), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik.Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti. Algebraline täiend
sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente. Lahend-f y=y(x), mis y'võrrand muudab samaks muutuja x suhtes. I järku DV-F(x,y,y')=0, x-argum, y-otsitav, F 3 muutuja f. Lin DV-y'+p(x)y=g(x), kus p(x), g(x) on teatavad f-id. Kron-Cap teoreem-lin VS on lahenduv kui maatriks ja laiend maatr on =. Maatr astak-leidub r-järku0 erinev miinor, kuid mitte kõrgemat miinorit, siis maatr astak on r. Maatr- arvuliste elementidega tabel, n-rida, m-veerg. Liitm-liidetavate suurused =. A+B=) +)=()+). Korrut-AxB, A veergude arv=B ridade arvuga. Kor arvuga-maatriksi skalaararvuga k, mille element algmaatriksi korrut selle arvuga.Alamdet-= . Gramer-D, Dx/D=x
· Maatriksi korrutamine. Korrutada saab ainult selliseid maatrikseid, mille puhul esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga. Am*n*Bn*p=Cm*p; Maatriksi korrutamine ei ole kommutatiivne. A*BB*A Kui maatriksis leidub vähemalt 1 nullist erinev r-järku miinor ja mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. r=rank A Maatriksi astakut määravat miinorit nim baasimiinoriks. Baasimiinorid ei ole üheselt määratud. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori on vektoritena lineaarselt sõltumatud. Et leida maatriksi astakut teisendatakse maatriksit nii, et ta kõrgemat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi. * maatriksi rea korrutamine nullist erineva teguriga; * maatriksi ühele
Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) öeldakse, maatriksi astak on r. reaalarvud, nimetatakse vektorite järgi Maatriksi astaku hõlpsamaks a1, a2, . . . , ak lineaarseks l. omadus. leidmiseks teisendataks maatriksit kombinatsiooniks. Kui vektor on
· ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali
determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi.
determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine. Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi.
I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi elementaar-teisendusi. Need on: 1. maatriksi rea/veeru korrutamine nullist erineva teguriga a; 2.
6 7 8 esimene rida jääb välja 0 2 2 4 M23 = 6 7 M31 = 3 5 (jääb välja 2-ne rida ja 3-s veerg) Elemendi aij alamdeterminandiks (Dij) nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga ,,+", kui elemendi asukoha indeksite summa on paarisarv, ja märgiga ,,-,, kui ta on paaritu arv. Dij = (-1)i+j (paarisastmel on tulemus ,,+"-ga ja paaritu astmel on see ,,-,,-ga) 0 2 4 3 5 A= 1 3 5 D11 = 7 8 = 3*8 7*5 = 24-35 = -11 6 7 8 (1+1=2 paarisarv)
selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi,
selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi,
Maatriksite liitmisel ja lahutamisel peavad maatriksite järgud olema samad. Maatriksi A veergude arv peab olema sama kui maatriksi B ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, 2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine, 3
2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmtx, st AB=I=BA ja AC=I=CA, siis mtxkorrutise assotsiatiivsuse tõttu
66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine. Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67.vabad tundmatud – LVS-is olevad fikseeritud reaalarvus, mis ei ole tundmatute kordajateks 68.Maatriksi astak- Öeldakse, et maatriksi A astak on r, kui selle maatriksi elementidest saame moodustada vähemalt ühe nullist erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi nullist erinevat (r+1)-järku miinorit. 69.maatriksi rea juhtelement - nimetatakse selle rea (vasakult) esimest ≠ 0 elementi. Veergu milles juhtelement asetseb, nim juhtelemendiks. 70.treppkujuline maatriks – Ütleme, et maatriks on treppmaatriks, kui on täidetud järgmised tingimused: read, mis koosnevad nullidest, asetsevad maatriksi põhjas mistahes rea juhtelement asetseb rangelt vasakul temale järgneva rea juhtelemendist 71
0 2 5 3 13 - 16 det ( A B ) = = 13 6 - (-16) 10 = 78 + 160 = 238, 10 6 det A det B = 14 17 = 238. det ( A B ) = 238 = det A det B = 238. Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega. n järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i nda rea ja j veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor, ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg. Näide 10 : 1 0 M 11 = 7, M 12 = 2, M 21 = 0, M 22 = 1 . 2 7 1 0 -1 3 -2 2 -2 2 3 2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = = 17; 4 -4 -3 -4 -3 4 -3 4 -4 0 -1 1 -1 1 0 0 -1
0 2 5 3 13 -16 det ( A B ) = = 13 6 - ( -16) 10 = 78 +160 = 238, 10 6 det A det B = 14 17 = 238. det ( A B ) = 238 = det A det B = 238. Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega. n järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i nda rea ja j veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor, ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg. Näide 10 : 1 0 M 11 = 7, M 12 = 2, M 21 = 0, M 22 =1 . 2 7 1 0 -1 3 -2 2 -2 2 3 2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = =17;
miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n - m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . . . , in ; jm+1 , jm+2 , . . . , jn . Definitsioon 4.2. Miinorit xim+1 jm+1 xim+1 jm+2 . . . xim+1 jn x xim+2 jm+2 . . . xim+2 jn Mn-m := im+2 jm+1 ................................... xin jm+1 xin jm+2 ... x in j n 34 nimetatakse miinori Mm t¨ aiendusmiinoriks. Leides t¨aiendusmiinorile omakorda t¨aiendusmiinori, saame esialgse miinori. Definitsioon 4.3
miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n − m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . . . , in ; jm+1 , jm+2 , . . . , jn . Definitsioon 4.2. Miinorit xim+1 jm+1 xim+1 jm+2 . . . xim+1 jn x xim+2 jm+2 . . . xim+2 jn Mn−m := im+2 jm+1 ................................... xin jm+1 xin jm+2 ... x in j n 34 nimetatakse miinori Mm t¨ aiendusmiinoriks. Leides t¨aiendusmiinorile omakorda t¨aiendusmiinori, saame esialgse miinori. Definitsioon 4.3
7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks ... ... ... ... xinj1 xinj 2 ... xinjn *Miinorit xim +1 jm +1 xim +1 jm +2 ... xim +1 jn xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn M m -n := nimetame miinori Mm täiendusmiinoriks ... ... ... ... xinjm +1 xinjm +2 ... xinjn Märgiga varustatud täiendusmiinorit An-m := (-1)rMn-m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . .
,, " Eeldame, et süsteemil leidub lahend ning näitame, et Kuna on süsteemi lahend, siis Nüüd lahutame maatriksi viimasest veerust 1. veergu korrutatud , 2. Veergu korrutatud jne kuni vimase veergu korda , saame maatriksi See maatriks on saadud maatriksist veerude lementaartesendustega, seega tema astak ona sama, mis astak. Teiseltpoolt, kuna see maatriks on saadud maatriksist A 0 veeru lisamisel, siis me same sellest koostada nullist erineva r-t järku miinorit (sama, mis maatriks A jaoks), samuti me ei saa sellest koostada r+1-t järku nullist erineva miinori, kuna 0 veergu lisamisel determinant saab nulliks. Järelikult maatriksi C astak sama nagu maatriksi A astak. Seega . ,,Piisavus"e. ,, " Eeldame, et Näitame, et süsteemil leidub lahend. Lause 1 kohaselt süsteemi maatriksil A r veergu millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik maatriksi veerud. Lihtsuse mõtte eeldame, et
annaabi.ee 
