on saadud maatriksist ridade ja veergude ümbervahetamise teel (maatriksi esimene rida on maatriksi esimeseks veeruks, maatriksi teine rida on maatriksi teiseks veeruks jne) , s.t. Näide. 1 5 1 7
f (x) g (x) − f (a) g (a) = (f (x) − f (a)) g (x) + f (a) (g (x) − g (a)), siis Kuna kohal a diferentseeruv funktsioon g on lause 5.1 põhjal selles punktis pidev, s.t. , siis piirväärtuse tehetega seotud omaduste kohaselt (vt. lause 3.7) Lause on tõestatud Tuua näiteid nende valemite rakendamise kohta. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal. Funktsiooni uurimine L'Hospitali reegel Taylori valem 24. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (*) Tõestada lause 5.6 liitfunktsiooni diferentseerimisest: Olgu funktsioon f : D → R kohal a ∈ D diferentseeruv. Kui f (x) ∈ E iga x ∈ D korral ja funktsioon h: E → R on punktis b := f (a) diferentseeruv, siis ka liitfunktsioon
aga väärtuste hulgaks (range, область значений). Punktide hulka Grf := {(x, f (x)) | x ∈ D} xy-tasandil nimetatakse funktsiooni f graafikuks. See, mis puudutab funktsioonide esitus- viise, nende liike, graafikuid jne., on lugejale tuttav eelnevatest matemaatilise analüüsi kur- sustest. 2.1 Koonduvad jadad 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused Arvjadaks (sequence, последовательность) nimetatakse reaalarvuliste väärtustega funkt- siooni x, mille määramispiirkond on kõigi naturaalarvude hulk N. Selline funktsioon x : N → R seab igale naturaalarvule n vastavusse reaalarvu x (n), mis tavaliselt kirjutatakse kujul xn . Neid funktsiooni väärtusi xn nimetatakse arvjada x liikmeteks, naturaalarve n ∈ N aga indeksiteks. Arvjada x ennast tähistame sümboliga (xn ), vajaduse korral märgime juurde indeksite määramispiirkonna, näiteks (xn )n∈N või (xn )∞ n=1
faktoriaal ehk esimese arvu korrutis [lk 382]. Sõnaliselt Vahel on kõige lihtsam funktsioone esitada hoopis verbaalselt. Näiteks võiksime võtta funktsiooni, mis seab iga kolmnurgaga vastavusse tema pindala, või funkt- siooni, mis seab iga inimesega vastavusse tema pikkuse. Graafiliselt Tihti on kasulik funktsioone esitada graafiliselt. Eelkõige on see seotud reaalarvu- liste funktsioonidega, mille määramis- ning muutumispiirkond on reaalarvud. Sageli võib reaalarvuliste funktsioonide uurimise taandadagi graafiku uurimisele. Ja kuigi malli ja joonlauaga täpseid vastuseid ei saa, siis geomeetrilistest argumen- tidest ja intuitsioonist on võimalik päris palju kasu lõigata. Selles raamatus näeme, kuidas geomeetriliselt on võimalik leida ruutvõrrandi lahendivalem [lk 275] või meelde jätta trigonomeetrilisi teisendusi [lk 242] või hoo- pis lahendada lineaarvõrrandisüsteeme [lk 187]. Ka sellistel keerulistel operatsioo-
annaabi.ee 
