Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+RS=2 Korrapärane hulktahukas Korrapärane hulktahukas ehk regulaarne hulktahukas on kumer hulktahukas, mille kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igast tipust lähtub võrdne arv servi. Platoonlised kehad Korrapärane tetraeeder Kuup ehk korrapärane heksaeeder Korrapärane oktaeeder Korrapärane ikosaeeder Korrapärane dodekaeeder Korrapärane tetraeeder 4 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgad. Igast tipust lähtub 3 serva. Korrapärane heksaeeder ehk kuup 6 tahku Tahud on korrapärased nelinurgad. Igast tipust lähtud 3 serva. Korrapärane oktaeeder 8 tahku Tahud on võrdkülgsed kolmnurgad. Igast tipust lähtub 4 serva. Korrapärane ikosaeeder 20 tahku
MATEMAATIKA HULKTAHUKAD SISUKORD http://et.wikipedia.org/wiki/Oktaeeder http://www.aai.ee/muuseum/Kasikirjad/HTML/index.html?johannes_kepleri_elu_ja_toeoe.htm http://www.art.tartu.ee/~illi/kunstigeomeetria/sakraal/poleedr1.htm http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ehataht.gif http://et.wikipedia.org/wiki/Korrap%C3%A4rane_tetraeeder http://www.miksike.ee/docs/elehed/5klass/7kooslus/images/kuup.gif 2 http://www.greengate.ee/print.php?page=4&id=13340
Hulktahukat piiravaid hulknurki nim. tahkudeks, külgi servadeks, tippe tippudeks, kahe erineva tahu tippe ühendavat lõiku diagonaaliks. Diagonaallõige on hulktahuka ja diagonaaltasandi ühisosa. Hulktahukad jagunevad KUMERAD ja MITTEKUMERAD. Korrapärane hulktahukas (platooniline keha) kumer hulktahukas, mille kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja kõik mitmetahulised nurgad on samuti võrdsed (nt. tetraeeder 4 võrdkülgset kolmnurkset tahku, oktaeeder 8, ikosaeeder 20 , KUUP e. heksaeeder 6 ruudukujulist tahku, dodekaeeder 12 võrdkülgset viisnurkset tahku). Prisma hulktahukas, mille 2 tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. Paralleelsed tahud on põhjad, ülejäänud tahud on külgtahud. Prisma diagonaaltasand tasand, mis läbib kahte mitte ühele tahule kuuluvat külgserva
Kumerad hulktahukad · Kogu hulktahukas jääb oma iga tahu tasapinnast ühele poole · Iga kahte punkti ühendav lõik jääb hulktahuka sisse · EULERI teoreem: Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+R-S=2 Korrapärased hulktahukad · Platoonilised kehad · Kumer hulktahukas, mille kõik tahud on omavahel võrdsed korrapärased hulknurgad ja kõik mitmetahulised nurgad on samuti võrdsed · Korrapärane tetraeeder, oktaeeder, ikosaeeder, dodekaeeder ja kuup PRISMA Kaks tahku on vastavalt võrdsete ning paralleelsete V=Sph külgedega hulknurgad ja kõik teised tahud on rööpkülikud Põhjaks paralleelsed tahud Sk=Prh Külgtahkudeks rööpkülikud Diagonaal lõik, mis ühendab kahte erinevatele S=Sk+2Sp tahkudele kuuluvat tippu Diagonaaltasand tasand, mis läbib kahte mitte ühele tahule kuuluvat külgserva
Karaat ühtlustati 1907. aastal, eelnevalt oli see varieeruv suurus. Ühe karaadi hind võib ulatuda kümnetesse miljonitesse kroonidesse. Mida suurem ja puhtam on teemant, mida haruldasem on tema värv, seda rohkem ta maksab. Teemandil on väga korrapärane struktuur. Iga süsiniku aatom teemanti kristallvõres on 4ühekordse kovalentse sideme abil seotud 4 samasuguse süsiniku aatomiga, need omakorda jälle 4 süsiniku aatomiga jne. Enimlevinud teemandi vorm looduses on oktaeeder (pilt 1.), topeltpüramiid nelinurksel põhjal. Spetsiaalselt lihvitud teemant on briljant (pilt 2.). Briljant on kõige hinnalisem vääriskivi. 4 pilt 1. oktaeeder pilt 2. briljant 2. TEEMANDI LEIDUVUS JA KAEVANDAMINE Teemanti leidub kõige rohkem Aafrikas, Lõuna-Ameerikas ja Venemaal (Uuralites) vanad vulkaanikraatrid
nõgus. Kumera tahuka iga tasandiline lõige on kumer hulknurk. b) Prismatoidiks nimetatakse tahukat, mille tipud asetsevad kahel paralleelsel tasapinnal (põhjatahul). Prismatoidi kumbki põhi võib esineda ka sirglõiguna. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid. c) Ideaaltahukad on korrapärased tahukad, kus tahkudeks korrapärased võrdsed hulknurgad. Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder (4-tahk), heksaeeder (6-tahk) ehk kuup, oktaeeder (8-tahk), dodekaeeder (12-tahk) ja ikosaeeder (20-tahk). 34. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asetseb üleni ühel tasandil, ruumikõver mitte. 35. Nimetage kõik teist järku jooned a) ellips-tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b) hüperbool-mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv.
b) Prismatoidiks nimetatakse tahukat, mille tipud asetsevad kahel paralleelsel tasapinnal (põhjatahul). Prismatoidi kumbki põhi võib esineda ka sirglõiguna. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid. c) Ideaaltahukad on korrapärased tahukad, kus tahkudeks korrapärased võrdsed hulknurgad. Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder (4-tahk), heksaeeder (6-tahk) ehk kuup, oktaeeder (8-tahk), dodekaeeder (12-tahk) ja ikosaeeder (20-tahk). 3. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asetseb üleni ühel tasandil, ruumikõver mitte. 4. Nimetage kõik teist järku jooned. a) ellips-tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b) hüperbool-mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone
5. Kirjeldage erinevaid isomeeria tüüpe: ionisatsiooni-, seose-, hüdraat-, koordinatsiooni-, geomeetriline ja optiline isomeeria. Tooge näiteid. Ionisatsiooniisomeeria [CoBr(NH3)5]SO4 ja [CoSO4(NH3)5]Br Hüdraatisomeeria [Cr(H2O)6]Cl3 ja [CrCl(H2O)5]Cl2*H2O Seoseisomeeria [CoCl(NO2)(NH3)4]+ ja [CoCl(ONO)(NH3)4]+ Koordinatsiooniisomeeria [Cr(NH3)6][Fe(CN)6] ja [Fe(NH3)6][Cr(CN)6] Geomeetriline isomeeria trans-[CoCl2(NH3)4]+ ja cis-[CoCl2(NH3)4]+ oktaeeder, planaarne Optiline isomeeria peegelpilt, tetraeeder, oktaeeder 6. Kuidas saab ionisatsiooni- ja hüdraatisomeeride paare keemiliselt eristada? - 10. Kirjeldage alkaanide, alkeenide, alküünide ja areenide struktuuri ning nende reageerimisvõimet. Alkaanid (CnH2n+2) küllastunud süsivesinikud, st sisaldavad ainult üksiksidemeid, sp 3 hübridisatsioonis. Võivad olla hargnemata ahelaga, hargnenud või tsüklilised. C ja H elektroneg on praktiliselt võrdsed, seega on alkaanid
ning millel pole muid tippe peale põhjatippude. Prismatoidi tippude koguarv peab olema vähemalt 4. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid · Ideaaltahukad Korrapärased tahukad, mille kõik tahud on korrapärased ja võrdsed hulknurgad. o Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder, heksaeeder(kuup), oktaeeder, dodekaeeder, ikosaeeder o Nõgusaid ideaaltahukaid ehk nn. tähttahukaid on neli. 2. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asub tervenisti tasandil, ruumikõver aga mitte. 3. Nimetage kõik teist järku jooned a. Ellips tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b
ning millel pole muid tippe peale põhjatippude. Prismatoidi tippude koguarv peab olema vähemalt 4. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid · Ideaaltahukad Korrapärased tahukad, mille kõik tahud on korrapärased ja võrdsed hulknurgad. o Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder, heksaeeder(kuup), oktaeeder, dodekaeeder, ikosaeeder o Nõgusaid ideaaltahukaid ehk nn. tähttahukaid on neli. 2. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asub tervenisti tasandil, ruumikõver aga mitte. 3. Nimetage kõik teist järku jooned a. Ellips tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b
) Prismatoidiks nimetatakse tahukat, millel on kaks paralleelset tahku (põhja) ning millel pole muid tippe peale põhjatippude. Prismatoidi tippude koguarv peab olema vähemalt 4. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid. Ideaaltahukad: Korrapärased tahukad, mille kõik tahud on korrapärased ja võrdsed hulknurgad. Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder, heksaeeder(kuup), oktaeeder, dodekaeeder, ikosaeeder Nõgusaid ideaaltahukaid ehk nn tähttahukaid on neli. 46. Mis on tahuka pinnalaotus? Kuidas tuletatakse tahuka pinnalaotus? Tahuka pinnalaotus on tasapinnaline kujund, mis on koostatud selle tahuka tahkude originaalvormidest, kusjuures on arvestatud ka tahkude omavahelist paigutust. Kolmnurksete tahkude tõelise kuju saab konstrueerida tema kolme külje tõeliste pikkuste järgi. Seda silmas pidades võib mistahes tahuka pinnalaotuse tuletada järgmiselt:
aastal nägi supernoovat. suurendas ta astronoomiliste nurkade mõõtmise täpsust 10 korda: 10 nurgaminutilt 1 nurgaminutile. Brahe tunnistas semiheliotsentrilist maailma – Maa on keskel, Päike liigub selle ümber ja planeedid omakorda ümber Päikese. Johannes Kepler (1571-1630)- „kärnane koer“. Veendunud, et Jumala tahe väljendub matemaatilises ilus. Esialgu pani ta lootuse viiele täiuslikule geomeetrilisele kujundile: tetraeeder, kuup, oktaeeder, dodekaeeder ja ikosaeeder. Kepleri teine seadus: Kui planeet on Päikesele lähemal, on tema kiirus suurem, kui kaugemal, siis väiksem. Sest planeedi mass ei muutu, aga tema kiiruse ja ringjoone raadiuse korrutis ei tohi muutuda. Epitsüklid-puhas geomeetria ja planeetide liikumise taga peab olema füüsikaline põhjus. Päikesel peale valgustamise teinegi funktsioon – panna planeedid liikuma René Descartes (1596-1650) – Cartesiuse koordinaadistik, Liikumishulga jäävuse seadus
Kokku seitse heli oktaaviharmoonia. Kogu looduse helisüsteem sisaldub neis seitsmes helis, mida seetõttu nimetatakse ,,looduse hääleks". Pythagorase meelest olid inimesele kõige olulisemad tema aistingud ja seetõttu oli tema arvates muusika kõige tähtsam õppeaine. See sisaldab teatud meloodiaid ja rütme, mille abil valitsetakse inimese tegusid ja tundeid. Pythagorase jaoks oli arv ja geomeetria omavahel seotud. Tuli tetraeeder, maa kuup, õhk oktaeeder, vesi ioksaeeder. Maailma tegelik olemus on arvudes. Kui arv on maailma olemus, siis peab kõik olema matemaatiliselt väljendatav. Poliitilistelt vaadetelt olid pütaagorlased aristokraatlik-konservatiivsed ja saavutasid tollases ühiskonnas küllaltki suure mõjujõu. Nad saavutasid kõrged positsioonid Krotoni valitsemises, 8 kuid krotonlane Cylon õhutas rahva ülestõusule, mis kujunes üsna veriseks ja mille käigus
U. 570(582) - 4 0 Sündis amose saarel, tegeles matemaatika, astronoomia ja filosoofiaga. Pärast pikki rännuaastaid oriendis kujundas ta välja oma õpetuse. Rjab lõpuks Krotonis, Alam Itaalias oma usulise salaühingu. Enne seda oli lahkunud kodumaalt, kus ta sattus konflikti türann Polukratesega. Algaineks arv, mitte aine. Meelelise reaalsuse aluseks peab ta koo Empedoklesega tuld(tetraeeder), maad(kubus), õhku(oktaeeder) ja vett(ikosaeeder). Arvud, mis väljenduvad geomeetrilistes kujundites on maailma aluseks. Kui arv on maailma olemus, siis peab olema ka kõik matemaatiliselt väljendatav. Igal arvul oli oma tähendus: 1 - jumalik printsiip 2 - naiselik arv 3 - mhelik arm 2 + 3 = 5 - abielu Iga põhiarv 1 kuni 10-ni omab erilist jõudu ja tähendust. Arv 10 sümboliseerib maailma harmooniat. Ta kirjeldab gitarat ja leiab, et heli kõrgus sõltub keelte pikkusest
Kumera tahuka iga tasandiline lõige on kumer hulknurk. Prismatoidiks nimetatakse tahukat, mille tipud asetsevad kahel paralleelsel tasapinnal (põhjatahul). Prismatoidi kumbki põhi võib esineda ka sirglõiguna. Prisma ja püramiid on prismatoidi kõige levinumad vormid. Ideaaltahukad on korrapärased tahukad, kus tahkudeks korrapärased võrdsed hulknurgad. Kumeraid ideaaltahukaid on viis: tetraeeder (4tahk), heksaeeder (6tahk) ehk kuup, oktaeeder (8tahk), dodekaeeder (12tahk) ja ikosaeeder (20tahk). 66. Mis on tahuka pinnalaotus? Kuidas tuletatakse tahuka pinnalaotus? Tahuka pinnalaotus on tasandiline kujund, mis on koostatud tahkude tõelistest kujudest, arvestades tahkude omavahelist paiknemist. Pinnalaotus püütakse alati teha võimalikult kompaktne (minimaalse ümbermõõduga). 67. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asetseb üleni ühel tasandil ruumikõver mitte. 68
vormid. on korrapdrased tahukad,kus tahkudekskorrapdrasedv6rdsed hulknurgad. Kumeraidideaaltahukaid on viis:tetraeeder(4- tahk), heksaeeder (6-tahk) ehk kuup, oktaeeder(8-tahk),dodekaeeder(12-tahk)ja ikosaeeder(20-tahk). l o o n .3 .6 Tahukapinnalaotus on tasandiline kujund,mis on koostatud tahkude t6elistest kujudest, Praktikassaab tasandi punktidep66rendeid arvestadestahkude omavahelistpaiknemist. leida ka mis tahes asendis kahte punkti Pinnalaotuspuutaksealati teha v6imalikult
360-270) pindalaga. · Arkesdilaos (u. 315-241) · Meelelise reaalsuse aluseks peab ta koos · Karneades (213 -123) Empedoklesega tuld (tetraeeder), maad (kubus), õhku · Ainesidemos Knossosest (oktaeeder) ja vett (ikosaeeder). · Arvud, mis väljenduvad geomeetrilistes kujundites on · SKEPSIS maailma aluseks. · Sõna skepsis tähendab "uurimist" või "proovimist". · Kui arv on maailma olemus, siis peab olema ka kõik · Skeptik on kahtleja, kes peab tõelist tunnetust võimatuks. matemaatiliselt väljendatav. Ta ei soovi end siduda ühegi arvamusega.
-) Anaximandros uskus, et kõige algaineks on apeiron ehk lõppematu ehk see, mis jääb üle, kui konkreetne mateeria kõigest meelelistest eraldada. -) Anaximenes uskus, et kõige algaineks on õhk ning maailma ümbritseb ,,kosmos" ehk kord ja harmoonia. * Pythagoras (570-495 eKr) uskus, et arvud, mis väljenduvad geomeetrilistes kujundites on maailma aluseks. -) Ta uskus nelja põhilisse elementi ning tema arust tulele vastas tetraeeder, maale vastas dodekaeeder, õhule vastas oktaeeder ja veele vastas ikosaeeder. -) Tema arust oli maailma liikuma panevaks jõuks paaris ja paaritute arvude vastandumine, kuna uskus, et paarisarvud on ebatäiuslikud numbrid (v.a kümme, mis oli täiuslikkuse tunnus). -) Ta oli esimene filosoof, kes asetab asjade tõelise olemuse loodusest väljaspoole. -) Ta pani alguse ka oma koolile, mis oli revolutsiooniline, kuna võttis õppima ka naisi.
Kõiksust nimetab kosmoseks (). PYTHAGORAS (570(582)-490) Matemaatik, astronoom, filosoof. Sündis Saamose saarel. Tutvub Mileetose koolkonnaga. Külastab Egiptust, muistset Orienti. Hiljem rändab Alam-Itaaliasse (Eelea) ning rajab Krotoni linna usulise salaühingu, millest kasvab välja koolkond oma aja tarku. Ei tegelenud matemaatikaga matemaatika pärast. Tema meelest on alge tuli, maa, õhk ja vesi. Arv ja geomeetria on omavahel seotud. Tuli=tetraeeder, maa=kuup, õhk=oktaeeder, vesi=ikosaeeder. Maailma tegelik olemus on arvudes. Kui arv on maailma olemus, siis peab kõik olema matemaatiliselt väljendatav. Aineline printsiip asendub vaimsega. On üks Platoni filosoofia allikaid. Mis on asjade olemus? Maailmasisene liikumapanev vastuolu seisneb paaritute ja paarisarvude vastuolus. Paarisarvud on jagatavad, seega ebatäiuslikud. Paaritud arvud ei ole jagatavad, on lõplikud ja seega täiuslikud. Kõrgeim paaritu arv on 1=kõrgeim jumalik printsiip; 3=mehelik arv;
e. jumala ideega. Inimhing jaguneb 3-ks vaim (nous), meel (thymos) ja meelelisus (alogistikon, epimethykon); riigiteooria: riik on inimese võrdkuju, hinge osadele vastavad riigis seisused, võim peab kuuluma filosoofidele; ja natuurfilosoofia: maailm on demiurgi looming, kes vormib kujutut mateeriat, algselt matemaatiliselt määratletud kehadeks ("Timaioses" 5 korrapärast hulktahukat, millele alluvad ja vastavad 4 elementi: maa kuup, ikosaeeder vesi, püramiid tuli, oktaeeder - õhk. Maailm tervikuna on pentagoondodekaeeder e. 5-nurksete tahkudega 12-tahukas). Ilma demiurgita oleks mateeria lihtsalt olematus. Teosed (säilinud 36 kindlalt talle omistatavat) on meisterlikus dialoogivormis,sageli osaleb dialoogis Sokrates, kellele enamasti jäetakse viimane, kaalukaim sõna. Varasemates töödes ("Apoloogia", "Charmides", "Kriton") ilmneb tugev Sokratese mõju, ideeõpetuse
mineraal) (pr.diamant) rabe, habras suur murdumisnäitaja: 2,417 hea dielektrik või pooljuht luminestseerub UV-, röntgen-, katoodkiirtes säravaim ja hinnalisim vääriskivi (massiühik karaat 1ct = 0,2g) suurimad leiukohad Aafrikas, Indias, Venemaal, Brasiilias jm. kristallid: oktaeeder, kuup, tetraeeder jt. vormid kasut. peam. tehnil. otstarbeks ja juveelidena toodetakse: üle 33 milj. ct (lood.) üle 60 milj. ct (tehis-) tehisteemant: süsinikust (grafiidist jt.; palju meetodeid) ülikõrgel rõhul (kuni 1010 Pa) ja kõrgel to-l (1200-2000ºC) Puhtaim lood. süsiniku vorm, kuid mitte täiesti homogeenne, kuni 0,25% lisandeid
Riik saab saada heaks vaid siis, kui leidub inimene, kes teab, mis on hea, kellel on õige teadmine. Riik vajab sisuliselt valgustatud despooti, kuningas-filosoofi tema on kõige lähemal jumalale, tema tajub ideede ja hüvede maailma kõige paremini. Kogu maailm on Platoni arvates jumala (demiurgi) looming. Demiurg vormib kujutut mateeriat. Esmalt tekivad sellest matemaatiliselt määratletud kehad (platoonilised kehad viis korrapärast hulktahukat, teraeeder, heksaeeder, oktaeeder jne), millele alluvad elemendid maa, tuli vesi ja õhk. Materiaalsele maailmale on omane liikumine ja arenemine, mis tulenevad materiaalse maailma ebatäiuslikkusest. Ilma demiurgilt lähtuva toimeta oleks mateeria lihtsalt olematus. (Demiurg oli muidu vanas Kreekas vaba kodanik, kes töötas tasu eest, Platonil aga jumalus, kes lõi ürgainest maailma). Riigi seitsmendas peatükis on "koopamüüt", kus Platon kirjeldab seda, kuidas inimene koopas näeb
haridussüsteemis tundma asjade tõelist olemust, nende ideed. Ideaalriiki peaks valitsema selline kuningas-filosoof, kes on jõudnud kogu riigi idee äratundmisele. 7 Kogu maailm on Platoni arvates jumala (demiurgi) looming. Demiurg vormib kujutut mateeriat. Esmalt tekivad sellest matemaatiliselt määratletud kehad (platoonilised kehad viis korrapärast hulktahukat, teraeeder, heksaeeder, oktaeeder jne), millele alluvad elemendid maa, tuli vesi ja õhk. Materiaalsele maailmale on omane liikumine ja arenemine, mis tulenevad materiaalse maailma ebatäiuslikkusest. Ilma demiurgilt lähtuva toimeta oleks mateeria lihtsalt olematus. (Demiurg, "rahva heaks töötav", oli muidu vanas Kreekas vaba kodanik, kes töötas tasu eest, Platonil aga jumalus, kes lõi ürgainest maailma). Kolme liiki voodite loojad (teoses "Riik"): Jumal lõi voodi-idee (kõik teised ideed ka), konkreetse
annaabi.ee 
