· Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a , siis f x ( x ) = log a x -1
Kasvamisvahemikud X : f x 0 Kahanemisvahemikud X : f x 0 Maksimumkoht Kui f x 1 0 ja f x 1 0 , siis x1 on maksimumkoht Miinimumkoht Kui f x 2 0 ja f x 2 0 , siis x2 on miinimumkoht Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Periood f(x + T) = f(x), T periood Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee
Mõiste: Pikilaine: Lained, mis levivad piki laine levimise suunda. 36. Laineid iseloomustavad suurused: 1) Võnkeamplituud - kaugus tasakaaluasendist x , (m ) 2) Periood - ühe täisvõnke sooritamise aeg T (1s). 3) Sagedus - ühes sekundis toimunud võngete arv f (1Hz). 4) Lainepikkus 5) Laine levimiskiirus v (1m/s). 37. Mõiste: Lainete interferents: Interferentsiks nim. kahe laine liitumist, mille tulemusena tekib maksimum- või miinimumpunkt. 38. Mõiste: Lainete difraktsioon: Difraktsiooniks nim. lainete paindumist tõkete taha. Difraktsioon on nähtav siis, kui tõke on 2-5 lainepikkust. 39. Mõiste: Hygensi printsiip: Keskkonna iga punkt, milleni on laine jõudnud on ise uue elementaarlaine allikas.
x 2 - 4, kui x -2; y = - ( x 2 - 4), kui - 2 < x < 2 x 2 - 4, kui x 2. X = {(- 2;0 ); (2; )} X = {(- ;-2 ); (0;2 )} 8 Funktsiooni ekstreemumpunkt Öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (miinimum), kui leidub niisugune punkti a ümbrus, kus f ( x) < f (a) ( f ( x) > f (a)) Maksimumpunkt Miinimumpunkt (a;f (a)) y y y = f (x) (a;f (a)) y = f (x) f (x) f (a) f (x) f (x) f (x) f (a)
Leiame nüüd funktsiooni väärtuse kohal ehk funktsiooni miinimumi. 4 ymin = sin 3150 - cos 3150 = 2 2 = sin ( 3600 - 450 ) - cos ( 3600 - 450 ) = - sin 450 - cos 450 = - - =- 2 2 2 ymin = - 2 7 Miinimumpunkt on ; - 2 4 7 Vastus: 1) cos2x; 2) Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 ; 3) < x 4) Miinimumpunkt on ; - 2 4 4 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee
väärtused ekstreemumitel t( 0) 0 f ( 0) 2 10 <-funktsiooni lokaalne maksimum on (0,2) 5 f ( x) <-lokaalne miinimumpunkt on 0 (-2,-2) t ( x) -5 <-Miinus lõpmatusest -2 ja -10 0 lõpmatuseni kahaneb. -4 -2 0 2
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4
vahekaugus; 3. ristküliku OCDQ pindala, sest kogukulud TC=TFC+TVC või ka TC= ATC × q; 4. lõigu q1F pikkus või lõigu ED pikkus (loomulikult vaatame kõiki kulusid toodangu koguse q1 juures); 16.c; kui firma püsikulud TFC suurenevad, siis kasvavad ka keskmine püsikulu AFC=TFC / Q ning samuti keskmine kogukulu ATC= AFC + AVC; 17.b; piirkulu MC kõvera lõikepunkt on mitte ainult keskmise kogukulu ATC kõvera miinimumpunkt, vaid piirkulu MC ja keskmise muutuvkulu AVC kõvera lõikepunkt on AVC miinimumpunktiks (vt ka joonis 6.2); 18. 1. 37 kr, sest firma püsikulud TFC=24 (kui firma toodang on 0, siis ongi ettevõttel ainult püsikulud TFC) ning seepärast TVC5=TC5-TFC5=61-24=37; 2. 16 kr, keskmine kogukulu ATC3 =TC / Q= 48 / 3 =16; 3. 8 kr, keskmine püsikulu AFC3 =TFC / Q=24 / 3=8; 4. 8 kr, piirkulu MC6= TC / Q=(69-61) / 1=8; 19
Täielikult konkureeriva firma piirtulu võrdub nii tooteühiku hinna kui firma keskmise tuluga. Kui täieliku konkurentsi turul toodangu nõudlus kasvab,siis lühiperioodil firma majanduskasum kasvab ,kuid pikal perioodil tuleb tootmisharru ussi firmasi ja majanduskasum saab võrdseks nulliga Täieliku konkurenssi korral onfirma nõudlus c) mitteelastne Sulgemispunkt on b)keskmise muutuvkulukõvera miinimumpunkt Mis alljärgnevast ei ole täielikukonkurentsi turu pika perioodi tasakalpunktis d)keskmine kogukulu ja keskmine püsikulu on võrdsed Firma toodab 300 ühikut,kusjuures ühiku hind(p) on 12 krooni.sel tootmistasemel on keskmine muutuvkulu (AVC) 15 kr ja piirkulu (MC) 12 kr.firma peaks c)tootma null ühikut Mis alljärgnevast ei ole õige, kui firma toodab optimaalset tootmiskogust
ristküliku pindala, mille otsapunktid on 0EHC,sest TVC=AVC×Q; e) VALE; lõik GF näitab majanduskasumit ühe toote kohta e keskmist kasumit; keskmise püsikulu AFC suurust väljendab aga keskmise kogukulu ATC ja keskmise muutuvkulu AVC kõverate vaheline kaugus, seega AFC kui toodetakse kogus 0C on lõigu JH või EF pikkus; f) ÕIGE; firma nn sulgemishind on AVCmin, kuna aga keskmise muutuvkulu AVC ja piirkulu MC kõverate lõikepunkt ongi AVC miinimumpunkt, siis väide on täiesti õige; g) ÕIGE; kasumilävel tootmine tähendab, et kogutulud TR ja kogukulud TC on võrdsed, mistõttu firmal ei ole majanduskasumit, kuid ei ole ka kahjumit; kui aga hind P=ATC, siis ongi tegemist kasumilävele vastava hinnatasemega; 5.d; hinnavõtjast täielikult konkureerivad firmad TKF saavad lühiperioodil valida optimaalse toodangu koguse kooskõlas kuldreegliga, turuhinda üksik firma mõjutada aga ei saa (seda tähendabki ,,hinnavõtmine"); 6
Lähendame kõvertrapetsi pindala ristkülikute pindalade summaga. Üldistame: Olgu antud lõigus [a, b] pidev funktsioon f(x). Jaotame lõigu [a, b] punktidega x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < b = xn n osaks, kus osalõikude pikkused tähistame ∆xi = xi − xi−1. Valime igas osalõigus punkti x∗i (selleks punktiks võib olla osalõigu vasakpoolne otspunkt, parempoolne otspunkt, maksimum või miinimumpunkt või igasugune muu punkt). Vastavale osalõigule ehitatud ristküliku alus on ∆xi ja kõrgus on f(x∗i) ning seega i-nda ristküliku pindala on f(x∗i) ∆x Kogu joonealust pindala saame seega lähendada järgmise ristkülikute pindalade summaga: 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓( (𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖 Funktsiooni f(x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni nimetatakse piirväärtust
29 Piirkulu mõiste ja arvutusvalem Piirkulu on täiendava tooteühiku valmistamise täiendav kulu. TC MC= = TVC TP 30 Pika perioodi keskmise kulu kõver. Näidata joonisel Pika perioodi keskmine kulu mõõdab erinevate koguste tootmise minimaalset keskmist kulu, eeldusel, et tootja võib valida firma mistahes suurusvariandi. Iga antud suurusvariandi korral, teisisõnu, kui eksisteerivad lühiperioodi püsikulud, tähistab lühiperioodi keskmise kulu kõvera miinimumpunkt tootmiskogust, mida võib minimaalse kuluga toota. LAC kõverat võib pidada firma plaanitud tegevuse kõveraks. Pärast seda, kui firma on valinud soovitava pika perioodi tootmiskoguse, valib ta suurusvariandi, mille korral seda kogust saab toota minimaalse kuluga. 31 Firma tulud: kogutulu, keskmine tulu, piirtulu. Tulu allikad Kogutulu tulu, mida firma saab oma toodangu müügist. Võrdub müügikoguse ja ühiku hinna korrutisega Keskmine tulu kogutulu ja toodetava koguse jagatis.
· Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) · Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid
tuluga (ATC) · Kui täieliku konkurentsi turul toodangu nõudlus kõver kasvab, siis lühiperioodil firma majanduskasum kasvab, kuid pikal perioodil tuleb tootmisharru uusi firmasid ja kasum saab võrdseks nulliga. Tee õige valik! · Täieliku konkurentsi korral on firma nõudlus: o Täielikult elastne o Elastne o Mitteelastne o Ühikuelastne · Sulgemispunkt on: o Keskmise kogukulukõvera miinimumpunkt o Keskmise muutuvkulukõvera miinimumpunkt o Piirikulu miinimumpunkt o Keskmise püsikulukõvera miinimumpunkt · Mis alljärgnevast ei ole õige täieliku konkurentsi turu pika perioodi tasakaalupunktis? o Hind ja piirtulu on võrdsed (p=MR) o Hind ja piirkulu on võrdsed (p=MC) o Piirkulu ja keskmine kogukulu on võrdsed (MC=ATCmin) o Keskmine kogukulu ja keskmine püsikulu on vürdsed (ATC=AFC)
6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte.
ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla
vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumpunkt: Ekstreemumpunktiks on funktsiooni w = f (P ) määramispiirkonna sisepunkt A kui sellel punktil leidub selline ümbrus S(A,r), milles funktsiooni muut f = f ( A) - f ( P ) säilitab märki. 2 Maksimumpunkt: f > 0 A lokaalne maksimum Miinimumpunkt: f < 0 A lokaalne miinimum Statsionaarne punkt: Kui funktsioonil w = f (P ) on määramispiirkonna punktis A kõik osatuletised wi , i = 1,2,..., n ja wi ( A) = 0 , siis on punkt A funktsiooni w = f ( P ) statsionaarne punkt. Lause: Iga ekstreemumpunkt on statsionaarne punkt, vastupidine aga ei pruugi kehtida. 1) Leida statsionaarsed punktid: a) I j osatuletised: wx, wy ? b) wx=0, wy=0 x=?, y=? (Crameri valemid) A(...,...) 2) Kas statsion
20. Mittelineaarne ülesanne, selle omadused ja duaalülesanne Lahendatakse graafiliselt kujul z=f(x1,...,xn)max gi(x1,...,xn)bi , i=1,...,m T f,g1,...gm on vektori x(x1,...,xn) antud reaalfunktsioonid, b1,...,bm- antud arvud. Ülesanne on üldine, universaalne meetod lahendamiseks puudub.Tuleb määratleda lubatavate lahendite hulk Q {x: gi(x)bi, i=1,...,m} . Hulk võib olla mittekumer ja koosneda mitmest osast. Maksimum-ja miinimumpunkt võivad asuda mistahes lubatavates punktides, mitte tipus nagu LP ülesandes. LP ülesandes oli sihifunktsiooni gradient konstantne vector nt z=5x1-6x2, grad z=z=(5;-6). Mittelineaarses ! ! z=x12x2+ ! ! ; = 2! ! + ! !! ! !! + ! !! ! ! ! ! ! Duaalülesanne: z=f(x)max y:gi(x)bi (1) i=1,....,m duaalül: L(x,y)=f(x)+ ! !!! ! [! - ! ()] L'x1=f'x1- ! (! )!
Kui aga ülaltoodud võrratus kehtib etteantud piirkonna mistahes punkti kohta, siis on funktsioonil kohal Y0 globaalne miinimum. Optimumi tingimused: eeldades, et funktsioon on pidev ja diferenteeruv, saame tingimused: 1. 2. 3. Need on nn vajalikud optimumi tingimused. Kui funktsioon saavutab mingis punktis miinimumi , siis on täidetud eeltoodud tingimused. (Tuletised võetakse kõikide y komponentide järgi) Kui funktsioon on rangelt kumer, siis on tal üldse vaid üks miinimumpunkt. Seega, rangelt (allapoole) kumera funktsiooni jaoks on ülaltoodud tingimused vajalikud ja piisavad. Optimumi tingimuste tähtsus seisneb: nende järgi saab kontrollida mistahes parameetri optimaalsust; neid saab rakendada optimeerimisülesande lahendamisel. Olgu vaja leida rangelt kumera funktsiooni maksimum y muutujate lubatavuspiirkonnas. Optimeerimisülesande lahendiks on juhitavate parameetrite optimaalsed ja ühtlasi lubatavad väärtused ,
Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis üleminekul väärtusest x = x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f ( x0 ) on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt ( x0 ; f ( x0 ) ) funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f ( x ) . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) < 0 . Kui x 0 on miinimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) > 0 .
Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis üleminekul väärtusest x x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f x0 on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt x0 ; f x0 funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f x . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f x0 0 ja f x0 0 . Kui x 0 on miinimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused:
S.t. { f ( x ) | x [a, b ]} = [m, M ] , kus M = sup f ( x ) = max f ( x ) ja m = inf f ( x ) = min f ( x ) , kus x [a, b] Fermat' teoreem Definitsioon: Funktsiooni f määramispiirkonna punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem: Kui funktsioonil f on ekstremaalne väärtus määramispiirkonna X sisepunktis , kus funktsioon on diferentseeruv, siis on statsionaarne punkt, s.t. f ( ) = 0 . Tõestus: Tõestame teoreemi juhul, kui on miinimumpunkt, s.t. f ( ) = min f ( x ) x X U ( ) X f ( + x ) - f ( ) > 0 x 0 : f ( + x ) X f ( + x ) - f ( ) f ( + x ) - f ( ) f ( + ) = lim 0 f ( - ) = lim 0 x 0 + x x 0 - x Kuna fuktsioon on diferentseeruv punktis , siis järelikult f ( ) = 0 . Rolle'i teoreem Teoreem: Kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b ) diferentseeruva funktsiooni f korral
leidub selle punkti ümbrus (a - , a + ), > 0, nii et f (x) f (a), iga x (a - , a + ) korral . Märkus 6.5 Diferentseeruva funktsiooni lokaalse ekstreemumi (maksimum või mii- nimum) leidumiseks punktis a on Fermat' teoreemi põhjal tarvilik, et f (a) = 0. Kui funktsioon ei ole diferentseeruv (kuid on siiski mää- ratud), siis sellises punktis võib samuti lokaalne ekstreemum leiduda (näiteks y = |x| korral on x = 0 miinimumpunkt). Definitsioon 6.4 Määramispiirkonna punkte, kus f (x) = 0 ja punkte, kus funktsioon f ei ole diferentseeruv, nimetatakse funktsiooni f kriitilisteks punkti- Joonis: Wikipedia. deks. Teoreem 6.7 Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a. Siis kehtivad väited: 1. Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub + - siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum
annaabi.ee 
