Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti
osa, mis jääb punktide Q ja N vahele. Siis kehtib valem F(P)dL=F(P) dL + F (P)dL L L1 L2 22. Tuletada valem esimest liiki joonintegraali arvutamiseks mööda parameetriliselt antud joont. (Lk. 27-30 ) 23. Defineerida teist liiki joonintegraal tasandil ja kolmemõõtmelises ruumis. · TASANDIL: Olgu xy- tasandil antud lõpliku pikkusega joon L otspunktidega M ja N. Peale selle olgu antud kaks funktsiooni F(P) ja G(P), mis on määratud iga P L korral. Jaotame joone L n osakaareks punktidega M= M0, M1, M2, ....,Mn =N suunaga punkti M poolt N poole. Olgu punkti Mi koordinaadid xi ja yi .Tähistame xi = xi - xi-1 , yi = yi -yi-1 . Valime igal osakaarel Mi-1Mi ühe punkti Pi. Moodustame summa An= [ F (Pi) xi + G (Pi) yi ]. Summat nim. Funktsioonide F ja G integraalsummaks koordinaatide järgi joonel L. Tähistame d i=Mi-1Mi
Lause 3. 6)Arkusfunktsioonid y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste 7)Hüperboolsed funktsioonid y=sh x, y=ch x, y=th x, y=cth x vahel.Lause 4. Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) 8)Areafunktsioonid y=arsh x, y=arch x, y=arth x, y=arcth x pöördfunktsioon on pidev lõigul otspunktidega f(a) ja f(b).Lause 5. Lõigul pidev 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid. funktsioon on üheselt pidev sellel lõigul.Lause 6. Elementaarfunktsioon on pidev Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on määramispiirkonna sidepunktides. naturaalarvude hulk N. Näide: n = 1 (1, 1 ,
Pideva funktsiooni omadused (teoreemid lk 12-13). Weierstrass teoreem: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus Weierstrass teoreem: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus Bolzano-Cauchy teoreem: lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuse vahel Teoreem: Lõigus {a,b} pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) pöördufunktsioon on pidev lõigus otspunktidega f(a) ja f(b). 13. Funktsiooni tuletis (definitsioon). Selle füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus. Näiteid. Tähistused. Millal funktsiooni tuletis puudub? Definitsioon: kui argumendi muudu lähenemisel nullile funktsiooni f(x) muudu ja argumendi muudu suhte korral x on olemas poorväärtus, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x Füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus: füüsikaline tõlgendus – KIIRENDUS;
Lõigul [a;b] pideva ja rangelt monotoonse f-ni f ( x) pöördf-n on pidev lõigul otspunktidega f (a) ja f ( x) g(x) x → x 0+ ¿ f (x ) 1
Ringjoon läbi punkti A , mille puutujateks on sirge a ja ringjoon b. (Siin on võimalik ka teine lahend, mis tähendab seda, et ringjoon ehitatakse alati puutujana nii, et puutepunkt oleks võimalikult lähedal puutuja valikupunktile) A b a Ringjoon läbi punkti A , mille puutujateks on sirge a ja ringjoon b 3) 2P ↵ (ringjoon, määratud läbimõõdu otspunktidega) Specify first end point of circle's diameter: (määrata läbimõõdu esimene otspunkt) {punkt A} ↵ Specify second end point of circle's diameter: (määrata läbimõõdu teine otspunkt) {punkt B} ↵ Kui need punktid sisestada kursoriga, tragitakse ringjoone vahekujutis kaasa punktini D2 Ülesanne II Tihend 32 D1
Tõestus. Olgu f (x) < 0 iga x ( a, b) korral. Fikseerime punkti x0 ( a, b). Kasuta- des Taylori valemit jääkliikmega Lagrande´i kujul ja võttes selles n=1, võime kirjutada 1 f ( x) - f ( x 0 ) = f (c)( x - x 0 ) + f (c)( x - x 0 ) 2 , (1) 2 kus c asub vahemikus otspunktidega x ja x 0 . Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis P0 = ( x 0 , f ( x0 )) on Y - f ( x0 ) = f (c)( x - x0 ), (2) kus Y puutuja oordinaat kohal x. Siis seostest (1) ja (2) saame, et 1 f ( x) - Y = f (c )( x - x 0 ) 2 , 2
- Specify first point on circle (sisestada esimene punkt mida ring läbib) 6 - Specify second point on circle (sisestada reine punkt ...) - Specify third point on circle (sisestada kolmas punkt ...) Kui ringjoone punktide sisestamiseks kasutada kursorit, siis pärast teise punkti sisestamist tekib joonestusväljale ringjoone vahekujutis. 2P ringjoon keskpunkti läbivale kõõlule ehk ringjoon, mis on määratud läbimõõdu otspunktidega. - Peale CIRCLE käsu valimist kirjutada käsuribale 2P - Specify first end point of circle´s diameter (määrata läbimõõdu esimene otspunkt) - Specify second end point of circle´s diameter (määrata läbimõõdu teine otspunkt) Kui need punktid sisestada kursoriga, venitatakse ringjoone kujutis kaasa punktini D2. T (TTR) ringjoon, millele antakse ette kaks puutujat ja raadius. - Peale CIRCLE käsu valimist kirjutada käsuribale T
Sfäärkoordinaate kasutatakse kolmekordse integraali arvutamiseks eelkõige juhul, kui integreerimispiirkond on piiratud sfääri või selle osaga, s.t. integreerimispiirkonnaks on kera või mingi kera osa. 8. Esimest liiki joonintegraal: põhjalik selgitus joonisega (vastava joone jaotus, integraalsumma jne); joone pikkus; silinderpinna pindala; joone mass. Olgu antud ruumiline kõverjoon l otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kolme muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1. Jaotame joone l suvalisel viisil punktidega A= A0,A1,A2,..., An=B osakaarteks . Olgu sk osakaare pikkuseks (x=1,2,...,n) ning 2. Valime igal osakaarel juhusliku punkti
Väide on tõestatud. ** - Kui xn → a ja yn → a ning seejuures leidub selline N0∈ N, et xn ≤ zn ≤ yn iga n ≥ N0 korral, siis zn → a 13. Funktsiooni piirväärtused Defineerida hulga D ⊂ R kuhjumispunkti mõiste, tuua näiteid. Arvu a nimetatakse hulga D ⊂ R kuhjumispunktiks, kui (Uρ (a){a}) ∩ D ̸= ∅ iga ρ > 0 korral, s.t. kui punkti a iga ümbrus, millest arv a ise on välja jäetud, sisaldab hulga D elemente. Kui D on suvaline intervall otspunktidega a ja b, kus a < b, siis hulga D kuhjumispunktideks on kõik arvud x ∈ [a, b] Arv 0 on mõlema hulga {−1/n| n ∈ N} ja {1/n| n ∈ N} ainuke kuhjumispunkt Funktsiooni f : D → R korral defineerida . Olgu arv a hulga D ⊂ R kuhjumispunkt. Arvu A nimetatakse funktsiooni f : D → R piirväärtuseks punktis a (ehk kohal a) ja kirjutatakse , kui iga positiivse (kuitahes väikese) arvu ε korral saab leida sellise δ > 0, et kui
n xy-tasandil antud lõpliku pikkusega joonel L otspunktidega M ja N n = f ( Pi )Vi , määratud funktsioonide F ja G joonintegraaliks üle joone L nimetatakse funktsioonide F ja G integraalsumma
· Vektorite vahe koordinaatideks on lahutavate vektorite vastavate koordinaatide vahed · Vektori korrutamiseks mingi arvuga tuleb selle arvuga korrutada vektori koordinaate. · Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud · Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised · Kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed. 6.9 Otspunktidega määratud vektori koordinaadid Vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti samanimeliste koordinaatide vahedena. 6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6.11 Järeldusi skalaarkorrutiste definitsioonist · Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega
1.3) B ↵ (arvuti proovib alul moodust E, kui see ei aita, siis kasutatakse moodust A) Märkused. a) Kui objektideks on valitud ühe käsu LINE abil joonestatud murdjoone lõigud, siis saab neid ühtseks liitjooneks muuta võtmetähega J, kuna võtmetähega C pole see võimalik. b) Kui objektiks oli valitud käsuga ARC joonestatud kaar, mis muudeti liitjooneks, siis saab seda sulgeda võtmetähega C. c) Üksteisest matemaatiliselt mitteühtivate otspunktidega, seega üksteisest eemal asuvate otspunktidega vastkujundatud liitjooni saab kokku ühendada võtmetähega J, mille sisestamisel teatab arvuti vastuseks: Join Type = Extend Enter fuzz distance or [ Jointype ] < 0.0000 >: (ühendusviis = pikendatav; sisestada ühenduskaugus või valida ühendusviis; vaikimisi võetakse ühenduskauguseks 0, mis tähendab seda, et liidetavad osad peavad matemaatiliselt järgnema üksteisele) c.1) {ühenduskaugus} ↵
diferentseeruv (graafik on ilma teravate nurkadeta ehk sile) ning f(0) = f (10) = 0. Kehtib ka Rolle'i teoreemi väide: leidub puutepunkt c (antud juhul c = 5), milles f'(c) = 0. Selles punktis on antud f-ni graafiku puutuja paralleelne x-teljega nagu see on ka näha kõrvaloleval joonisel. 13. Illustreerige graafiliselt konkreetse funktsiooni f(x) graafiku baasil Lagrange'i teoreemi! Olgu antud f-n , mille korral Lagrange'i teoreemi eeldused on lõigus [a, b], otspunktidega , täidetud. Tähistame sümboliga lõikaja tõusu. F-ni f(x) graafiku lõikaja võrrand on , kus . Leiame c operaatori " " abil, nii et Lagrange'i teoreemi illustreerib järgnev joonis, kus Lagrange'i teoreem (keskväärtusteoreem) Kui funktsioon f(x) on lõigul [a;b] pidev ja selle lõigu igas seesmises punktis diferentseeruv, siis leidub
Üleminekuvalemid: x = r sin cos , y = r sin sin , z = cos , J = r 2 sin f ( x, y, z )dxdydz = f (r sin sos , r sin sin , r cos )r sin drdd 2 D Esimest liiki joonintegraali mõiste, omadusi, tema arvutamine ja rakendusi I liiki joonintegraal vaatame int.-i kaare pikkuse järgi. Eeldused: sileda joone kaar, otspunktidega A ja B. Sellel määratud pidev funktsioon f(P), P AB (kaar võib olla nii tasandil kui ka ruumis). Konstr: jaotame kaare AB punktidega Ai n osadeks (i=0 A=A0, i=n An=B) n n = f ( Pi )S i - int. summa, S i - kaare pikkus i =1 Def: Kui int.summal leidub protsessis, kus n piirväärtus, mis ei sõltu kaare osadeks jaotamise viisist ja Pi valikust osades, öeldakse, et funk. on int.-uv kaarel AB ja int. nim. I liiki joonintegraaliks üle kaare AB lim n = f ( P)ds
valemite (3.4.10) ja (3.4.11) abil, massikeskme koordinaadid xc ja yc kas valemite (3.4.12) või valemite (3.4.13) ja (3.4.14) abil ning inertsmomendid Ix ja Iy valemite (3.4.15) ja (3.4.16) abil ning I0 valemi (3.4.17) või valemi (3.4.18) abil. Massi arvutamine M=lllf(x,y,z)dxdydz T Inertsmoment I0=lll(x +y2+z2)dxdydz 2 25. Joonintegraali koordinaatide järgi mõiste ja omadusi xy-tasandil antud lõpliku pikkusega joonel L otspunktidega M ja N määratud funktsioonide F ja G joonintegraaliks üle joone L nimetatakse funktsioonide F ja G integraalsumma n An = ( F ( Pi )xi + G ( Pi )yi ) , i =1 kus xi=xi-xi-1 ja yi=yi-yi-1 on joone L punktidega M=M0, M1, M2, ..., Mn=N nii, et Mi(xi,yi), n osakaareks jaotamisel saadud muudud ja Pi punkt, kusjuures Pi[Mi-1,Mi], piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di=|Mi-1,Mi| n
vahemikus X arendatud astmereaks. Sel juhul astmerea kordajad an avalduvad valemitega 1 ( n) an = f (c ), n = 0,1,2,... (7) n! kusjuures 0! = 1 ja f (0 ) (c) = f (c). Rida (6), mille kordajad an on antud valemitega (7), nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks (erijuhul c=0 Maclaurini reaks). Olgu n Taylori valemi jääkliige Lagrange´i kujul (vt § 4, p.3), st kus asub vahemikus otspunktidega c ja x. 1 ( n +1) n = f ( )( x - c ) n +1 , (n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. §6 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 1. Algfunktsioon ja määramata integraal Definitsioon 16. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui F ( x) = f ( x) iga x (a,b) korral.
Eeldame, et f on rangelt kasvav funkt- sioon, ja näitame, et siis on ka g rangelt kasvav. Olgu y1 , y2 ∈ R ja y1 < y2 . Kui oletada vastuväiteliselt, et z2 := g (y2 ) 6 g (y1 ) =: z1 , siis y2 = f (g (y2 )) = f (z2 ) 6 f (z1 ) = f (g (y1 )) = y1 , mis on vastuolus arvude y1 ja y2 valikuga. Rangelt kahaneva funktsiooni f puhul on tõestus analoogiline. Lause 3.19 Lõigus [a, b] pideva rangelt monotoonse funktsiooni f pöördfunktsioon g := f −1 on pidev lõigus otspunktidega f (a) ja f (b) . Tõestus. Olgu funktsioon f konkreetsuse mõttes lõigus [a, b] rangelt kasvav, siis pöörd- funktsiooni g määramispiirkond on lõik [f (a) , f (b)] (põhjendada!)z. Teisisõnu, m = f (a) ja M = f (b), kus m := min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M := max {f (x) | x ∈ [a, b]}. Selles lõigus [m, M] on g eelneva lause 3.18 põhjal rangelt kasvav. Tema pidevuse tõestamiseks näitame, et g on 1) vasakult pidev igas punktis y ∈ (m, M] ning
f (x) - m kusjuures m = inf f (x). T~ oestage! x[a,b] Esitame l¨uhidalt m~oningad tulemused, mis leiavad edaspidi kasutamist. Lause 4 (vt [5], lk 129130). L~oigul pidev funktsioon omab iga v¨a¨artust, mis paikneb ekstremaalsete v¨a¨artuste vahel. Lause 5 (vt [5], lk 132133). L~ oigul [a, b] pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f (x) p¨o¨ ordfunktsioon on pidev l~oigul otspunktidega f (a) ja f (b). Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) nimetatakse u ¨htlaselt pidevaks hulgal X R, kui > 0 = () > 0 : x1 , x2 X |x1 - x2 | < |f (x1 ) - f (x2 )| < . Lause 6 (vt [5], lk 136137). L~ oigul pidev funktsioon on u ¨htlaselt pidev sel l~oigul. 63 1.10. Funktsiooni tuletis Vaatleme funktsiooni y = f (x) muutu
likul teel anda igaühe korral eraldi teatava vektorruumi. Definitsioon 13.1 Ruumi, tasandit ja sirget me tähistame järgnevas vastavalt E3 , E2 ja E1 abil. Üldiselt kasutame nende ruumide jaoks ühtset tähist E. Märkus 13.3 Mistahes kahe punkti X, Y E poolt määratud lõiku saame tähistada kahel erineval moel XY või Y X. Esimesel kohal olevat tähte loeme lõigu alguspunktiks ja teisel kohal olevat tähte lõigu lõpp-punktiks. Seega XY ei tähista ainult lõiku otspunktidega X ja Y , vaid tähistab lõiku alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y . Definitsioon 13.2 Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, s.t. suund, nimetatakse suu- natud lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi XY abil. 114 13.1. Suunatud lõikude hulk
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 (6.35) F =0 Fµ = 0 34 7 Joonintegraalid 7.1 Esimest liiki joonintegraali definitsioon ja omadu- sed Olgu antud tasandiline k~overjoon otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kahe muutuja funktsioon f (x, y), st igale joone punktile (x, y) on vastavusse seatud v¨a¨artus f (x, y). Jaotame joone AB suvalisel viisil punk- tidega A = P0 , P1 , P2 , . . . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn = B osakaarteks Pk-1 Pk , k = 1, 2, . . . , n. Valime igal osakaarel juhusliku punkti Qk (k , k ) Pk-1 Pk . y Pk-1 Qk
annaabi.ee 
