a a T~oestus. Eelduse kohaselt g(x) - f (x) 0, seega omadus 3 j¨argi b [g(x) - f (x)]dx 0. a 3 J¨arelduse 1 p~ohjal b b g(x)dx - f (x)dx 0, a a mis ongi v¨aiteks. Omadus 4. Funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraali absoluutv¨aa¨rtus on v¨aiksem v~oi v~ordne selle funktsiooni absoluutv¨a¨artuse m¨a¨aratud integraalist: b b
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu
-f (x) · [-g(x)] = f (x)g(x), st korrutis h(x) on t~oepoolest paarisfunktsioon. 1+x N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral f (x + T ) = f (x). Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks. Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline,
ja T rahuldab topoloogia n˜ouet 20 . Analoogiliselt n¨aidatakse, et T rahuldab topoloogia n˜ouet 30 . Seega T on topoloogia hulgal X. Hulga X k˜oigi alamhulkade hulga P(X) mis tahes alam- hulga U jaoks leidub teda alamhulgana sisaldavaid topoloo- ¨ giaid hulgal X. Uheks selliseks topoloogiaks on n¨aiteks P(X) ise. V˜ottes k˜oigi hulka U alamhulgana sisaldavate hulga X topoloogiate u ¨hisosa, saadakse teoreemi 1.1 p˜ohjal topoloogia, mis on ilmselt v¨ahim hulga X alamhulkade hulka U sisal- dav topoloogia hulgal X. Saadud topoloogiat nimetatakse U poolt tekitatud (v˜oi indutseeritud) topoloogiaks hulgal X. N¨aide 1.3 Kui A ⊂ X ja U = {A}, siis U poolt tekitatud topoloogia hulgal X on T = {∅, A, X}. 1.2 Topoloogilise ruumi baas Sageli antakse topoloogia hulgal X baasi abil. Definitsioon 1.3 Topoloogilise ruumi (X, T ) lahtiste hulkade hulka B ⊂ T nimetatakse ruumi X baasiks, kui iga
punktidele seada vastavusse reaalarvud. T~oepoolest, nullpunktist u ¨he u¨hiku v~ orra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole u ¨hiku v~orra negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule -1/2 jne. V~oib v¨aita, et igale arvtelje punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u
punktidele seada vastavusse reaalarvud. T~oepoolest, nullpunktist u ¨he u¨hiku v~orra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole u ¨hiku v~orra negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule -1/2 jne. V~oib v¨aita, et igale arvtelje punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab u ¨ks ja ainult u ¨ ¨ks arvtelje punkt. Oeldu p~ohjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab u ¨ks ja ainult u¨ks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u
-1 <
16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise. T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨ argmiseks kasutame asjaolu et v~orrand F (x, y) = 0 m¨a¨arab ilmutamata kujul funktsiooni y = f (x). Sellest tulenevalt kehtib samasus F (x, f (x)) 0 . (6.16) Kuna nullfunktsiooni tuletis v~ordub samuti nulliga, siis valemist (6.16) j¨areldub et dF
Kasutades koondamisreeglit 3.3, saame y = b - a, s.t b - a on v~orrandi a + x = b ainus lahend. 3.7 N¨ aide V~orrandi a + x = a ainus lahend on x = a - a = o, s.t nullvektor. 3.8 N¨ aide V~orrandi a + x = o ainus lahend on x = o - a = -a, s.t vektori a vastandvektor. 3.9 Vektori korrutamine nulliga Lause 6. 0a = o a V T~ oestus. T~oepoolest, o + 0a = 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a millest koondamisreegli p~ ohjal 0a = o. VI. Vektorruumid 7 3.10 Nullvektori korrutamine skalaariga Lause 7. o = o K T~ oestus. T~oepoolest, o + o = o = (o + o) = o + o millest koondamisreegli p~ohjal o = o. 3.11 Vastandvektori arvutamine Lause 8. -a = (-1)a a V T~ oestus. T~oepoolest, a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1 - 1)a = 0a = o = a + (-a) millest koondamisreegli p~ohjal (-1)a = -a. 3.12 Vektori korrutamine vastandarvuga
on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x)
on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) =. Kasutades neid valemeid arvutame: f (x)= 34) 22) a) Joone puutuja definitsioon Joone y=f(x) puutujaks punktis A nim. tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). VÕRRAND : yf(a)=p(xa) b) Tuletada joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A=(a,f(a)) 35) Valemi y - b = p(x - a) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a, f (a)) kujul y f (a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Momendil on p veel t undmatu suurus. 36) Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Olgu l~oikaja AP t~ousunurk t¨ahistatud ga. Seega on l~oikaja AP t~ous p = tan . Täisnurkselt kolmnurgalt näeme, et p = tan = . 37) m¨ooda joont y = f (x)
bmn m~olemad on (m, n)-maatriksid. Nad on v~ordsed, s.o. A = B, kui aij = bij , i Nm , j Nn . N¨aiteks valemis (1.3) maatriksid B ja C ei saa olla v~ordsed, olenemata elementidest, sest m~o~otmed (1,3) ja (3,1) pole u ¨hesugused. Definitsioon 1.8. Maatriksi A vastandmaatriksiks, t¨ ahistame -A abil, nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. ¨ Oeldu p~ohjal maatriksi (1.2) vastandmaatriksiks on -a11 -a12 . . . -a1n -a21 -a22 . . . -a2n -A := . (1.5) .......................... -am1 -am2 . . . -amn Vahetult definitsioonist 1.8 saame -(-A) = A, - = . 6 Maatriksite (1
Nad on v˜ordsed, s.o. A = B, kui aij = bij , ∀ i ∈ Nm , ∀ j ∈ Nn . N¨aiteks valemis (1.3) maatriksid B ja C ei saa olla v˜ordsed, olenemata elementidest, sest m˜o˜otmed (1,3) ja (3,1) pole u ¨hesugused. Definitsioon 1.8. Maatriksi A vastandmaatriksiks, t¨ ahistame −A abil, nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. ¨ Oeldu p˜ohjal maatriksi (1.2) vastandmaatriksiks on −a11 −a12 . . . −a1n −a21 −a22 . . . −a2n −A := . (1.5) .......................... −am1 −am2 . . . −amn Vahetult definitsioonist 1.8 saame −(−A) = A, −θ = θ.
Kasutades neid valemeid arvutame: f'(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = '(t)/ '(t) 22. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f(x) Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A
tiivsemast suurusest lahutatakse negatiivsem. Fe/Cu elemendi korral on see 0,37(0,44)=0,81 V. Summaarse reaktsiooniv~orrandi saamiseks p¨oo¨ratatakse oks¨udeerumisreaktsiooni v~orrand u¨mber ja saadud poolreaktsioonid liidetakse. Fe - Fe2+ + 2 e- Cu2+ + 2 e- - Cu Fe + Cu2+ - Fe2+ + Cu Reaktsiooni summaarse nullvoolupotentsiaali p~ohjal saab arvutada reaktsiooni G vastavalt eeltoodud valemile -G = zF Eg . YKI0020 Keemia alused Toomas Tamm 2011 S 2011/2012 18. Elektrokeemia 12 Redokspotentsiaalid Elektroodipotentsiaaliga saab iseloomustada ka muid lahuses kulgevaid redoks-
fondikogumile.13 10 [ 94] ei k¨asitle ja sama m¨argina. 11 [ 94] ei k¨asitle sama m¨argina. 12 [ 94] osutab, et m¨argi algse kuju m¨aa¨ramine on lahtine, [ 85] pakub kui algse kuju. 13 Paeguseks enam kui 90 tuhande m¨argi vektorfonte pakkuva projekti kodulehek¨ulg http://www.mojikyo.gr.jp/. 13 1.1.2 M¨ arkide ajalugu R. Imai [ 72] ja S. Mizugami [ 84] p~ohjal v~oiks m¨arkide ajaloolised kujud jagada j¨argmiselt: Vanakiri Luukiri, pronkskiri, suur u ¨markiri, v¨aike u ¨markiri; Uuskiri Orjakiri, standardkiri, kursiivkiri, kiirkiri. Toodud jaotus on paljuski tinglik. Imai [ 72, lk.52] kasutab n¨aiteks vanakirja t¨ahenduses ka u ¨markirja. Uuskiri t¨ahendab siin Qin (221205 e.m.a
Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). J.arelikult on v.aikese xi korral osakaar li ligikaudselt sirgl~oik ja joonisel 5.9 on ligikaudne t.aisnurkne kolmnurk. Seega v~oime me li pikkuse arvutamisel kasutada Pythagorase teoreemi. T.ahistades li pikkuse samuti li-ga saame li (xi)^2 + (yi)^2 Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu yi argumendi muudu xi kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange'i teoreemi (vt §3.9). Nimetatud teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (xi-1, xi) punkt pi nii, et kehtib v~ordus f(xi) - f(xi-1) = f(pi)(xi - xi-1) . Seega yi = f(pi)xi ja valemit (5.40) saab teisendada j.argmiselt: li (xi)^2 + (f(pi)xi)^2 = (xi)^2 + [f(pi)]2(xi)^2 = = 1 + [f(pi)]^2 xi . Terve joone ligikaudse pikkuse saame kui summeerime li ligikaudsed pikkused:
外 ¨ OKE LO ¨ SAGEDUS B . KANJI SHOHO 5 110 200 74 ✄ せき ぼく 会意 osast 夕・卜. 〔説文〕seletab kui o˜ htut, mil p¨aike laskunud ✂へいたん ✁Koosneb kahest ぼく 平旦 ja aeg ennustada 卜. Luukirjutiste 卜辞 p˜ohjal on 外 selgelt seotud kilpkon- ぼくほう げつ にく naluu ennustamisrituaaliga 卜法, 夕 pole seotud kuu 月, vaid lihaga 肉 viidates き lihaohvrile. Algne t¨ahendus oli ennustuseks sobiva kilpkonna 亀 kilbi k˜ohuosa 35
annaabi.ee 
