Ligikaudne arvutamine 1. Arvu standardkuju. Iga arvu saab esitada järguühikute kaudu, : 1999 = 1*1000 + 9*100 + 9*10 + 9*1 kui ka standardkujul ehk siis kui arv esitatakse 10 astmetel. Kirjutades arvu standardkujul, siis saame selle esitada nii : x = a * 10 ehk näiteks : 1888 = 1,888 * 10 Mitme tehtega ülesande puhul saab lahenduse leida nii : (4,2 * 10 ) * (3,5 * 10 ) = 4,2 * 3,5 * 10 = 14,7 * 10 2. Ligikaudsed arvud, ümardamine. Ronald Romu väljus kodust 7.42, et jõuda 7.53 väljuva bussiga tööle. Buss jäi aga ummikusse, seega Ronald jõudis tööle alles 8.15. Ta sai bossi käest kõvasti pahandada ning pidi lubama õhtul kauem töötada. Seetõttu jäi Ronald maha 17.20 väljuvast rongist, millega ta pidi koju minema. Ronald hakkas jalgsi poole kilomeetri kaugusel asuva kodu poole kõmpima, kuna tema buss enam ei käinud. Ta ostis tee peal 300 grammi pähkleid ja 2 pudelit vett. Eelnevas jutus on esitatud...
moodustab selle sirgega püsiva nurga . Et fs = cos, saame, et A=f s cos. Kui jõud ja liikumise suund moodustavad teravnurga, on töö positiivne; kui nürinurga, on töö negatiivne. Kui = , on töö võrdne nulliga. Kui jõu liikumissuunaline projektsioon ei jää konstantseks, tuleb tee jagada elementaarlõikudeks ning seejärel kogu teel s tehtud töö leiame kui elementaartööde summa A=Ai fsi si . Kui kõik si lähenevad nullile, saab ligikaudsest võrdusest range: A= limsi ->0 fsi si = fsds . Töö ühikuks on töö, mille sooritab liikumise suunas mõjuv ühiku suurune jõud ühikulise pikkusega teel (SI tööühik on dzaul J, ehk töö, mida teeb jõud 1 njuuton 1 meetri pikkusel teel). Töö avaldise võib esitada ka jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena (skalaar, mis on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga korrutisega) AB=ABcos. Vektori ruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga A2 = AA = AA cos 0 = A2
sisult ja vormilt viimistletud. Laulu teksti loomisel ja ettekandmisel oli määrav osa rahvalaulikul. Iga laulik oli kaasautor, laulu arendaja, kes jättis tekstisse oma jälje. Kui regilaulu esimest korda kuulata, võib see tunduda üpris imelikuna, isegi igavana. Regilaul ei jagune salmideks, ridu seob mõtteriim ehk parallelism, st ühes värsis öeldus korratakse teiste sõnadega teises värsis ja mõnikord kolmandaski. Tihti võib kuulda nii vanu sõnu, et ligikaudsest tähendusestki on raske aru saada. Regilaul koosneb 8-silbilistest värsiridadest, milles vaheldub 4 rõhulist ja 4 rõhuta silpi. Regilaul ei ole selline laul ega muusika, millega me tavaliselt oleme harjunud. Regilaul polegi mõeldud kuulamise jaoks. Seda laulavad lauljad iseendile, mitte kuulajatele.Sellepärast on regilaulu kuulamine raskem kui kaasalaulmine. Regilaule on tuhandeid, kuid nad kõik on ehitatud ühtemoodi. Seetõttu on neid väga kerge meeles pidada ja laulda
korrutisena: Si ≈ f(pi) . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: ∑ . (5.19) Seda valemit saab kasutada määratud integraali ∫ ligikaudseks arvutamiseks. Mida väiksem on xi, seda vähem muutub funktsioon f osalõigu [ , ] peal, järelikult seda täpsem on valem (5.18). Mida peenem on [a, b] tükeldus, seda täpsem on ka pindala valem (5.19). Piirporotsessis ϱn → 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: ∫ (5.20) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku
π umbkaudne väärtus on 3,14159265358979323846264338327 ning ligikaudne väärtus 3,14159. π on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. π on üks tähtsamaid matemaatilisi suuruseid. Seda saab esitada ainult umbkaudu, selle lõpliku väärtust ja seda ei saa viia täismurru kujule. π on veel võrdne ringi raadiustest tehtud ruudu ja ringi pindala suhtega. Täht π tuleneb kreeka keelest. Pii ajalugu Esimesed kirjalikud viited π ligikaudsest väärtusest pärinevad Egiptusest ja Babülooniast. Aastal 1900 eKr kasutati seda Babüloonias arvuna 25/8 ja Egiptuses arvuna 256/81. Esimesena seostas kreeka tähe π arvuga 3,14... Walesi matemaatik William Jones aastal 1706. Tõenäoliselt valis Jones tähise π seepärast, et π oli esimene täht kreekakeelses sõnas periphery. Archimedes, Kreeka matemaatik (287-212 eKr) arvutas pii väärtuseks 3,1419 ja arvas, et see ongi π tegelik väärtus. Kahjuks eksis ta umbes 0.0002 koha võrra
jne., kontsentreerudes sellele, mis on oluline Teie t kontekstis. Uurimisala levaade uurimisala asukohast ja elupaikade ldiseloomustus. Viimase puhul pidada silmas, et see kirjeldus peab olema uuritava probleemiga seotud, aitama lugejal tulemusi paremini tlgendada. Enamasti antakse niteks taimekoosluse lhiiseloomustus pluss veel midagi olulist, niteks mulla pH vms. Vlitd Detailne levaade ajast, millal td toimusid, meetodeist ja vahendeist, mida kasutati, materjali ligikaudsest hulgast. Kui tegite eksperimenti, siis kirjeldage detailselt eksperimendi ajalist ja ruumilist plaani. Soovitav on visandada selge kirjeldus, mis ja kuidas konkreetselt vlitde kigus tehti, et lugeja saaks ennast neisse "sisse elada" ja neid endale ette kujutada nii, et ta oleks selle kirjelduse phjal vimeline ise samu meetodeid kasutama. Kirjeldada vimalikke vigu ja kuidas Te neid vltisite. Laboratoorsed td Philiselt sama, mis vlitde puhul. Andmettlus
kusjuures esimene peilung taandatakse teise peilungi võtmise hetkele. Laeva asukoha määramisel ristpeilungi meetodil, sooritatakse üksikud võtted järgmises korras: võetakse kompassi peilung ning märgitakse üles kellaaeg T, ja loginäit lg, ; KP parandatakse kompassiõiendiga ning kantakse kaardile TP, ; kursijoone, looditud sügavuse ja peilingujoone paiknemise järgi saadakse ettekujutus laeva ligikaudsest asukohast. A * TP, Dm TP, TP, KK90´(+0,2) T, T, T, Lg1 Slg lg,
Seega võib ta sellel osalõigul lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga XJ ehk = XJ kui 0 JW , J 1. Järelikult on YJ ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse ja aluse korrutisena: YJ XJ J . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Y J[ XJ J . Piirprotsessis 0 d saame ligikaudsest valemist täpse pindala valemi: A = 5( . 31) Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). d d d 1. 5( 0 ±N 1 = 5( ± 5( N d d 2. 5( 4 = 4 5( , 4 konstant ( 3. 5( =0 d ( 4. Kui > , siis 5( = - 5d
täpsem on ka pindala valem. Teisest küljest, valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile, siis läheneb nimetatud b integraalsumma määratud integraalile ∫ f ( x ) dx . Kokkuvõttes, a piirprotsessis ϱn → 0 saame ligikaudsest valemist järgmise täpse b valemi pindala jaoks: S= ∫ f ( x ) dx . a 31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta). b b b ∫ f ( x ) dx ∓ g(x)]dx = ∫ f ( x ) dx ∓ ∫ g ( x ) dx
integreerimist. Idee on järgmine: jaotame vaadeldava lõigu [a, b] väikesteks osalõikudeks nii, et igal osalõigul on jõud ligikaudselt konstantne. Igal osalõigul arvutame töö eraldi, kasutades selleks ülaltoodud valemit. Seejärel liidame osalõikudel tehtud tööd kokku saades töö tervel lõigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse töö valemi. Täpse töö valemi saame, kui muudame lõigu tükelduse ”lõpmata peeneks”, st võtame ligikaudsest töö valemist piirväärtuse pikima osalõigu pikkuse lähenemisel nullile. Asume töö valemi tuletamise juurde. Seejuures eeldame, et funktsioon F(x) on pidev. Pidevus on vajalik selleks, et F(x) muutuks väikestel osalõikudel vähe. Teatavasti läheneb pideva funktsiooni muut nullile tema argumendi muudu lähenemisel nullile (vt §2.9). Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda
2 on see ümbritsetud pideva joonega). Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Fikseerime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Tähistame xi = xi - xi-1 . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 35. Määratud integraali omadused 36. Teoreem muutuva ulemise rajaga integraalist ilma tõestuseta. NEWTON- LEIBNITZI VALEM Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist x
19). seega esitatav kujul F(x) = G(x) + C: ... Piirprotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: Võtame x = a ja saame F(a) = G(a) + C = C:
. . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st xi = xi-xi-1. Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi iga Summeerides tööd üle osalõikude saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b] Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . .
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st xi = xi-xi-1. Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi iga Summeerides tööd üle osalõikude saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b] Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis n 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis n 0 järgmise täpse valemi töö jaoks: 38. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). / Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .
a Mida väiksem on ∆ x k , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul [x k−1 ; x k ] , sellest tulenevalt seda täpsem on eeltoodud valem. Samuti mida peenem on [ a ; b ] tükeldus, seda täpsem on pindala valem. Piirporotsessis ϱn → 0 saame eelnevast ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: b S=∫ f ( x ) dx a Kuna mõlemad valemid arvutavad trapetsi pindala samaselt, siis 12 b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a ) a kus F' ( x ) =f ( x ) . Seda valemit nimetatakse Newton-Leibniz’i valemiks. Määratu integraali ligikaune arutamine. Kvadratuurvalemid
korrutisena. Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: Mida väiksem on , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul peal, järelikult seda täpsem on valem Teisest küljest, S valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile . Kokkuvõttes, piirprotsessis saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. a. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) a.1. a.2. a.3. Põhjendus: kui a=b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on ka töö võrdne nulliga, st a.4
i=1 x [¿ ¿i-1; x i ] peal, järelikult seda täpsem on valem f ( x ) f ( pi ) Teisest küljest, S valemi ¿ paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a,b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile, siis läheneb nullile nimetatud integraalsumma määratud integraalile b f ( x ) dx . Kokkuvõttes, piirprotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist järgmise täpse a valemi pindala jaoks: b S= f ( x ) dx a 39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 6 koos põhjendustega). Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. Määratud integraali omadused (sh omadused 3-6 koos põhjendustega) b b b 1. [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx a a a
asukoha määramist nimetatakse ristpeilingu meetodiks, kusjuures esimene peiling taandatakse teise peilingu võtmise hetkele. Laeva asukoha määramisel ristpeilingu meetodil sooritatakse üksikud võtted järgmises korras: võetakse kompassi peiling ning märgitakse üles kellaaeg T, ja loginäit lg; KP parandatakse kompassiõiendiga ning kantakse kaardile TP; kursijoone, looditud sügavuse ja peilingujoone paiknemise järgi saadakse ettekujutus laeva ligikaudsest asukohast. Koha määramine kahe ja kolme kauguse abil Selleks tuleb laevalt mõõta kahe või kolme orientiiri kaugused. Viimased on raadiuseks vaadeldavate orientiiride ümber. Seejärel tõmmatakse kaardile nende raadiusega kaared asujoontena. Enne kui anda määratud asukoht kauguste järgi, peab välja valima eristatavad orientiirid. Nende kujutis peab olema eristatav rannajoone taustal. Koha määramine kauguse ja peilingu järgi
asukoha määramist nimetatakse ristpeilingu meetodiks, kusjuures esimene peiling taandatakse teise peilingu võtmise hetkele. Laeva asukoha määramisel ristpeilingu meetodil sooritatakse üksikud võtted järgmises korras: võetakse kompassi peiling ning märgitakse üles kellaaeg T, ja loginäit lg; KP parandatakse kompassiõiendiga ning kantakse kaardile TP; kursijoone, looditud sügavuse ja peilingujoone paiknemise järgi saadakse ettekujutus laeva ligikaudsest asukohast. Koha määramine kahe ja kolme kauguse abil Selleks tuleb laevalt mõõta kahe või kolme orientiiri kaugused. Viimased on raadiuseks vaadeldavate orientiiride ümber. Seejärel tõmmatakse kaardile nende raadiusega kaared asujoontena. Enne kui anda määratud asukoht kauguste järgi, peab välja valima eristatavad orientiirid. Nende kujutis peab olema eristatav rannajoone taustal. Koha määramine kauguse ja peilingu järgi
Idee on j¨argmine: jaotame vaadeldava l~oigu [a, b] v¨aikesteks osal~oikudeks nii, et igal osal~oigul on j~oud ligikaudselt konstantne. Igal osal~oigul arvutame t¨o¨o eraldi, kasutades selleks u ¨laltoodud valemit. Seej¨arel liidame osal~oikudel tehtud t¨o¨od kokku saades t¨o¨ o tervel l~oigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse t¨o¨o valemi. T¨apse t¨o¨o valemi saame, kui muudame l~oigu t¨ ukelduse "l~opmata peeneks", st v~otame ligikaudsest t¨o¨ o valemist piirv¨a¨artuse pikima osal~oigu pikkuse l¨ahenemisel nullile. Asume t¨o¨o valemi tuletamise juurde. Seejuures eeldame, et funktsioon F (x) on pidev. Pidevus on vajalik selleks, et F (x) muutuks v¨aikestel osal~oikudel v¨ahe. Teatavasti l¨aheneb pideva funktsiooni muut nullile tema argumendi muudu l¨ahenemisel nullile (vt §2.9). Jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0 , x1 , x2 , . . . , xn , kusjuures
Idee on j¨argmine: jaotame vaadeldava l~oigu [a, b] v¨aikesteks osal~oikudeks nii, et igal osal~oigul on j~oud ligikaudselt konstantne. Igal osal~oigul arvutame t¨o¨o eraldi, kasutades selleks u ¨laltoodud valemit. Seej¨arel liidame osal~oikudel tehtud t¨o¨od kokku saades t¨o¨o tervel l~oigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse t¨o¨o valemi. T¨apse t¨ o¨o valemi saame, kui muudame l~oigu t¨ ukelduse "l~opmata peeneks", st v~otame ligikaudsest t¨o¨o valemist piirv¨a¨artuse pikima osal~oigu pikkuse l¨ahenemisel nullile. Asume t¨o¨o valemi tuletamise juurde. Seejuures eeldame, et funktsioon F (x) on pidev. Pidevus on vajalik selleks, et F (x) muutuks v¨aikestel osal~oikudel v¨ahe. Teatavasti l¨aheneb pideva funktsiooni muut nullile tema argumendi muudu l¨ ahenemisel nullile (vt §2.9). Jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0 , x1 , x2 , . . . , xn , kusjuures a = x0 < x1 < x2 < .
kd = 4 10 8 -1=5.74 6. Ülesanne. Firma müüs 20-aastaseid võlakirju 12% kupongiintressiga 10 aastat tagasi hinnaga 1 050 eurot. Praegu on nende võlakirjade turuväärtus 860 eurot. Sama hinnaga saaks ettevõte emiteerida ka uusi 10.a. võlakirju mille kupongintressimäär jääks samaks. Mis on firma laenukapitali maksude-eelne hind? Milline oleks laenu maksujärgne hind kui tulumaksumääraks kasumilt on 20%. Lahendamisel lähtuge ligikaudsest tulususest tähtajani. (excelis annab täpsema tulemuse funktsiooni =rate() kasutamine). Võlakirja nimiväärtus on 1 000 EUR. Lahendus: 860-1000 12 × 1000+ 10 YTM = =14.41 860+1000 2 Excelis saame tulemuseks: =RATE(10;12%*1000;-860;1000), ehk 14.76%, mis on täpne arvutus. Tulumaksujärgne hind oleks seega: kd = YTMx(1-t) = 14.41%x(1-20%) = 11.53% 8. Ülesanne
annaabi.ee 
