Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni lokaalsete eksteemumite piisavad tingimused: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy-teljestikus. Eeldame, et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv
Funktsiooni kriitiline punkt Funktsiooni argumendi väärtused, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles puntkis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (II) Olgu funktsiooni f kriitiline punkt selline, et 1. Kui siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum 2. Kui siis on funksioonil punktis lokaalne miinimum 8. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 9.
Funktsioonil voib olla selliseid kriitilisi punkte kus ekstreemumeid ei ole. 3. Sõnastada ekstreemumi olemasolu piisav tingimus. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. Kui labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muu- tub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga labides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise mark muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II Olgu f (x ) = 0. Kui f (x ) < 0 siis on funktsioonil f punktis x lokaalne maksimum. Kui aga f (x ) > 0 siis on funktsioonil f punktis x lokaalne miinimum. 4. Defineeriada millal on f(x) graafik on lõigul [a;b] kumer (või nõgus). 1. Kui f (x) > 0 iga x (a,b) korral siis joon y = f(x) on nogus vahemikus (a,b). 2
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus: Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum, siis on selle funktsiooni kriitiline punkt. Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused: Olgu funktsiooni kriitiline punkt. 1. Kui läbides punkti vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbides punkti vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni kriitiline punkt selline, et = 0. 1. Kui < 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum. 2. Kui > 0, siis on funktsioonil punktis lokaalne miinimum. 24) Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon.
Värv- tugeva vastastikmõju laeng Kvargid on kolmekaupa koos, sest neil on lisaks elektrilaengule veel üks täiendav laeng, milles seisnebki nende tugev vastastikmõju. Tugevat laengut nimetataksegi värvilaenguks, sest nii nagu värvuste hulgas on kolm võrdväärset põhivärvust, nii on kvarkide jaoks võimalikud kolm erinevat tugevat laengut. Niisiis, värvilaengute tähistamiseks ei aita ainult kahest märgist- plussist ja miinusest, vaid vajame kolme märki. Võime nimetada neid nii: P- punane, K-kollane ja S-sinine. Nii katsed kui ka vastav teooria kinnitavad, et igas iseseisvas elementaarosakeses peab olema korraga kõik kolm erinevat värvi. Reegel on , et kõik elementaarosakesed on valged. Ka värviteleri ekraan on valge ainult siis, kui kõik värvitäpid helendavad võrdselt. Kuna üks kvark kannab korraga ainult üht värvi, siis peabki elementaarosakeses olema kolm kvarki
punktideks. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f’(x1) = 0. Kui f’’(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f’’(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta)
See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x 1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 27. NÕGUSA JA KUMERA JOONE DEFINITSIOONID. NÕGUSUSE JA KUMERUSE SEOS TEIST JÄRKU TULETISE MÄRGIGA. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus
Fermat’ teoreemi põhjal on diferentseeruva funktsiooni lokaalses ekstreemumis selle funktsiooni tuletis võrdne nulliga, st tegemist on statsionaarse punktiga. Lokaalsete ekstreemumite väljaselekteerimiseks tuleks jälgida tuletise märki statsionaarsest punktist vasakul ja paremal. Kui statsionaarse punkti läbimisel muutub tuletise märk plussist miinuseks, siis esineb vaadeldavas punktis lokaalne maksimum. Kui aga statsionaarse punkti läbimisel muutub tuletise märk miinusest plussiks, siis esineb vaadeldavas punktis lokaalne miinimum. Kui tuletis statsionaarse punkti läbimisel märki ei muuda, siis vaadeldavas punktis lokaalset ekstreemumit ei ole. 10. Kuidas leitakse funktsiooni suurim ja vähim väärtus lõigul? Funktsiooni f suurima (vähima) väärtuse leidmiseks lõigul [a, b] tuleb 1) leida funktsiooni statsionaarsed punktid vahemikus (a, b) ja arvutada funktsiooni väärtused neis punktides; 2) arvutada f(a) ja f(b);
kahanemisega või vastupidi. c. Funktsiooni lokaalsete ektreemumite piisavad tingimused c.1. Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbides punkti xvasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui aga läbides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussisks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. c.2. Olgu funktsiooni f kriitiline kunkt x selline, et . Kui , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne maksimum. Kui , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne miinimum. d. Piisavate tingimuste põhjendused Vihikus olev näide. 31. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. II - Olgu funkt- siooni f kriitiline punkt x1 selline, et f0(x1) = 0. Kui f00(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f00(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused. 31. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Oeldakse, et joon y = f(x) on n~ogus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja t~ous suureneb
Kui funktsioonil y = f(x) on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus 1. Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 17. Joone kumerus, nõgusus ja käänupunktid (tarvilik tingimus, piisav tingimus). Kumerus. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) kumer ehk kumer üles (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) nõgus ehk kumer alla (), kui selle vahemiku
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I d.i. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt d.i.1. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. d.i.2. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum e. Lokaalse ekstsreemumi piisav tingimus II e.i. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f`(x1)=0 e.i.1. Kui f``(x1) < 0, siis on funktsioonnil f punktis x 1 lokaalne maksimum e.i.2. Kui aga f``(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne
Kui funktsioonil f on punktis lokaalne ekstreemum, siis on selle funktsiooni kriitiline punkt. Kuigi igas kriitilises punktis ei pruugi ekstreemumit olla. Teoreem Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui läbitakse punkti vasakult paremale ja funktsiooni märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles puntkis lokaalne miinimum. Teoreem Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (II) Olgu funktsiooni f kriitiline punkt selline, et 1. Kui siis on funktsioonil punktis lokaalne maksimum 2. Kui siis on funksioonil punktis lokaalne miinimum 31. Nõus joon Joon on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Teoreem
See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x 1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Vaata lk 90 joonist 4.2! Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete
25.Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = punktis lokaalne maksimum. f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil f(c) = 0. selles punktis lokaalne miinimum.Vaata lk 90 joonist 4.2! Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0.
Andres Laar 2008 2007 OMAKÄIBEVAHENDID Omakäibevahendid = ettevõtte stabiilsuse mõõdupuu Omakäibevahendid = käibekapital Omakäibevahendid = käibevara lühiajalised kohustused Näitaja peaks olema positiivne Mis juhtub siis, kui see näitaja on pikka aega miinuses? Mis päästab miinusest? Selgituseks: sageli nimetatakse käibevara ka jooksvateks aktivateks ja lühiajalisi kohustusi jooksvateks passivateks. Andres Laar 2008 2007 EBITDA EARNINGS BEFOR INTREST, TAX, DEPRECIATION & AMORTISATION TULU ENNE INTRESSE, MAKSE, KULUMIT & LAENUDE TAGASIMAKSEID Andres Laar 2008
Sellest tingimusest ei piisa lokaalse ekstreemumi jaoks. Lokaalsed ekstreemumid on punktid, kus funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastupidi. Funktsiooni lokaalsete ektreemumite piisavad tingimused 1.Olgu x funktsiooni f kriitiline punkt. 1. Kui läbides punkti xvasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2. Kui aga läbides punkti x vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussisks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 2.Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x selline, et f ' (x )=0 . Kui f ' ' ( x )< 0 , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne maksimum. Kui f '' ( x )>0 , siis funktsioonil f punktis x on lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused 31. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga. Selles seose põhjendus. Joone käänupunkti definitsioon
Seevastu neljandas ekstreemumpunktis koordinaatidega (d, f(d)) ei ole graafik sile, seega f 0 (d) puudub. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused . I - Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. II - Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f0(x1) = 0. Kui f00(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f00(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Piisavate tingimuste põhjendused. Näiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f 0 > 0 ja peale kriitilist punkti f 0 < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid
Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste pohjendused. Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. N.aiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti f < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid. Graafikutel 1 ja 3 on enne kriitilist punkti f < 0 ja peale kriitilist punkti f > 0. J.arelikult on neil graafikutel kriitilistes punktides miinimumid. Seevastu graafikutel 5 - 8 toodud kriitilistes punktides tuletis m.arki ei muuda.
74 Lisa 2 järg oleks ka juba midagi olnud. Kuigi ma ütleks, et see on väär arvamus, sest külalislahkust saab pidevalt edasi arendada. See on lühidalt taustsüsteem ja ma näen väga ohtlikke tendentse tegelikult Pärnu jaoks. Viimased 68 aastat Pärnu mõnuleb muretult ja laseb vanal rasval liugu. Mind huvitab selle situatsiooni juures see, et kuidas sellest nullpunktist või miinusest või kaosest kuhugi jõuda. Ma ei ütleks, et seis on lootusetu, aga ikkagi selline seis, kus erinevad huvigrupid ei oska kokku leppida isegi põhimõttelistes asjades: mida me selle kuurordipärandiga teeme, kas paneme ta muuseumisse kappi ütleme, et olid sellised ajad, tehti nalja, tehti pulli, kergelt võeti Pärnut kui turismilinna. Visioonikonverentsil olid ka arvamusliidrite videoklipid tehtud, kus olid arvamusavaldused Pärnu kohta. Enam-vähem kõik jõudsid selleni, et
punkt on miinimimpunkt. Seega v~oime s~onastada j¨argmise v¨aite: Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funkt- siooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨ abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub 89 miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. N¨aiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti f < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid. Graafikutel 1 ja 3 on enne kriitilist punkti f < 0 ja peale kriitilist punkti f > 0. J¨arelikult on neil graafikutel kriitilistes punktides miinimumid. Seevastu graafikutel 5 - 8 toodud kriitilistes punktides tuletis m¨arki ei muuda.
punkt on miinimimpunkt. Seega v~oime s~onastada j¨argmise v¨aite: Teoreem 4.3 (Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I). Olgu x1 funkt- siooni f kriitiline punkt. 1) Kui l¨abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ ark muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga l¨ abides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise m¨ark muutub 89 miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. N¨aiteks joonisel 4.2 toodud graafikutel 2 ja 4 on enne kriitilist punkti f > 0 ja peale kriitilist punkti f < 0. Seega on neil graafikutel kriitilistes punktides maksimumid. Graafikutel 1 ja 3 on enne kriitilist punkti f < 0 ja peale kriitilist punkti f > 0. J¨arelikult on neil graafikutel kriitilistes punktides miinimumid. Seevastu graafikutel 5 - 8 toodud kriitilistes punktides tuletis m¨arki ei muuda.
annaabi.ee 
