Näide 1: Tõestan, et funktsioon y=x2 on pidev mistahes punktis xo. Tõepoolest: yo = (xo)2, y + y= (xo + x)2, y + y= (xo + x)2 (xo)2 = 2 x xo + x2 , mil viisil x nullile ka ei läheneks. Uurides analoogiliselt kõiki elementaarseid põhifunktsioone, saab tõestada, et iga elementaarne põhifunktsioon on on pidev punktis, milles ta on määratud. Pidevuse tunnus: f(x) arv; ; lim y=0 Pideva funktsiooni korral lõpmata väikesele argumendi muudule vastab lõpmata väike arv. 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule
Algul leian 2 tuletist: Tõestada ka mat. Induktsiooniga: 1)n=n 2)n=n+1 N. 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist. dny=d(dn-1 y) N. Leian f-ni y=f(x) muudu , mis vastab argumendi muudule kohal x: Funktsiooni diferentsiaalid: Lause 1. Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga ja nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ja funktsiooni diferentsiaal ekvivalentsed suurused piirprotsessis Juhul kui y=x saame dy=dx=1, siis on tavaks argumendi x muutu nimetada argumendi diferentsiaaliks ja tähistada sümboliga dx. seega See tähendab, et funktsiooni diferentsiaal kohal x võrdub funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali dx korrutisega. N
L'Hospital-. Algfunkt-F(x) hulgas X, kui F'(x)=f(x) hulgas X. Määramata integraal-F(x) +C(suvaline konstant), tähistat . Omadused:, 2 funkt summa määramata integr=nende funkt määra. Integ summaga; kui a on konstant, saab selle integr märgi ette tuua;2 funkt vahe määramata integr=f määram integr vahega. Asendusvõte(määratud)-muutujavahetuse võte, on pidev ja integreeruv . Ositi-kasut, kus intregeeritavaks on . Määratud integ-lõigul , mis vastab argumendi muudule . Newton-Leibniz-vahelüli määratud ja määramata integr vahel. . Määratud om: sama määramataga, kui vahetada rajad, siis muutub märk vastupidiseks. Kujundi S-f(x)0 lõik, siiis trapets on ülalt piiratud joonega y=f(x), alt x-telg, vasak ja parem sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente. Lahend-f y=y(x), mis y'võrrand muudab samaks muutuja x suhtes
Funktisooni pidevuse tingimus punktis A: limx0u=0 Kui eksist piirväärtus limxi0xiu/xi, siis nim seda funkt-i u=f(x1,...,xn) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xi (1in) järgi ja tähistatakse f(x1,...,xn)/xi, st f(x1,...,xn)/xi=limxi0xiu/xi . Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xi järgi võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Funkts-i f(x,y) nim diferentseeruvaks punktis A(a,b), kui argumendi muudule (x,y) vastav funktsiooni muut on f=f/x(a,b)x+ f/y(a,b)y+(x,y), kus (x,y) on vektori (x,y) pikkuse suhtes lõpmata väike suurus piirprotsessis (x,y)(0,0) Funkts-i u=(f(x1,...,xn) nim diferentseeruvaks punktis A(a1,...,an), kui argumendi muudule x=(x1,...,xn) vastav funkts-i muut on u=f/x1(A)x1+...+ f/xn(A)xn+(x), kus (x) on vektori x pikkuse suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus piirprotsessis x(0,...,0) Suurust df=f(x,y)/x dx+f(x,y)/y dy, kus dx=x ja dy=y, nim funkts-i f(x,y)
Def.7' Arvu nim funi w=F(P) piirväärtuseks kohal A kui iga E>0 korral leidub arv >0 nii, et |f(P)-|
kui =90, siis ringjoon ja kui 0< <90, siis kurvijoon) 3. Elektromagnetilise induktsiooni(EI) nähtus ja näide koos seletustega: Elektromagnetilise induktsioon nähtus seisneb selles, et muutuv magnetvoog põhjustab suletud kontuuris elektrivoolu tekke. Ev-u suund sõltub sellest, missuguse suunaga on manetväli, samuti ka, kas kontuuri läbiv magnetvoog kasvab või kahaneb. Valem: =- (/t), kus =magnetvoo muut, t=sellele muudule vastav aja muut. Näide: magnetväljas pöörlevas juhtivast materjalist kontuuris tekib induktsioonvool. Magnetvälja tugevus ei muutu, küll aga muutub magnetvoog läbi kontuuri, mis tekitabki voolu. EI nähtuse avastas Faraday ja tema järgi on nime saanud ka induktsiooni seadus. EI nähtusel on tänapäeval lugematu hulk rakendusi: andmete taasesitamine (kassett, kõvakettas jne.), mikrofon, induktsioonahjud, generaatorid... 4. Induktiivsus:
malmil jääkdeformatsioone ei esine, kuna malm puruneb. Malm on heade valuomadustega ning seejuures ka odavam kui teras, mistõttu tihti on masinate korpused ja kered valatud malmist. Malmil on ka omadus summutada lööke. [1],[2] Materjali karakteristikud: Normaalelastususmoodul E Materjali jäikust iseloomustav Hooke'i seaduse võrdetegur. Et E=/, siis elastsusmooduli leidmiseks tuleb registreerida mingile moonde muudule vastav pinge muut . Voolepiir y Pinge, mille juures toimub materjali oluline plastne deformeerumine, voolamine, ilma jõudu suurendamata. Diagrammil väljendub see vooleastmena, mis võib olenevalt terase omadustest omandada mitmesuguse kuju. Nii algab paljudel madalsüsinikterastel vooleaste hambaga. Sel juhul eristatakse ülemist voolepiiri y,ül - suurimat pinget enne vooleastme
Kõrgemat järku diferentsiaal: Funktsiooni y=f(x) njärku ehk nndaks diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni (n1)järku n n1 diferentsiaalist, s.t. d y=d(d y) Geomeetriliselt tähendab funktsiooni diferentsiaal f´(x)△x punktis (x, f(x)) funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja punktsi ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule △x. 15. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x ∈(xδ,x) ja x 1 ∈(x,x+δ) korral
katkevaks funktsiooniks punktis x0, kusjuures punkti x0 nim. funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. DEF 3. Punkti x0 nim. funktsiooni f(x) esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis x0 funktsiooni f(x) ühepoolsed lõplikud piirväärtused DEF 4. Funktsiooni f(x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki nim. selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. DEF 5. Suurust x =x- x0 nim. argumendi muuduks ehk argumendi kasvuks ja suurust y=f(x)-f(x0)= f(x0+x)-f(x0) ning argumendi muudule x vastavaks funktsiooni y=f(x) muuduks ehk kasvuks punktis x0 DEF 6. Funktsiooni y=f(x) nim. pidevaks paremalt punktis x0 , lim y=0, piirprotsessis x- >0+ ja vasakult pidevaks punktis x0, kui lim y=0, piirprotsessis x->0-. DEF 7. Öeldakse, et funktsioon f(x) on pidev hulgal X c R, kui f(x) on pidev hulga X igas punktis. Fakti, et f(x) on pidev hulgal X tähistatakse lühidalt f(x) C(X). 1.8 Joone asümptoodid DEF 1
Joonis 8. Punktis x0 pideva funktsiooni f(x) korral Joonis 9. Piirväärtuste arvutamisel võivad ette tulla nn. määramatused. Need on järgmised: ; ; 0*∞; ∞ - ∞; ; ; Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile (kui see piirväärtus on olemas). Olgu meil funktsioon y=f(x) Joonis 10. ∆x – argumendi x muut ∆y – argumendi x muudule ∆x vastav funktsiooni muut ∆y = f (x+∆x) – f(x) Tuletise tähised: y ´ ; yx´ ; f´(x) ; (diferentsiaal) ; Tuletise definitsioon sümbolites: ∆y f ( x +∆ x )−f (x ) y ´ = lim = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆x Funktsiooni tuletise leidmist nim. diferentseeruv kui on olemas f ´(a). Kui funktsioon f(x) kirjeldab mingit protsessi (liikumist), siis selle funktsiooni
Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost fxx (a,b) fyy (a,b) f2xy (a,b) > 0 & fxx (a,b) < 0 punktis S(a,b) on lokaalne maksimum, ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. fxx (a,b) fyy (a,b) f2xy (a,b) > 0 & fxx (a,b) > 0 punktis S(a,b) on lokaalne miinimum. Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse diferentseeruvaks kohal (x,y), kui argumendi muudule (x, y) vastav funktsiooni muut z=f(x + x,y + y)-f(x,y) on esitatav kujul z=fx(x,y) x + fy(x,y) y + Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse Kus on kõrgemat järku lõpmata väike suurus võrreldes vektori (x, y) pikkusega (x, y) 2 piirprotsessis (x, y) (0,0). integraali geomeetriline sisu
𝑖𝑘𝜋𝑥 𝑖𝑘𝜋𝑥 koordinaadile xi (1 ≤ i ≤ n) muudu ∆xi . Olgu koordinaadi xi muudule ∆xi vastav funktsiooni muut ∆∆xiu def = f (x1, . . . , teiste sama süsteemi järgi moodustatud ortonormaalridade n-järku osasummadega. Valides 𝑎𝑘 = 𝑑𝑘 , saame seosest Funktsiooni f ϵ L2 [-l, l] Fourier' rida selle süsteemi järgi on kujul: 𝑓(𝑥)~ ∑𝑘∈𝑍 𝑐𝑘 𝑒 𝑙 = ∑𝑘∈𝑍 𝑐𝑘 𝑒𝑥𝑝 𝑙 , kus 𝑐𝑘 =
IO ACFt tulumaksujärgsed rahavood per. t IO - projekti esialgs. kulud (invest.) k - kapit. hind (nõut. tulumäär e. diskontomäär) IRR - sisem. rent. (diskontom., võrdsust. proj. PI - kasumindeks (proj. rahav. nüüdisv. esialgs. esialgs. kulud tulev. rahav.nüüdisv. ) kulude 1 kr. kohta) Y - telg NPV muut vast teguri muudule NPV ajald. puhasmaksum. X - telg teguri % muut n - projekti oodatav kestus Sens - hind, müügim., proj. kestus Sens2 - WACC, F, IO, proj. MK k=0%: CF(n) - IO IRR = IO/CF k=10%: CF(k) - IO IRR (%) = (PVIFA5;?%) ( EBIT - I1 ) * (1 - T ) - PD = ( EBIT - I 2 ) * (1 - T ) - PD Ks =
arvutamisel kasutada valemit 1. Olgu y = arcsin x , pöördfunktsioon on x = sin y ( arcsin x ) = 1 = 1 ( sin y ) y cos y cos y = 1 - sin 2 y = 1 - x 2 ( arcsin x ) = 1 2 1- x Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus Kui funktsioonil y=f(x) on punktis x lõplik tuletis y'=f'(x), siis on funktsiooni muut f, mis vastab argumendi muudule x, esitatav kujul y=f'(x)x+(x), ja vastupidi. Avaldist f'(x)x nim funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga df=f'(x)x. on lõpmata väike arv. Seega on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni muudu osa, mis on lineaarne argumendi muudu suhtes ja erineb funktsiooni muudust suuruse võrra, mis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu.
erinevad kaduvvähe (võib lugeda võrdseteks): väikseim rõhu muutus võib muuta paisumise suunda. Mittepöörduv protsess – kui sise- ja välisrõhk erinevad märkimisväärselt Soojus (q) – energiahulk, mis kandub üle temperatuurierinevuse tõttu. Energia liigub soojusena soojemalt kehalt külmemale, kuni temperatuurid võrdsustuvad. Kui energia kandub üle ainult soojusena, vastab see siseenergia muudule: U = q soojenemisel on q positiivne, jahtumisel negatiivne Eksotermiline protsess – protsess, milles energia liigub süsteemist keskkonda. Kui energia neeldub süsteemis, on tegu endotermilise protsessiga. Soojusmahtuvus (C) – sama soojushulga saamisel muutub eri ainete temperatuur erineval määral, iseloomustab seda määra: suuremal kehal on suurem soojusmahtuvus C = q/T Konkreetset ainet iseloomustab erisoojusmahtuvus e erisoojus: Cs = C/m, m on keha mass
n| x=> y=y' x+ n x; y-f-ni muut; y' x-f-ni diferentsiaal; n x- kõrgemat järku lõpmata väikesed suurused. *Def F-ni diferentsiaaliks nim f-ni muudu peaosa. Nt dy=y' x; y=x, y'=x'=1 dy= y' x=1 x=dx=> dy= y'dx. *Argumendi enda dif on võrdne argumendi enda dif-ga: y'=dy/dx.*Dif geom. Tõlgendus:JOONIS! Y'=tan , PRS: dy=y' x=tan * x=SR/PR*PR=SR=> dy=SR *Järeldus: F-ni dif isel joone puutuja punkti, ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x 18. Dif arvutuse põhiteoreeme 1)Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f'(c); JOONIS! PQR:tan =QR/PR => lõikaja e(P,Q) *Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle'i teoreem: Olgu
( ) x y lim = lim [ ( x ) + ( x ) ] + ( y ) =0 0 0 0 0 x = cos 1 y = sin 1 M.O.T.T. Diferentsiaali geomeetriline tähendus Funktsiooni z = f ( x, y ) diferentsiaal on geomeetriliselt võrdne z-muutuja muuduga puutujatasandil, mis vastab argumentide muudule x ja y. Teoreemi 4.1 kohaselt z z dz = x + y x y z z Võtame z = x , siis = 1, =0 x y dz = dx = 1x + 0y = x dx = x z z Samuti, kui z = y , siis =0, = 1 ja dz = dy = y x y Järelikult z z dz = dx + dy (4.4) x y n-muutja funktsiooni u = ( x1 , x 2 ,..., x n ) diferentsiaal avaldub kujul
Võib olla loomulik või kunstlik. Kehakaal, kasv. Kitsas piiris muutuvad tunnused juuksekarva läbimõõt, vere pH, vererühm, sõrmejälg, silma võrkkesta muster. Põllumajanduslikud loomad: lehmad laias piiris muutuv tunnus aastane väljalüps (+/- 3 000 kg). Piima biokeemilsid näidud muutuvad väikeses piiris. Muutumatud tunnused: vererühmad, immuunsusfaktorid. Kasulikud ja kahjulikud tunnused: 1) kasulikud varjevärvuse muutumine vastavalt keskkonnatingimuste muudule. Muutused ei toimu hetkega. Kõik tingitud refleksid. Loomade lisatoitmiskohtade külastamine. Tihased eelistavad rasvarikast toitu kuid suudavad selle oskuse ülekanda ka uude situatsiooni: tihased toitusid Inglismaal piimapudelistest. 2) Kahjulikud tunnused arenguhäired, mis alandavad toimetulekuid keskkonnas moondunud jäsemed, mille abil liikumine on raskendatud. Jäävad püsivigastused halvasti kokkukasvanud luumurrud.
-2 -4 -6 -8 Definitsioon 5. Suurust x = x - x0 nimetatakse argumendi muuduks ehk argu- mendi kasvuks ja suurust y = f (x) - f (x0 ) = f (x0 + x) - f (x0 ) nimetatakse argumendi muudule x vastavaks funktsiooni y = f (x) muuduks ehk kasvuks punktis x0 . Lause 1. Funktsioon f (x) on pidev punktis x0 parajasti siis, kui lim y = 0, x0 st f (x) C(x0 ) lim y = 0. x0 T~ oestus. Funktsiooni pidevuse definitsioonis esinevale kolmandale tingimusele on antav kuju
9,78N/kg ja Kuul 1,6 N/kg Suurus mass väljendab keha inertsust tema omadust osutada suuremat või väiksemat vastupanu tema kiirendamisele jõu toimel. 31.10.2011 3 Kiirendus Kui keha kiirus muutub (suureneb või väheneb) võrdsetes ajavahemikes võrdsete suuruste võrra, siis on liikumine ühtlaselt muutuv. Kiiruse muudu v ja sellele muudule vastava ajavahemiku t suhet nimetatakse kiirenduseks a = v/t Kui liikumahakkava auto kiirus kasvab igas sekundis 2m/s, siis on tema kiirendus a = 2m/s : 1s = 2 m/s×s = 2 m/s 2 31.10.2011 4 Jõud Kui keha on paigal saab ta liikuma hakata ainult jõu mõjul, kui keha liigub, siis saab ainult jõud tema kiirust suurendada või vähendada
piirv¨a¨artus argumendi muudu l¨ahenemisel 0-le v~ordub 0-ga, st lim y = 0 (1.7) x0 1.2.9 Elementaarfunktsioonide pidevus Tingimuse (1.7) abil saab kontrollida p~ohiliste elementaarfunktsioonide pi- devust. Alustame funktsioonist y = x2 . Fikseerime suvalise argumendi v¨a¨artuse x R ja anname argumendile muudu x. Funktsiooni muut, mis vastab sellele argumendi muudule, on y = (x + x)2 - x2 = 2xx + x2 ja lim y = lim (2xx + x2 ) = 0, x0 x0 st pidevuseks tarvillik ja piisav tingimus on t¨aidetud, u ¨ksk~oik milline argu- mendi x R v¨a¨artus fikseerida. J¨arelikult on funktsioon y = x2 pidev kogu m¨a¨aramispiirkonnas. Teiseks kontrollime funktsiooni y = sin x pidevust. Siinusfunktsioon on
annaabi.ee 
