· Kolmnurga sise- ja ümberringjoon Kolmnurga siseringjooneks nimetatakse ringjoont, mis puutub ringjoone külgi. Tema keskpunkt asub külgedest ühekaugusel, see tähendab et ristlõigud keskpunktist iga küljeni on võrdsed. Kolmnurga ümberringjooneks nimetatakse ringjoont, mille keskpunkt on tippudest ühekaugusel. Seega läbib see ringjoon kõiki tippe. · Ringjoone lõikaja ja puutuja Ringjoone lõikajaks nim siget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti. Lõikaja piirsirget, millele läheneb lõikaja, kui üht lõikepunkti ringjoone kaart mööda teisele lähendada, nim ringjoone puutujaks.
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). y − f(a) = p(x − a), kus p on s t˜ous. Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi).
diferentseerimiseks. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis )) A = (a, f (a (tõestust ei küsi). Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
diferentseeruv . Tuletise arvutamist nim diferentseerimiseks. +tuletised peast! 16. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon - Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) : Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni
MATEMAATILINE ANALÜÜS I 17) Joone puutuja definitsioon. Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Olgu tasandil -teljestikus antud joon = ! . Joone = ! puutujaks punktis nimetatakse tema lõikaja % piirsirget, mis tekib punti % lähenemisel punktile mööda joont =! . Joone puutuja võrrand punktis = , ! kujul - ! = n - , kus n on tõus. Joone = ! normaalsirgeks punktis nimetatakse sirget, mis läbib punti ja ristub joone =! puutujaga selles punktis. ) Punkti = , ! läbiva normaalsirge võrrand on - ! =- h - . f +
Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral - 1. (f + g) = f + g, 2. (fg) = fg + fg, 3.(f/g)= fg-fg/g2 . 4. (Cf)' = C'f + C f' = 0 f + C f' = C f' 5. (f - g)' = [f + (-1)g]' = f' + [(-1)g]' = f' + (-1)g' = f' g' 6. {g[f(x)]}' = g'[f(x)] f'(x) Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). y - f(a) = f (a)(x - a) Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0 5
seose . Kasutades neid valemeid saame: 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. a. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS) b. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS) Puutuja võrrand s avaldus punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a)=p(x-a), kus p on s tõus
3) ( g ) ’ = g2 4) (Cf)’ = C’f + Cf’ = 0f + Cf’ = Cf’ , C – konstant 5) (f-g)’ =[f + (-1)g]’ = f’ + [(-1)g]’ = f’ + (-1)g’ = f’ – g’ 17. Joone puutuja definitsioon. Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = p(x − a) Joone y = f(x) normaalsirgeks punk tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = - 1 f ' (a) (x-a)
( fg )' ( x )=lim =lim { [ f ( x+ ∆ x )−f ( x ) ] g ( x +∆ x ) + f ( x) [ g ( x + ∆ x ) −g ( x) ]}=¿ lix→ x→ 0 ∆x x→ 0 ∆ x 9. Defineerida joone y = f(x) puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). 10. Tuletada joone y = f(x) puutuja võrrand punktis A=(a, f(a)). Kõigepealt märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A(a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a), kus p on s tõus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Lõikaja AP tõusunurk tähistatakse β-ga. Seega on lõikaja AP tõus ¯p = tan β. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et p¯ = tan β = (f(x) − f(a))/(x – a)
eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). 22. Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x)
eelnevalt ilmutada. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x,y)=0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y=f(x). 22. Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x)
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. JÄrelikult (t) = Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = . Kasutades neid valemeid arvutame: f(x) = = = 22. Joone puutuja. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) Joone normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Kui funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) sile (so mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A Üheselt määratud, sõltumata sellest kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja Üheselt määratud
Seega f'(x) = dy /dx. Funktsiooni x = (t) argument on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult '(t) = dx /dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja s~oltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t) = dy /dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f'(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = '(t)/ '(t) 22. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f(x) Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et
2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus) Tõestus: (uv) = u(x) · v(x) (uv) = u(x + x) · v(x · x) u(x) · v(x) (uv)' = 4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x).
on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument 0 0 on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu
on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult (t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument 0 0 on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu
Leian f.-i y=sinx tuletise. (sinx)´= lim delx0 dely/delx= lim delx0 (sin(x+delx)-sinx)/delx= lim delx0 (2sin(((delx)/2)cos(x+ (delx)/2))/delx= lim delx0 2(((delx)/2)cos(x+(delx)/2))/delx= lim delx0 cos(x+(delx)/2)=cosx. Seega (sinx)´=cosx, kusjuures sinxD(R). 15. Joone puutuja ja normaali võrrand: Puutuja: Joone puutuja ja tema võrrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget s mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (joonis 3.2). Meie eesmärgiks on tuletada puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime et valemi (3.2) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a; f(a)) kujul y - f(a) = p(x- a) ; (3.3) kus p on s tõus. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3lk33. Joonisel on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p(kriipsuga) = tan
Teoreem Parameetriliselt antud funktsiooni diferentseerimine Olgu funktsioon antud parameetrilisel kujul võrrandiga Siis kehtib valem Tõestus Funktsiooni argument on x ja sõtluv muutuja y mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja x mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja y mistõttu 22. · Joone puutuja ja selle võrrand Olgu tasandil xy teljestikus antud joon . Joone puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid
Siis kehtib valem: Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x) = . Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult '(t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t)=. Kasutades valemeid arvutame: 22. JOONE PUUTUJA DEFINITSIOON Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y = f(x) (graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Tuletada joone puutuja võrrand punktis A = (a,f(a)). Märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a,f(a)) kujul y-f(a)= p(x a), kus p on s tõus. Praegu on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni tuletise kaudu. Vaatleme joonist, kus lõikaja AP tõusunurk on tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus . Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et . Vaatleme piirprotsessi
Seega f(x) = (dy)/(dx). Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult (t) = (dx)/(dt). Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = (dy)/(dt) . Kasutades neid valemeid arvutame: Valem ongi tõestatud. 22. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga) Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) Punkti A = (a, b) läbiva ja tõusu p omava sirge võrrand on y - b = p(x - a) (3.9) Eelneva valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) (3.10) (kus p on sirge tõus) Vaatleme nüüd piirprotsessi x a
Seega f′(x) = (dy)/(dx). Funktsiooni x = φ(t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult φ′(t) = (dx)/(dt). Analoogiliselt saame funktsiooni y = ψ(t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose ψ′(t) = (dy)/(dt) . Kasutades neid valemeid arvutame: Valem ongi tõestatud. 22. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga) Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) Punkti A = (a, b) läbiva ja tõusu p omava sirge võrrand on y − b = p(x − a) (3.9) Eelneva valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a) (3.10) (kus p on sirge tõus) Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a
=dy/dx=dy/dt/dx/dt=(t)/(t) . See tõestabki valemi. 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Joone puutuja ja selle võrrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p
y - b = p(x - a) . (3.9) Viimane valem kehtib juhul, kui t~ous p on m¨a¨aratud, st kui = 2 . Juhul kui = 2 , on p m¨ aramata (tinglikult v~ordne -ga). Siis on s paralleelne y - a¨ teljega ja tema v~orrand on x = a. Joone puutuja ja selle v~ orrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f (x) (st funktsiooni y = f (x) graafik). Joone y = f (x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f (x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal t¨ahistatud s-ga). Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y - f (a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3
y - b = p(x - a) . (3.9) Viimane valem kehtib juhul, kui t~ous p on m¨a¨aratud, st kui = 2 . Juhul kui = 2 , on p m¨a¨aramata (tinglikult v~ordne -ga). Siis on s paralleelne y - teljega ja tema v~orrand on x = a. Joone puutuja ja selle v~ orrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f (x) (st funktsiooni y = f (x) graafik). Joone y = f (x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f (x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal t¨ahistatud s-ga). Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y - f (a) = p(x - a) , (3.10) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3
annaabi.ee 
