Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2. 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näited Näide x Lahendame võrrandi 1,5 . 5 Lahendus Läheme üle samaväärsele võrrandile, tuues paremal pool oleva lineaarliikme vastandmärgiga vasakule poole võrdusmärki: x 1,5 0. 5 Saadud lineaarvõrrandi lahendiks on 1,5 3/ 2 35 15 1 x 7 . 1/ 5 1/ 5 2 1 2 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lahendi kontrollimine Et veenduda leitud lahendi õigsuses, tuleks alati asendada leitud
Langev sirge axlineaarliige * Kui a on väiksem, kui 0 sirge bvabaliige/algkordinaad on tegu langeva sirgega. alineaarliikme kordaja/sirge tõus y ja xmuutujad Vabaliige näitab punkti kus funktsioonigraafik (sirge) lõikab y telge. Lineaarliikme kordaja näitab kas tegu on tõusva või langeva sirgega. Sirge tõus näitab mitu ühikut muutub y, kui x suureneb 1 ühiku võrra. N: y=2x+3 x 3 2 1 0 1 2 3 *Langev sirge y 9 7 5 3 1 1 3 *Sirge lõikab punkti (0;3) *Y väheneb 2 ühiku võrra II I veerand veerand
Lineaarne seos on üldisem seos kui võrdelisus. (Niisugust funktsiooni nimetatakse mõnikord ka lineaarse asemel "afiinseks" funktsiooniks (inglise keeles affine function), sest mõned matemaatikud jätavad "lineaarsuse" mõiste funktsioonidele kujul f (x) = ax.) Kahe muutuja vahelise lineaarse seose puhul kehtib muutujate x ja y vahel seos y = ax + b, kus a ja b on konstandid, a on lineaarliikme kordaja, Selle funktsiooni graafikuks on sirgjoon tõusuga a ja tema väärtus b on vabaliige, kohal x=0 on b. Järgnevatel joonistel on toodud kaks näidet. ax on lineaarliige, x, y on muutujad, x on sõltumatu muutuja, y on sõltuv (xst). Või seos x = cy + d, kus c ja d on konstandid. Kui muutujate muutumispiirkonnaks on reaalarvude hulk ning ka konstandid on reaalarvulised, siis iga lineaarse
Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida
Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga
Y TELJEGA PARAL- -4 LEELSE SIRGE SUHTES -6 ( b Nullkohad on punktides 0;0 - ;0 a ) -8 b -10 Haripunkti x koordinaat on - 2a Ruutfunktsioon y = ax² + bx + c Ruutliikme kordaja on a Lineaarliikme kordaja on b 10 y Vabaliige on c 8 Graafikut nimetatakse 6 PARABOOLIKS 4 Graafik on sümmeetriline 2 Y TELJEGA PARAL- x 0
b x (ax + b) = 0 x1 = 0 ja x2 = a Ruutvõrrandi lahendite omadused 3. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = c = 0, siis saame võrrandi ax2 = 0. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. (Viet'i teoreem) ax2 = 0 x1 = x2 = 0 Rainis Jõepera
x (ax + b) = 0 x1 = 0 ja x2 = a 3. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = c = 0, siis saame võrrandi Ruutvõrrandi lahendite omadused 2 ax = 0. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja ax = 0 x1 = x2 = 0 2 vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. (Viet'i teoreem)
17. Millal on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit? Millal on kaks võrdset lahendit? Millal ruutvõrrandil lahendid puuduvad? Kui diskriminant on nullist suurem, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit. Kui diskriminant on nulliga võrdne, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid. 18. Viete'i teoreem. Millal võib kasutada Viete'i teoreemi? Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Viete'i teoreemi võib kasutada ainult taandatud ruutvõrrandis.
1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame
3) Üksikuid liidetavaid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes selle liidetava ees oleva märgi vastupidiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine: Avaldist, mis sisaldab ainult ühte liiki tundmatut ja kus tundmatu kõrgeim astmenäitaja on 1 nimetatakse ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks. Lineaarvõrrandi lahendamise skeem: 1) Avada sulud või korrutada ühise nimetajaga. 2) Viia muutuja liikmed e. Lineaarliikmed vasakule ja vabaliikmed paremale. 3) Jagada rida lineaarliikme kordajaga. 4) Teha kontroll. 5) Kirjutada vastus. 1. Hulkliikmete korrutamine 1.1. Kahe hulkliikme korrutamisel tuleb ühe hulkliikme iga liige korrutada teise hulkliikme iga liikmega ja tulemused liita. 2. Kahe tundmatuga lineaarvõrrand 2.1. 6-7x+3=8-x - Ühe tundmatuga 3x-6+y=x-4-y - Kahe tundmatuga 1.1) Pooled vahetdada- ükski märk ei muutu. 1
Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutjuureks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu , mille ruut on antud arv a. (Näide9) 10.(Näide 10) Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus tundmatu esineb vaid esimeses astmes. Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0, kus Ax2 on lineaarliige ja b on vabaliige, a on lineaarliikme kordaja. 11.Kui kahe avaldise vahel on võrratusmärk,siis sellist üleskirjutist nimetatakse võrratuseks. (Näide11) 12.Võrdust,mille mõlemal poolel on jagatis,nimetatakse võrdeks. Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega (Näide12) 13.ruutvõrrand on kus ax2 -ruutliige,bx-lineaarliige,c-vabaliige 2 Täielik ruutvõrrand on ax +bx+c=0 Mittetäielik ruutvõrrand on ax2+c=0 või ax2+bx=0
ruutvõrrand. Ruutliige lineaarliige, vabaliige. Ruutliikme kordaja ja 1) lk 42-44 , ül 154-156; Ruutfunktsioon ja 34. 18. 10. 06 Funktsioonid y=ax2+bx lineaarliikme kordaja. ruutvõrrand. Ruutfunktsioon ja Nullkohtade, haripunktide, 1) ül 128, 129, 131, 138, 161, 185 35. 19. 10. 06 ruutvõrrand. kordajate leidmine. 188, 209 Ruutfunktsioon ja Ruutfuktsioon y=ax2+bx+c
· kõrgus + pikkus · kõrgus) Irratsionaalarvuks nimetatakse lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Ringjoont, mis läbib kolmnurga tippe, nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ringjoont, mis asub kolmnurga sees ja mis puutub kolmnurga kõiki külgi, nimetatakse kolmnurga siseringjooneks. Mittetäielik ruutvõrrand nimetatakse ruutvõrrandit, milles kas lineaarliikme kordaja või vabaliige on null. Kui korrutis on null, siis on vähemalt üks teguritest null. Alati 2 lahendit. Lineaarfunktsioon- y = ax + b, mlles ax= lineaarliige ja b= vabaliige. Lahendite arve on 1. Vastava funktsiooni graafik on sirge. Ligikaudse arvu tüvenumbrid- Kui ligikaudsetes arvude 112340; 4,0528 ja 0,0328 koma ja nullid arvu algusest ja lõpust jätta, siis arve 11234; 40528 ja 326 nim. esialgsete arvude tüvedeks. Arvu tüves esinevad numbrid on arvu tüvenumbrid
Usalduspiiride leidmisel lähtutakse sellest, et parameetrite hinnangute standardiseeritud erinevused tegelikest väärtustest alluvad t jaotusele Mõlema parameetri vabadusastmete arvuga = n - 2 Lineaarliikme määramatus Vabaliikme määramatus määramatus a^ - a b^ - b t ( ) , t ( ) se(a ) se(b) Kui võtta usaldatavuseks 1-, siis parameetrite hinnangute usalduspiirid: a^ ± t 2 ( ) se( a ) b^ ± t 2 ( ) se(b)
101. Täispööre nurk, mille suurus on 360o. 102. Täisruut, ruutarv naturaalarv, mis võrdub mingi täisarvu ruuduga. 103. Vastandarv arv, mille summa on antud arvuga 0. 104. Veerand 1. üks neljandik ühikust. 2. tasandi kvadrant tasandi kahe niisuguse pooltasandi ühisosa, mille ääred ristuvad. 105. Viéte' i teoreem taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. 106. Võrdeline jagamine mingi suuruse jagamine antud arvudega võrdelisteks osadeks. 107. Võrdeline seos kahe muutuja x ja y vaheline seos, milles muutujate vastavate väärtuste jagatis on konstant a. Graafikuks on koordinaatide alguspunkti läbiv sirge. 108. Võrdhaarne kolmnurk kolmnurk, millel on kaks võrdset külge, kolmandat külge nimetatakse aluseks. 109
x n x 1979529261 30 7623.1 2 2 2 i 8.3 Studenti jaotuse kvantiil: t (k ; ) 1.70113093 alpha = k= 8.4 Vabaliikme a 90%-lised usalduspiirid: aalumine a sa t (k ; ) 5767.4714 740.827303 3 1.7011309 aülemine a sa t (k ; ) 5767.4714 740.827303 3 1.7011309 8.5 Lineaarliikme kordaja b 90%-lised usalduspiirid: balumine b sb t (k ; ) 1.341186 0.09120037 9 1.7011309 bülemine b sb t (k ; ) 1.341186 0.09120037 9 1.7011309 9. Prognoosime muutuja Y väärtust, kui 9.1 Prognoosi punkthinnang: y^ p a b x p 5767.47145 1.34118603 10000 9.1.2 Järeldus: 10000 abielludele vastab 19180 sündinud last. 9.2 Prognoosi punkthinnangu standardhälve: 1 ( x p x )2 1 (10000 7623.1 su se 1 1401
V1=2 -6 2+8=4-12+8=0 P1=0 V1=P1 2 V2=4 -6 4+8=16-24+8=0 P2=0 V2=P2 Vastus. Lahendid on x1=2 või x2=4 20.Ruutvõrrandi lahendivalem - võrrandi ül.1369 2 2 üldkuju ax +bx+c=0, lahendivalem 1) x -3x+2=0 a=1 b=-3 c=2 a ruutliikme kordaja, b lineaarliikme kordaja ja c vabaliige; lahendivalemi 2 tuletamine: 1)ax +bx=-c | 4a 2 2 2 2)4a x +4abx=-4ac ehk 2(ax) +2 2ax b=-4ac 2 liita mõlemale poolele b 2 2 2 3)2(ax) +2 2ax b+b =b -4ac ehk 2 2 (2ax+b) =b -4ac leida ruutjuur Vastus. Lahendid on x1=1 või x2=2 4) ; ; |:2a
a? y=ax2 (ruutliikme kordaja) 40. Vektorite skalaarkorrutis c? y=x2+c (vabaliige) a b = x1 x 2 + y1 y 2 b? y=x 2+bx (lineaarliikme a b kordaja) cos = a b = cos a b a b Vabaliige näitab kuslõikub y-teljega Kordaja a näitab sirge tõusu a b ab = 0 41. Sirge nurga tõus ja sirge tõus y - y1 11. klass k = tan = 2
tulemusel saadud paarisvaatlustest (xi, yi), kus i = 1, 2, ..., N; N on valimi maht. Paarisvaatluste valimi põhjal saab koostada hajuvusdiagrammi, mis kujutab endast vastavat punktiparve (x,y)-tasandil. Lineaarset mudelit y = 0 + 1x nimetame edaspidi (lineaarseks ühefaktoriliseks) regressioonimudeliks ning selle mudeli hinnanguks on katseandmete põhjal arvutatav (prognoosi)mudel y = b0 + b1x, kus vabaliikme 0 hinnanguks on b0 ja lineaarliikme (tundlikkuse) 1 hinnanguks b1. Mudeli parameetrite leidmisel on sobivaimaks meetodiks vähimruutude meetod, mille kohaselt parameetrite hinnanguks tuleb valida sellised arvud, mille korral erinevused tegelike katsetulemuste ja mudeli põhjal prognoositud väärtuste vahel oleksid minimaalsed nende erinevuste ruutude summa minimeerimise mõttes. Mudeli analüüs 1)Katse dispersiooni leidmine (Sobivaimaks lähenemisviisiks väljundi y dispersiooni hindamiseks on
Kui covXY ≠ 0, siis nimetatakse suurusi X ja Y korreleeruvateks Korrelatsioonikordaja - nullist erinev ka täiesti juhuslike arvupaaride korral. Valem: Spearmani korrelatsioonikordaja – Mudel - reaalses maailmas esineva objekti analoog, mis asendab seda objekti tunnetusprotsessis Matemaatiline mudel - mingit reaalses maailmas eksisteerivat nähtust kirjeldavate matemaatiliste seoste kogum Lineaarne mudel y=ax+b, lineaarliikme kordaja a näitab, kui palju muutub y, kui x suureneb 1 võrra. Vabaliige b näitab sõltuva muutuja y väärtust, kui x=0 Regressioonimudel – yi = deterministlik component + juhuslik component. Deterministlik komponent on see oluline osa, mille mudel peab välja tooma. Deterministlik komponent = tinglik keskväärtus E[Y|X]. Regressioonanalüüsi käigus leitakse regressioonmudeli deterministlik component y= αx+ β + ε. Lineaarse mudeli hindamine = parima sirge leidmine
Nii saame ruutfunktsiooni abil kirjeldada ühtlaselt kiireneva liikumise aja ja selle aja jooksul läbitud teepikkuse vahelist seost, kahurist väljatulistatud mürsu trajektoor on paraboolikujuline jne. Ruutfunktsiooni üldkuju ongi y = ax2 + bx + c, mille määramispiirkonnaks on kas kogu reaalarvude hulk või selle osahulk. Valemi y = ax2 + bx + c paremal pool olev summa sisaldab kolme liiget: ruutliige: ax2, arv a on ruutliikme kordaja; lineaarliige bx, arv b on lineaarliikme kordaja; vabaliige c. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool, mis lõikab y-telge punktis (0;c). NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x 2 3x ja y = 2x2 3x 2 graafikud ning uurime neid paraboole. Lahendus: Koostame algul muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 3x 9 5 2 0 1 1 0 2
Saadavate tulemuste täpsus. Eelised ja puudused. Nii kalibreerimisgraafiku- kui lisamismeetod põhinevad lineaarsel regressioonil s.o. statistiline meetod, mis asetab sirge läbi katsepunktide nii, et kõigi punktide saadavast sirgest y-telje sihiliste hälvete ruutude summa oleks minimaalne. Neid hälbeid nimetatakse I don't want to know the answers, I don't need to understand residuaalideks (resiidideks). Saadavat sirget saab iseloomustada tõusu ehk lineaarliikme ning vabaliikme ehk algordinaadi kaudu. Lineaarne regressioon eeldab katsepunktide ühtlast hajumist saadava sirge ümber, samas enamiku seadmete signaalide hajuvus sõltub (proportsionaalselt) analüüdi kontsentratsioonist, seega kõrgema kontsentratsiooni punktid omavad lineaarregressiooni sirge kujundamisel suuremat kaalu. Pm võiks kasutada ka kaalutud regressiooni meetodit, seda aga ei tehta, sest see on keerukam
Lineaarne nõudlusfunktsioon on kujul = + 0 ; < 0, 0 > 0 kus p on hind ja p0 on piirhind (hind, mille korral nõutav kogus on 0). Järgnevalt leiame tulu- ja kasumifunktsioonid üldkujul. Tulufunktsioon: = = + 0 = + Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on tulufunktsioon ruutpolünoom, mille o ruutliikme ees olev kordaja on negatiivne (a<0); o lineaarliikme ees olev kordaja on positiivne (p0>0); o vabaliige puudub (kui tootmismaht q on null, ei saada ka tulu). Sellise funktsiooni graafik on allapoole avanev parabool. Matemaatikast on teada, et kui parabooli võrrand on y=ax2+bx+c, siis parabooli tipu koordinaadi x-teljel saab leida valemist = - 2 . Seega tulufunktsiooni graafiku tipp asub kohal = - . 13
kus p on hind ja p0 piirhind (hind, mille korral nõutav kogus on 0). Leiame tulu- ja kasumi- funktsioonid üldkujul. Tulufunktsioon: R'qp asendame hinna vastava avaldisega R ' q (a q % p0) R ' a q 2 % p0 q . Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on tulufunktsioon ruutpolünoom, mille < ruutliikme ees olev kordaja on negatiivne (a < 0); < lineaarliikme ees olev kordaja on positiivne (p0 > 0). < vabaliige puudub (kui tootmismaht q on null, ei saada ka tulu). ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 16 Sellise funktsiooni graafik on allapoole avanev parabool. Matetamaatikast on teada, et kui parabooli b
16 Tegemist on kahe murru samasusega, kus nimetajad on samaselt v~ordsed. J¨arelikult kehtib ka lugejate kohta samasus A + At2 + Bt + Bt2 + C + Ct 1 ehk (A + B)t2 + (B + C)t + A + C 1. Vastavate muutuja t astmete kordajate v~ordsusest saame kordajate A, B ja C m¨a¨aramiseks kirjutada (arvestades sellega, et paremal pool on ruut- ja lineaarliikme kordajad nullid) v~orran- dis¨ usteemi A+B =0 B+C =0 A + C = 1, 1 1 1 millest A = , B = - ja C = . Seega 2 2 2 cos xdx 1 dt 1 t-1 1 1 2tdt 1 dt = - 2
annaabi.ee 
