Matemaatika Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud /positiivsed täisarvud (1,2 ... ) Null ei ole naturaalarv. Tähistatakse : N Algarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on 2 tegurit 1 ja tema ise nt 3 : jagub 1'ga ja 3'ga Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q
Julia Lissovskaja matemaatika õpetaja Tartu Kutsehariduskeskus 2010 Arvuhulgad Naturaalarvude hulk Täisarvude hulk Ratsionaalarvude hulk Reaalarvude hulk Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu,
ARVUHULKADE NÄIDISKONTROLLTÖÖ 1. Missugused järgmistest lausetest on tõesed ja missugused väärad? 1) Iga naturaalarv on täisarv. 2) Iga ratsionaalarv on täisarv. 3) Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 4) Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 5) Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 6) Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7) Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 8) Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9) Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 10) Kõik täisarvud on naturaalarvud. 2. Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A = [-3; 2] ja B = [-1; 4]. Leia hulgad AB ja AB. 3. Kujuta piirkonnad arvteljel ning kirjuta juurde nimetused. 1) 1 x 4 5) x < 3 2) 3 < x 2 6) x -2 3) x < 5 7) x 1 4) x > 0 8) -1 < x < 3 4. Teisenda harilikuks murruks.
järele ainult B. 3. väär,sest kahe hulga ühendist moodustatud 2-elemendilisi arve on rohkem,kui moodustades hulgast A ja B eraldi 2-elemendilised arvud ja need seejärel ühendiks võtta. tõene,sest ühisosa on osa,mis on olemas nii hulgas A kui B. tõene,sest alamhulgaks olevasse hulka kuuluvad kõik A ja B hulga elemendid. tõene,sest iga hulk on iseenda alamhulk. 4. 920=12157665459056928801 Vastuse sain sedasi,et naturaalarve on 10,aga esimesele kohale sobib 9 arvu,sest 0ga ei saa arvu alustada. Kuna kõrvuti ei tohi olla kaks ühesugust paari,siis ka teisele kohale 20ne kohalisest arvust sobib 9 (10-1) naturaalarvu. 5. 3*2*1*3(n-3) viisil saab värvida n objekti kolme värviga nii,et iga värvi kasutatakse vähemalt korra. Esimese kolme arvuga võimaldan kombinatsiooni,et igat värvi kasutatakse vähemalt ühe korra. Edasise puhul on võimalus valida alati kolme värvi seast.
Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.) Arvud 0 ja 1 ei ole algarvud ega kordarvud. Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga
KÜMNENDMURRUD: 1. Liitmine/lahutamine: 1) Paigutame koma alla koma. Näide: 174,6 48,328 = 174,600 2) Lisame nullid. 48,328 126,272 2. Korrutamine: 1) Jätame tegurites komad esialgu tähele panemata Näide: 64,5 - 1 koht ja korrutame neid nagu naturaalarve; · 5,6 - 1 koht 2) Loeme, mitu kohta on pärast koma mõlemas teguris kokku. 3870 3) Nõnda saame teada, mitu kohta 3225 peame vastuses komaga eraldama. 361,20 - 2 kohta Vastuses hakkame kohti lugema arvu lõpust! 3. Korrutamine/jagamine järguühikutega: 1) 0,427 · 100 = 42,7 2) 0,1 · 34,67 = 3,467 3) 3 : 100 = 0,03
· kasutab digitaalseid õppematerjale (sh õpiprogramme, elektroonilisi töölehti); · tunnetab soovi ja vajaduse erinevust; · tunneb huvi ümbritseva vastu; tahab õppida; · hoiab korras oma töökohta, tegutseb klassis ja rühmas teisi arvestavalt, mõistes, et see on oluline osa töökultuurist; · oskab ohuolukordi analüüsida ning jõuab olemasolevatest faktidest arutluse kaudu järeldusteni. Arvutamine · loeb, kirjutab, järjestab ja võrdleb naturaalarve 0 10 000; · esitab arvu üheliste, kümneliste, sajaliste ja tuhandeliste summana; · loeb ja kirjutab järgarve; · liidab ja lahutab peast arve 100 piires, kirjalikult 10 000 piires; · valdab korrutustabelit; korrutab ja jagab peast ühekohalise arvuga 100 piires; · tunneb nelja aritmeetilise tehte liikmete ja tulemuste nimetusi; · leiab võrdustes tähe arvväärtuse proovimise või analoogia põhjal;
KOMBINATOORIKA 2 Kombinatoorika tegeleb üldiste meetodite ja valemite loomisega niisuguste ülesannete lahendamiseks, kus tuleb leida erinevate võimaluste arv mingis mõttes eristatavate hulkade moodustamiseks. Näiteks kui meil on vaja numbritest 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 moodustada neljakohalisi naturaalarve, siis saame neid arve eristada selles esinevate kohtade arvu järgi, aga lisaks sellele veel selle järgi, kas selles neljakohalises arvus on korduvaid numbreid, kas selles võib esikohal olla number 0, kas numbrite erinev järjestus annab erineva arvu jne. Seega on ennekõike vaja ülesande teksti põhjal määrata ühendite arvu määramise eeskirjad. Ühendeiks nimetatakse mingeist esemeist ehk elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi,
Irratsionaalarvud 2, , Reaalarvud R Imaginaararvud - 1, - 5, Kompleksarvud C 2 Naturaalarvud N = {0, 1, 2, ..., n, ...} Naturaalarvude jada on lõpmatu (igale naturaalarvule järgneb veel naturaalarve). Liites või korrutades kaks naturaalarvu, saame tulemuseks taas naturaalarvu. Seepärast öeldakse, et naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Liitmise ja korrutamise pöördtehted lahutamine ja jagamine ei ole naturaalarvude vallas alati teostatavad, s.t. võrranditel b + x = a ja b·x = a, kus a ja b on naturaalarvud, pole alati lahendit x naturaalarvude vallas. 3 Täisarvud
Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine? Objektide arvu tuvastamiseks nendele naturaalarvude omistamine on loendamine. Lõpmatu mitteloenduv ja lõpmatu loenduv hulk. Loenduv {0,1,2,.......} Mitteloenduv {7.16646...,7,16646..., ...... } kuna iga elemendi vahel on veel lõpmatult elemente. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? 1 unaarne ja 4 binaarset. Binaarsed Hulkade ühend ehk hulgaaritmeetiline liitmine, Hulkade ühisosa ehk hulgaaritmeetiline korrutamine.
võrdusmärgi. Kuna antud võrduses ei seisa pärisalamhulga märk, siis pole väide alamhulga definitsiooniga vastuolus(Kõik hulga $ elemendid kuuluvad tõepoolest ka hulka $ $ vastavalt eelnevalt näidatule). Täpsemalt öeldes on parem ja vasak pool võrdsed, kuid ka märk rahuldab vajalikke tingimusi. 20 4. Selliseid naturaalarve on 9 Põhjendus: Esimese numbri valikuks on 9 võimalust, sest arv ei saa algada nulliga, seega sobivad numbrid 1...9 ehk 9 tükki. Iga järgmise numbri valikuks on samuti 9 võimalust, sest selleks saab küll valida ka nulli(st numbreid 0...10 = 10 eri numbrit), kuid 2...20 numbrite valimisel tuleb arvestada Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 1 Olga Dalton
................................................................................................................ 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu mitteperioodiline murd (viimane ei kuulu ratsionaalarvude hulka).
hulk Q, reaalarvude hulga R omadusi; füüsikas irratsionaalarvude 2) defineerib arvu hulk I ja absoluutväärtuse; reaalarvude hulk 3) märgib arvteljel reaalarvude R, nende piirkondi; omadused. 4) teisendab naturaalarve Reaalarvude kahendsüsteemi; piirkonnad 5) esitab arvu juure arvteljel. ratsionaalarvulise astendajaga Arvu astmena ja vastupidi; absoluutväärtus. 6) sooritab tehteid astmete ning Arvusüsteemid võrdsete juurijatega juurtega; (kahendsüsteemi 7) teisendab lihtsamaid ratsionaal-
kordsetena. Kontroll. 21 ÷ 3 = 7; 156 ÷ 3 = 52 8 5. Jaguvuse tunnused Neid on vaja tunda selleks, kui tahetakse kindlaks teha, kas üks arv jagub teisega või mitte. Antud naturaalarvuga jaguvad kõik selle arvu kordsed, ükski teine arv ei jagu selle arvuga. 5.2. Jaguvus 2, 5 ja 10-ga · Arv 2 jagub 2-ga, kui ta lõpeb paarisnumbriga. Näide. 2-ga jaguvad arvud 14, 68, 174, 966, 1042, 9600 jt. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks (nt. 22, 456, 2778). Kõik ülejäänud naturaalarvud on paaritud arvud (nt. 29, 67, 185, 1969) · Arv jagub 5-ga, kui ta lõpeb 0 või 5-ga. Näide. 5-ga jaguvad arvud 85, 170, 605, 1900, 7005 jt. · Arv jagub 10-ga, kui ta lõpeb 0-ga. Näide. 10-ga jaguvad arvud 90, 760, 4000, 6030 jt. 5.3. Jaguvus 3 ja 9-ga NB! Ainult arvu kordne jagub selle arvuga. Näiteks arvud 12, 24, 45, 48, 69 ja 99
tõene Seega on tõestamiseks piisav tõestada kahe valemi tõesus: 1) 0 (induktsiooni baas), 2) [ ] (induktsiooni samm) Liitmise assotsiatiivsus Naturaalarvude liitmine on assotsiatiivne: [ + ( + ) = ( + ) + ] Tõestus: Kahe välimise üldisuse kvantori jaoks kasutame otsese tõestamise taktikat. Tähistagu ja suvalisi naturaalarve. Piisab, kui tõestame [ + ( + ) = ( + ) + ] Kasutame siin üldisuse kvantoriga väite tõestamiseks induktsiooni muutuja z järgi. Siis on vaja tõestada: o Lemma 1.1 + ( + 0) = ( + ) + 0 (baaslemma) o Lemma 1.2 [( + ( + ) = ( + ) + ) ( + ( + ) = ( + ) + )] (sammulemma) Lemma 1.1 tõestuseks rakendame kummalgi pool aksioomi P3: Vasak pool: + ( + 0) = + , Parem pool: ( + ) + 0 = + .
Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu
esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3 … }. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu.
`A=A'?" (Poincar´e 1914: I osa, ptk i). Poincar´e peab seda usku- matuks. Tema oma teooria ütleb, et leiutamise ja avastamise tun- ne matemaatikas kuulub sinna matemaatilise induktsiooni tõttu, printsiibi tõttu, et see, mis on tõene arvu 1 korral ja tõene n + 1 korral, siis kui see on tõene n korral5 , on tõene kõigi arvude korral. Ja ta väidab, et see on sünteetiline a priori printsiip. Tegelikult see ongi a priori, aga mitte sünteetiline. See on naturaalarve defineeriv printsiip, mis aitab neid eristada sellistest arvudest nagu lõpmatud kardinaalarvud, mille puhul seda rakendada ei saa (vrd Russell 1919: 27). Veel enam, me ei tohi unustada, et avastusi ei saa teha mitte ainult aritmeetikas, vaid ka geomeetrias ja formaalloogikas, kus matemaatilist induktsiooni ei kasutata. Nii et isegi kui Poi- ncar´e'l olnuks õigus matemaatilise induktsiooni osas, ei ole ta andnud rahuldavat selgitust paradoksile, et lihtlabane tautoloogia-
Igal hulgal on osahulka. 16. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on hulga kõigi osahulkade hulk. 17. Mitu elementi on n-elemendilise hulga astmehulgas? elementi. 18. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. 19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. 20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loendub, kui tema elementidele saab vastavusse seada naturaalarve {0,1,2,3,...}. 21. Mis on „loendamine“? Hulga elementidele naturaalarvude omistamine. 22. Tuua näide lõpmatust loenduvast hulgas ja lõpmatust mitteloenduvast hulgast. Lõpmatud loenduvad hulgad on naturaalarvude hulk ja täisarvudehulk . Lõpmatu mitteloenduv hulk on reaalarvude hulk . 23. Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? Millised on nende tehtemärgid? Hulga täiend ¯ Hulkade ühend ∪ Hulkade ühisosa ∩ Hulkade vahe
meile juba tuntud kujunditele, nagu ruudud, ringid, kolmnurgad, leidub ka kujun- deid, mille ümbermõõt on lõpmatu, aga pindala lõplik [lk 377]. Või näiteks tuleb välja, et kui ruumis on rohkem kui 23 inimest, siis on rohkem kui 50% tõenäosus, et kahel on täpselt samal päe- val sünnipäev [lk 407]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, ... on täpselt sama palju kui ratsionaalarve ehk arve kujus või ja nii edasi. Paljudele meeldib aga hoopis loomingulisus, meeldib vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige ras- kem märgata – kus kogu selle korra ja täpsuse vahel jääb ruumi vabadusele? Aga samamoodi nagu kindel
f :X Y . Asjaolu, et hulgad X ja Y on ekvivalentsed tähistatakse tavaliselt kas X Y või ¿ X¿Y ¿ . Näide: Kaks lõplikku hulka X ja Y on ekvivalentsed parajasti siis, kui nende elementide arvud on võrdsed. Näide: Hulgad N ja Y ={2,4,6,... } on ekvivalentsed. Bijektsiooniks f : N Y on f (n)=2 n iga nN korral. Teisisõnu, paarisarve on täpselt sama palju kui naturaalarve. Näide: Hulga N ja täisarvude hulga Z vahel saab üksühese vastavuse üles seada järgmise funktsiooni f : N Z abil, kui defineerida: x-1 -x f ( x)={ , kui x on paaritu arv ,kui x on paarisarv 2 2 Seega, täisarve on sama palju kui naturaalarve. Näide: Olgu a , b , c ,d R
.........................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu mitteperioodiline murd (viimane ei kuulu ratsionaalarvude hulka).
peale 1 ning tema enda. *Algarv on selline ühest suurem naturaalarv n, mille ainsateks positiivseteks teguriteks on arvud 1 ning tema ise. Algarvud: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.... Kordarvud: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.... *Esiteks, algarve on naturaalarvude hulgas lõpmata palju. *Algarvude jaotus kohta on teada, et neid leidub naturaalarvude hulgas suhteliselt korrapäratult. Mõningates vahemikes leidub naturaalarve oluliselt rohkem kui mõningates teistes vahemikes. Korrapärade otsimine algarvude jaotuses on teadlastele huvi pakkunud sajandeid: neid on paiknevuse järgi kujutatud erinevatele graafikutele jne. Seaduspära või tsüklit pole aga siiani leitud. *Huvitava korrapärana algarvude hulgas paistavad silma nn. algarvude kaksikud e. teatud vahega leiduvad naturaalavude hulgas N sellised algarvud, mis on justkui ,,paarilised" (nende vahe on 2). *Algarvulisuse kontroll: a)
Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult (lõpmatult) palju elemente. I { . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . . } ja { 0, 1, 2, 3 . . . } on lõpmatud hulgad. A B Hulk on loenduv , kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0, 1, 2, 3 . . . } Iga lõplik hulk on alati ka loenduv. A∩B ühisosa Naturaalarvude hulk N ise ja täisarvude hulk Z on — hulkade VAHE ( hulgaaritmeetiline lahutamine ) Lõpliku hulga A võimsuseks | A | nimetatakse tema elementide arvu .
sustest. 2.1 Koonduvad jadad 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused Arvjadaks (sequence, последовательность) nimetatakse reaalarvuliste väärtustega funkt- siooni x, mille määramispiirkond on kõigi naturaalarvude hulk N. Selline funktsioon x : N → R seab igale naturaalarvule n vastavusse reaalarvu x (n), mis tavaliselt kirjutatakse kujul xn . Neid funktsiooni väärtusi xn nimetatakse arvjada x liikmeteks, naturaalarve n ∈ N aga indeksiteks. Arvjada x ennast tähistame sümboliga (xn ), vajaduse korral märgime juurde indeksite määramispiirkonna, näiteks (xn )n∈N või (xn )∞ n=1 . Tihtipeale kasutame ka tähistust (x1 , x2 , . . .). Tavaliselt ütleme arvjada asemel lihtsalt jada. Mõnikord on kasulik võtta jada indeksite hulgaks N0 = N∪ {0}, sel juhul saame jada (x0 , x1 , x2 , . . .). Definitsioon. Ütleme, et jada (xn ) on tõkestatud (bounded, ограниченная), kui tema
terminite mahud pole tühjad, süllogism on kehtiv ja korrektne. Eelduste vahetamise probleemi käsitletakse pikemalt entümeemi peatükis. 9 b) Demonstratiivne süllogism Alljärgnevas lõigus vaadeldakse üksnes korrektseid süllogisme. Võrdleme kahte süllogismi. 1) Kõiki objekte, mis koosnevad osadest, saab osadeks lammutada. Kõik ainelised objektid koosnevad osadest. Järelikult on igasugune aineline objekt osadeks lammutatav. 2) Kõiki ainelisi objekte saab ruumis liigutada. Naturaalarve ei saa ruumis liigutada. Järelikult pole naturaalarvud ainelised objektid. Mõlemad süllogismid on korrektsed, ent esimene mõjub veenvamalt kui teine. Mis seda tingib? Küsimus on keskterminis. Kuna kesktermin läheb lõppjärelduses kaduma, siis on raske märgata kesktermini tähtsat rolli. Esimeses süllogismis on keskterminiks „osadest koosnev”. See on ka põhjus, miks saab midagi osadeks lammutada. Teises süllogismis on keskterminiks „ruumis liigutamist võimaldav”
9 b) Demonstratiivne süllogism Alljärgnevas lõigus vaadeldakse üksnes korrektseid süllogisme. Võrdleme kahte süllogismi. 1) Kõiki objekte, mis koosnevad osadest, saab osadeks lammutada. Kõik ainelised objektid koosnevad osadest. Järelikult on igasugune aineline objekt osadeks lammutatav. 2) Kõiki ainelisi objekte saab ruumis liigutada. Naturaalarve ei saa ruumis liigutada. Järelikult pole naturaalarvud ainelised objektid. Mõlemad süllogismid on korrektsed, ent esimene mõjub veenvamalt kui teine. Mis seda tingib? Küsimus on keskterminis. Kuna kesktermin läheb lõppjärelduses kaduma, siis on raske märgata kesktermini tähtsat rolli. Esimeses süllogismis on keskterminiks ,,osadest koosnev". See on ka põhjus, miks saab midagi osadeks lammutada. Teises süllogismis on keskterminiks ,,ruumis liigutamist võimaldav"
annaabi.ee 
