Olgu x ärjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse , st rahuldavad võrratust Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks ning piirväärtust mitteomavat jada hajuvaks. (Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduvaks jadaks.) 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0.
Muutuva suuruse Tõkestatud hulga definitsioon Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = Piirväärtus lim () eksisteerib ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed graafikut maksimaalselt ühes punktis. Eksponentfunktsioon on ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Reaalarvudest koosnevat hulka A nim tõkestatuks, kui leidub Piirprotsesside x ®¥ ja x ®-¥ definitsioonid. Jada ühepoolsed piirväärtused lim+ ()ja lim- (). Peale selle, piirväärtuse
d. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid d.i. d.ii. x=arsinhy areasiinus (funktsiooni y=sinhx pöörfunktsioon) x=arccoshy areakoosinus, x=artanhy areatangens, x=arcothy areakotangens 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ®¥ ja x ®-¥ definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. a. Järjestatud muutuva suuruse mõiste Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärstustest on moodustunud järjestatud hulk, st mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. a.i. Erijuhuks on ajast sõltuv suurus. Loomulik on lugeda kahest suuruse
graafikud. 5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞ 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu.
Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a-,a+ ), st rahuldavad võrratust |x- a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või limx = a. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-,a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-,a] või [a,a+). Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates
-. Definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrratust x < -M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x - või lim x = -. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid : Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-, a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-, a] või [a, a+). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a. Muutuv suurus x
muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse või . MUUTUVA SUURUSE ÜHEPOOLSETE PIIRPROTSESSIDE DEFINITSIOONID Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a - , a + ) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a - , a] või [a,a + ). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. .
Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-, a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-, a] või [a, a+). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a-.
rahuldavad võrratust |x − a| < ε. Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x → a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a−ε, a+ε) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a−ε, a] või [a, a+ε). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]
Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid · Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a-. · Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva
=P 4 Süsteem määrab iga 4 Q) , Q* korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega , = O 4 , P 4 . Kui muutuja 4 jookseb läbi kogu lõigu Q) , Q* , siis 4-le vastav punkt kujundab tasandile teatud joone. Süsteemi võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat 4 selle joone parameetriks. 7) Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Olgu järjestatud muutuv suurus. Arvu nimetatakse muutuva suuruse piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse väärtust, millest
Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nim. selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab
Sellisel juhul kirjutatakse xa ii) Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese pos. arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a ; a+ ). Siis kirjutatakse xa + 8) · Piirprotsesside x ja x i) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M;) st rahuldavad võrratust x>M. (Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: X või limx=)
Sellisel juhul kirjutatakse xa ii) Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese pos. arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a ; a+ ). Siis kirjutatakse xa + 8) · Piirprotsesside x ja x i) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M;) st rahuldavad võrratust x>M. (Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: X või limx=)
Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: x = arsinh y - areasiinus (funktsiooni y = sinh x pöördfunktsioon) , x = arcosh y - areakosinus (funktsiooni y = cosh x pöördfunktsioon) , x = artanh y - areatangens (funktsiooni y = tanh x pöördfunktsioon) , x = arcoth y - areakotangens (funktsiooni y = coth x pöördfunktsioon) . 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus
Võrdusest (6.4) saamegi seose(6.3) Lagrange'i keskväärtusteoreem - Olgu f : [a, b] → R pidev funktsioon, mis vahemikus (a, b) on diferentseeruv. Siis leidub selline c ∈ (a, b), et Sõnastada l'Hospitali reegel (teoreem 6.5): Eeldame, et funktsioonid f ja g on diferentseeruvadhulgas (a − θ, a + θ){a}, kus θ on mingi positiivne arv. Kui kas või ning eksisteerib piirväärtus siis Analoogiline väide kehtib ka piirprotsesside x → a−, x → a+, x → −∞ ja x → ∞ korral. 28. Taylori valem Esitada funktsiooni Taylori valem ja kirjeldada tema jääkliikme omadusi (teoreem 6.7 (a) ja (b)). Taylori valem - Olgu D ⊂ R mingi lahtine intervall ja a ∈ D, olgu n ∈ N0. (a) Kui funktsioon f : D → R on n korda diferentseeruv, siis (b) Kui funktsioon f : D → R on n + 1 korda diferentseeruv, siis iga x ∈ D{a} korral leidub punktide a ja x vahel selline punkt c ∈ D, et
|x - a| < , ja x ei asetse a-st vasakul, st x a. Suuruse l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ), kus M > 0. Arv x kuulub l~opmatuse u ¨mbrusesse (M, ) siis ja ainult siis, kui x > M. Suuruse miinus l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-, -M ), kus M > 0. Arv x kuulub miinus l~opmatuse u ¨mbrusesse (-, -M ) siis ja ainult siis, kui x < -M . ¨ Umbrusi kasutatakse piirprotsesside defineerimisel. Suurus x l¨ aheneb arvule a, kui ta liigub j¨ arjest l¨ ahemale arvule a, st satub arvu a u¨mbrusesse j¨ arjest v¨ aiksema raadiusega . Suurus x l¨ aheneb l~ opmatusele, kui ta asub j¨
|x - a| < , ja x ei asetse a-st vasakul, st x a. Suuruse l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ), kus M > 0. Arv x kuulub l~opmatuse u ¨mbrusesse (M, ) siis ja ainult siis, kui x > M. Suuruse miinus l~opmatus u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (-, -M ), kus M > 0. Arv x kuulub miinus l~opmatuse u ¨mbrusesse (-, -M ) siis ja ainult siis, kui x < -M . ¨ Umbrusi kasutatakse piirprotsesside defineerimisel. Suurus x l¨ aheneb arvule a, kui ta liigub j¨ arjest l¨ ahemale arvule a, st satub arvu a u ¨mbrusesse j¨ arjest v¨ aiksema raadiusega . Suurus x l¨ aheneb l~ opmatusele, kui ta asub j¨ arjest l¨ ahemal l~
ning eksisteerib piirväärtus f ′ (x) lim =: L, x→a g ′ (x) siis f (x) lim = L. x→a g (x) Tõestus. Iseseisvalt!z Märgime veel, et eelnevatega samasugused väited kehtivad piirprotsesside x → ∞ ja x → −∞ puhul. (Tõestamiseks saab teostada muutujavahetuse t = x1 .) Olukorras, kus L = ∞ või L = −∞, läheb tõestuse A-osa (x → a) läbi analoogiliselt. f ′ (x) g ′(x) B-osa (x → ∞) jaoks piisab märgata, et lim ′ = ∞ annab, et lim ′ = 0 (pare- x→∞ g (x) x→∞ f (x)
annaabi.ee 
