tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (täpsemini: esimest järku kriitilisteks punktideks). Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni lokaalsete eksteemumite piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Joone kumerus ja nõgusus
Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarvilik tingimus kui funktsioon f omab punktis x1 lokaalset ekstreemumit siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni kriitiline punkt Funktsiooni argumendi väärtused, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles puntkis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (II) Olgu funktsiooni f kriitiline punkt selline, et 1. Kui siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum 2. Kui siis on funksioonil punktis lokaalne miinimum 8. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum siis x1 on selle funktsiooni kriitiline punkt. Vastupidine vaide kehti. Funktsioonil voib olla selliseid kriitilisi punkte kus ekstreemumeid ei ole. 3. Sõnastada ekstreemumi olemasolu piisav tingimus. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. Kui labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muu- tub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II Olgu f (x ) = 0. Kui f (x ) < 0 siis on funktsioonil f punktis x lokaalne maksimum. Kui aga f (x ) > 0 siis on funktsioonil f punktis x lokaalne miinimum. 4
Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus: Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum, siis on selle funktsiooni kriitiline punkt. Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused: Olgu funktsiooni kriitiline punkt. 1. Kui läbides punkti vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbides punkti vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni kriitiline punkt selline, et = 0. 1. Kui < 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum. 2. Kui > 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne miinimum. 24) Nõgusa ja kumera joone definitsioonid
6 Värv- tugeva vastastikmõju laeng Kvargid on kolmekaupa koos, sest neil on lisaks elektrilaengule veel üks täiendav laeng, milles seisnebki nende tugev vastastikmõju. Tugevat laengut nimetataksegi värvilaenguks, sest nii nagu värvuste hulgas on kolm võrdväärset põhivärvust, nii on kvarkide jaoks võimalikud kolm erinevat tugevat laengut. Niisiis, värvilaengute tähistamiseks ei aita ainult kahest märgist- plussist ja miinusest, vaid vajame kolme märki. Võime nimetada neid nii: P- punane, K-kollane ja S-sinine. Nii katsed kui ka vastav teooria kinnitavad, et igas iseseisvas elementaarosakeses peab olema korraga kõik kolm erinevat värvi. Reegel on , et kõik elementaarosakesed on valged. Ka värviteleri ekraan on valge ainult siis, kui kõik värvitäpid helendavad võrdselt. Kuna üks kvark kannab korraga ainult üht värvi, siis peabki elementaarosakeses olema kolm kvarki
(põhjendusi ei küsi). Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f’(x1) = 0. Kui f’’(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum.
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x 1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 27
Kuidas selekteeritakse statsionaarsete punktide hulgas välja punktid, kus esinevad lokaalsed ekstreemumid? Fermat’ teoreemi põhjal on diferentseeruva funktsiooni lokaalses ekstreemumis selle funktsiooni tuletis võrdne nulliga, st tegemist on statsionaarse punktiga. Lokaalsete ekstreemumite väljaselekteerimiseks tuleks jälgida tuletise märki statsionaarsest punktist vasakul ja paremal. Kui statsionaarse punkti läbimisel muutub tuletise märk plussist miinuseks, siis esineb vaadeldavas punktis lokaalne maksimum. Kui aga statsionaarse punkti läbimisel muutub tuletise märk miinusest plussiks, siis esineb vaadeldavas punktis lokaalne miinimum. Kui tuletis statsionaarse punkti läbimisel märki ei muuda, siis vaadeldavas punktis lokaalset ekstreemumit ei ole. 10. Kuidas leitakse funktsiooni suurim ja vähim väärtus lõigul? Funktsiooni f suurima (vähima) väärtuse leidmiseks lõigul [a, b] tuleb
Tingimus, et x on kriitiline punkt, on vaid tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Sellest tingimusest ei piisa lokaalse ekstreemumi jaoks. Lokaalsed ekstreemumid on punktid, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastupidi. c. Funktsiooni lokaalsete ektreemumite piisavad tingimused c.1. Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbides punkti xvasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui aga läbides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussisks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. c.2. Olgu funktsiooni f kriitiline kunkt x selline, et . Kui , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne maksimum.
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb
puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (t¨apsemini: esimest j¨arku kriitilisteks punktideks). Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus . Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. II - Olgu funkt- siooni f kriitiline punkt x1 selline, et f0(x1) = 0. Kui f00(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f00(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused. 31
Tõestus: 16. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil y = f(x) on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus 1. Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 17. Joone kumerus, nõgusus ja käänupunktid (tarvilik tingimus, piisav tingimus). Kumerus. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) kumer ehk kumer üles (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut.
lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. c. Tarviliku tingimuse põhjendus: Funktsioonil võib olla sellised kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. d. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I d.i. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt d.i.1. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. d.i.2. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum e. Lokaalse ekstsreemumi piisav tingimus II e.i. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f`(x1)=0
nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis lokaalne ekstreemum, siis on selle funktsiooni kriitiline punkt. Kuigi igas kriitilises punktis ei pruugi ekstreemumit olla. Teoreem Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles puntkis lokaalne miinimum. Teoreem Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (II) Olgu funktsiooni f kriitiline punkt selline, et 1. Kui siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum 2. Kui siis on funksioonil punktis lokaalne miinimum 31.
Mis toimib energiat koguva elemendina . Pinge regulaatoridel vajadus selle elemendi järele puudub juhul kui koormuseks on alalisvoolumootor sest mootori induktiiv DD1 väljundis 0, kuna DD1 mõlemad sisendid on asendis 1. Sisendimpulsi toimel läheb DD1 väljund takistus on piisavalt suur kui juht ahela poolt element suletakse siis kulgeb vool toite plussist läbi asendisse 1, kondensaator C hakkab väljundpinge tõusu tõttu laaduma, ning laadimis vool põhjustab koormus ahela kusjuures induktiivsuse emj püüab takistada voolu tkekimist ning toimub energia takisti R pingelangu, mis viib DD2 sisendi asendisse 1, väljundi aga asendi 0. Kuna DD1 alumine salvestamine koormuse induktiivsusse kui juhtahela poolt lüliti avatakse muudab induktiivsuse emj oma
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x 1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Vaata lk 90 joonist 4.2! Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum.
juhul, kui x1-s on Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles 25.Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = punktis lokaalne maksimum. f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil f(c) = 0
Võimalike kriitiliste punktide hulk on suurem kui võimalike ektreemumite hulk. Tingimus, et x on kriitiline punkt, on vaid tarvilik lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Sellest tingimusest ei piisa lokaalse ekstreemumi jaoks. Lokaalsed ekstreemumid on punktid, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastupidi. Funktsiooni lokaalsete ektreemumite piisavad tingimused 1.Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbides punkti xvasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui aga läbides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussisks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 2.Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x selline, et f ' (x )=0 . Kui f ' ' ( x )< 0 , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne maksimum. Kui f '' ( x )>0 , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused 31
väljundtrafota vastastakt lülitused. Millistest omakorda levinum on kondensaator väljundiga lülitus. Joonis 11 transistori on ühendatud toiteallika suhtes järjestiku ja see võimaldab tööpunkti fikseerimiseks pingejagurit R1-R4 selle takistid valitakse nii, et transistoride baasid oleksid emitterist 0,6-0,7 V võrra positiivsemad. Sisendsignaali poolterioodil on VT1 avatud ja VT2 suletud. Vool kulgeb toite plussist läbi VT1, läbi kondensaatori C ja tarbija RL toitemiinusesse. Kuna vool läbib kondensaatorit C siis laetakse ka see kondensaator ja järgmisel poolperioodil kui VT1 on suletud hakkab toiteallikana tööle eelmisel poolperioodil laetud kondensaator ja kulgeb vool ic2. On selge et selles lülituses kondensaator C peab olema küllalt suure mahtuvusega vähamalt 500-1000mF, et tema laengust jätkuks voolu tekitamiseks ka signaali kõige madalamatel sagetustel. Tagasiside võimendites.
seega on funktsioon seal diferentseeruv ning tema tuletis võrdub nulliga: f 0 (a) = f 0 (b) = f 0 (c) = 0. Graafiku puutujad on neis punktides horisontaalsed. Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f 0 (d) puudub. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. II - Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f0(x1) = 0. Kui f00(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f00(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused. Näiteks joonisel 4
ka joonisel 4.1 kujutatud funktsioonil on kriitiline punkt e, milles ekstreemumit ei ole. T~oepoolest, punktis koordinaatidega (e, f(e)) on graafiku puutuja paralleelne x-teljega, st f (e) = 0, kuid ekstreemum seal puudub. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste pohjendused. Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. N.aiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti f < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid. Graafikutel 1 ja 3 on enne kriitilist punkti f < 0 ja peale kriitilist punkti f > 0. J
regulaatorides kuid teiseks külllalt levinud võimaluseks on kasutada lülitus elemendina GTO türistore. Stabilisaatori lülituse koormuse ahelas on eraldi elemendina ka veel induktiivsus. Mis toimib energiat koguva elemendina Joonis 5.6.1.1 Pinge regulaatoridel vajadus selle elemendi järele puudub juhul kui koormuseks on alalisvoolumootor sest mootori induktiiv takistus on piisavalt suur kui juht ahela poolt element suletakse siis kulgeb vool toite plussist läbi koormus ahela kusjuures induktiivsuse emj püüab takistada voolu tkekimist ning toimub energia salvestamine koormuse induktiivsusse kui juhtahela poolt lüliti avatakse muudab induktiivsuse emj oma polaarsust avaneb diood VD ja koormusvool jätkub induktiivusesse salvestunud energia abil. Voolu reguleerimine tarbijas millega kaasneb mootori pöörlemiskiiruse muutus, toimub lüliti suletud ja avatud oleku ajasuhte muutmisega. Väiksema voolu
peale ekstreemumit, siis kasvamine asendub kahanemisega ning vaadeldav punkt on maksimumpunkt. Kui aga tuletis on negatiivne enne ekstreemumit ja posi- tiivne peale ekstreemumit, siis kahanemine asendub kasvamisega ning vaadeldav punkt on miinimimpunkt. Seega v~oime s~onastada j¨argmise v¨aite: Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funkt- siooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨ abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub 89 miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. N¨aiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti f < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid
peale ekstreemumit, siis kasvamine asendub kahanemisega ning vaadeldav punkt on maksimumpunkt. Kui aga tuletis on negatiivne enne ekstreemumit ja posi- tiivne peale ekstreemumit, siis kahanemine asendub kasvamisega ning vaadeldav punkt on miinimimpunkt. Seega v~oime s~onastada j¨argmise v¨aite: Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funkt- siooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨ abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub 89 miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. N¨aiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti f < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid
annaabi.ee 
