Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "DISKREETNE MATEMAATIKA (IAY0010) KODUTÖÖ". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
muutuja, tuletis, 1001, 0101, 1011, 0111, 1111, shannoni, 1010, 1101, disjunktiivne, diskreetne, matemaatika, loogikafunktsioon, karnaugh, indek, loogikaalgebra, kujule, konjunktiivne, reed1 0010 (2) X 1-2 001- X 1-2 -01- A6 0100 (4) X -010 X 2-3 10-- A7 1000 (8) * X 010- A1 100- X 10-0 X 2 0011 (3) X 2-3 0-11 A2 0101 (5) X -011 X 1001 (9) X 01-1 A3 1010 (10) X -101 A4 10-1 X 1-01 A5 101- X 3 0111 (7) * X 1011 (11)* X 1101 (13)* X
KODUTÖÖ *** 15****IAPB ****** Detsember 2015 1. Minu matriklinumbrile (155423) vastav loogikafunktsioon oma numbrilises 10nd esituses: f(x1, x2, x3, x4) = ∑ (2, 3, 7, 8, 9, 13)1 (1, 4, 5, 14, 15)_ 2. Esitada oma loogikafunktsiooni tõeväärtustabel: x1 x2 x3 x4 f 0000 0 0001 - 0010 1 0011 1 0100 - 0101 - 0110 0 0111 1 1000 1 1001 1 1010 0 1011 0 1100 0 1101 1 1110 - 1111 - 3. Leida MDNK (McClusky meetodil) ja MKNK (Karnaugh’ kaardiga); tuvastada, kas leitud MDNK ja MKNK on teineteisega loogiliselt võrdsed või mitte. MKNK leidmine: 2
Diskreetne matemaatika KODUTÖÖ Mina Ise 132456 IADB?? Tallinn 2019 ÜLESANNE 1 LOOGIKAFUNKTSIOON Leian oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon Matriklinumbri 5 viimast numbrit: 93656 Matriklinumber kuueteistkümnendsüsteemis: 2F478 Seitsmekohaline arv: 3F58CC8 Üheksakohaline arv: 54DFF9FF8 Ühtede piirkond: 3, 5, 8, 12 ( C16 ), 15 ( F16 )/ 0011, 0101, 1000, 1100, 1111 Määramatuspiirkond : 4, 9, 13 ( D16 ) / 0100, 1001, 1101 0-de piirkond : 0, 1, 2, 6, 7, 10 ( A16 ), 11 ( B16 ), 14 ( E16 ) / 0000, 0001, 0010, 0110, 0111, 1010, 1011, 1110 𝒇(x(x1,x2,x3,x4) = ∑ ( 3, 5, 8, 12, 15 )1 ( 4, 9, 13 )_ 𝒇(x(x1,x2,x3,x4) = ∏ ( 0, 1, 2, 6, 7, 10, 11, 14 )0 2 ÜLESANNE 2 TÕEVÄÄRTUSTABEL Esitada oma loogikafunktsiooni tõeväärtustabel.
Määramatuspiirkond: 2, 4, 7, 15 Matriklile 164139 vastav 4-muutuja loogikafunktsioon oma numbrilises 10ndesituses: 0,1,3,5,9,11,13 ¿ ¿ ¿ 1(2,4,7,15) ¿ f ( x 1 ... x 4 )= ¿ Nullide piirkond: 6, 8, 10, 12, 14 2. Funktsiooni tõeväärtustabel Nr. x1x2x3x4 f 0 0000 1 1 0001 1 2 0010 - 3 0011 1 4 0100 - 5 0101 1 6 0110 0 7 0111 - 8 1000 0 9 1001 1 10 1010 0 11 1011 1 12 1100 0 13 1101 1 14 1110 0 15 1111 - 3. MDNK ja MKNK leidmine Matriklinumber on paaritu, seega MDNK leian Mcluskey meetodiga ja MKNK Karnaugh kaardiga MKNK leidmine: 6, 8,10, 12,14 ¿ ¿ ¿ 0( 2,4,7,15) ¿ f ( x 1 ... x 4 )= ¿
Võrdlen MKNK-st lihtsustatud DNK ja McCluskey' meetodiga saadud MDNK tõeväärtustabeleid, et teada saada kas disjunktsioonkuju avaldised on loogiselt võrdsed. Loogiliselt võrdsed funktsioonid väljastavad iga argumentvektori korral võrdsed väärtused. x1x2x3x4 Funktsioon f Funktsioon f1 0000 1 1 0001 1 1 0010 0 0 0011 0 0 0100 0 0 0101 0 0 0110 1 1 0111 1 1 1000 0 0 1001 1 1 1010 0 0 1011 1 1 1100 0 0 1101 1 1 1110 0 0 1111 0 0 Tabelist selgub, et funktsioon f ja funktsioon f1 on loogiliselt võrdsed. ÜLESANNE 4 Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK 1) Leian taandatud DNK
1-00 K A 5 A 6 A 7 2 0011 K 0-11 K 1001 K 1-01 K 1010 K 1-10 K 0101* K -101 K 0110* K 01-1 K 1100* K 011- K 3 1101 K -110 K 0111* K 110- K 1110* K 11-0 K 4 1 3 4* 5* 6* 7* 8* 9 10 12 13 14
x1x2 00 1 1 - 1 01 1 0 1 - 11 0 0 - 1 10 1 1 0 0 MDNK: f(, , , ) = v v v MKNK McCluskey meetodiga f(, , , ) = Indek Nr Indeks Intervall Märge Intervall Märge s 3 *0011 x -011 A1 5 0101 x 2-3 -101 A2 2 6 *0110 x 110- A3 10 1010 x 101- A4 12 1100 x 3-4 1-11 A5 11 1011 x 11-1 A6 3 13 1101 x 4 15 *1111 x Lihtimplikantide hulga minimeerimine:
f(x1, x2, x3, x4) = (1, 5, 6, 9, 10, 13)0 Indeks 1-de M Int M Int M intervall 0 - - - - - - 1 0001 X 0-01 X --01 A3 -001 X 2 0101 X -101 X 0110 A1 1-01 X 1001 X 1010 A2 3 1101 X 4 - - - - - - 1 5 6 9 10 13
1. Matriklinumber: 164780 Matriklinumber 16ndsüsteemis: 283AC 7-kohaline arv: 35E6B74 4-muutuja loogikafunktisooni 1de piirkond: 3, 4, 5, 6, 7, 11, 14 9-kohaline arv: 48381F86C 4-muutuja loogikafunktisooni määramatuspiirkond: 1, 8, 12, 15 4-muutuja loogikafunktisooni 0de piirkond: 0, 2, 9, 10, 13 2. f(x1x2x3x4) = ∑(3, 4, 5, 6, 7, 11, 14)1 (1, 8, 12, 15)_ x1x2x3 f x4 0000 0 0001 - 0010 0 0011 1 0100 1 0101 1 0110 1 0111 1 1000 - 1001 0 1010 0 1011 1 1100 - 1101 0 1110 1 1111 - 3. MDNK leidmine Karnaugh´ kaariga: 00 01 11 10 00 0 − 1 0 01 1 1 1 1 11 − 0 − 1 10 − 0 1 0 MDNK: f(x1x2x3x4) = ´x 1 x 2 v x 3
1 0001 (1) x 1-2 00-1* x 1-2-2-3 0--1* A3 0100 (4) x 0-01 x 01-- A4 1000 (8) x 010- x -10-* A5 2 0011* (3) x 01-0 x 2-3-3-4 -1-1 A6 0101 (5) x -100* x 0110 (6) x 10-0* A1 1010* (10) x 1-00* A2 1100* (12) x 2-3 0-11* x 3 0111 (7) x 01-1 x 1101* (13) x -101* x 4 1111* (15) x 011- x
....................................................5 2.2MKNK leidmine Karnaugh' kaardiga..................................................................6 2.3 Taandatud DNK leidmine..................................................................................6 2.4 Täieliku DNK leidmine...................................................................................... 6 2.5Täieliku KNK leidmine........................................................................................7 2.6 Shannoni disjunktiivne arendus muutujatele x2x3x4 ....................................... 8 Vastused................................................................................................................8 1. Funktsiooni leidmine 1.1 Funktsiooni arvutamine Matrikli number on 010636 Pärast selle teisendamist kuueteistkümnendsüsteemi 'Windows Calculatoris' saan tulemuseks arvu 298C Leian funktsiooni ühtede piirkonna ja määramatuspiirkonna:
01-- A2 3-2-3- 1 0100 X 01-0 X 1-2-2-3 -1-0 A3 3-4 -100 X 01-1 X 0101 X 011- X 0110* X 10-1 A1 2-3-3-4 -11- A4 2 1001 X 2-3 101- X 1-1- A5 1010 X -110 X 1100 X 1-10 X 11-0 X 0111 X
0000 0 Täielikult määratud 0001 1 Karnaugh’ kaart: Tõeväärtustabel: 0010 1 x₃x₄ 0011 0 00 01 11 10 0100 1 x₁x₂ 00 0 1 0 10101 1 0110 0 01 1 1 0 00111 0 1000 0 11 1 1 1 0 1001 1 10 0 1 0 11010 1 1011 0 1100 1 1101 1 1110 0 1111 1 V¹={0001,0010,0100,0101,1001,1010,1100,1101,1111} (kõik välja kirjutada)
Tallinn 2012 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number 10. süsteemis: 121055 Matrikli number 16. Süsteemis: 8-kohaline arv: 2F572B3F 4-muutuja loogikafunktsiooni 1de piirkond: 2, 15, 5, 7, 11, 3 2F572B3F/11=2C8E46D Määramatuspiirkond: 12, 8, 14, 4, 6, 13 (x1...x4) = (2, 3, 5, 7, 11, 15)1 (4, 6, 8, 12, 13, 14)_ 2. Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4- muutuja funktsiooni esitamiseks. X3,X4 00 01 11 10 X1,X2 00 0 0 1 1 01 - 1 1 - 11 - - 1 - 10 - 0 1 0 __ (X1,X2,X3,X4)=( X2 X3 X4 X1 X3) - MDNK Index Number Märge Index Nr.d Vahe M Index Nr.d Vah M
00-0 X 0--0 A1 0-00 X 1 0001 X 0-01 X --01 A3 0010 0-10 X 0100 -001 X -010 X 010- X 01-0 X 2 0101 X -101 X 0110 X 10-1 A 1001 X 1-01 4 1010 X 101- X A 5 3 1011 X 1101 X 4 Graaf 3.2 3
MKNK McCluskey' meetodiga. Indeks Intervall M Indeks Intervallid M Indeks Intervallid M 0 - 0-1 - 0-1-1-2 - 1 0001 x 1-2 0-01 A2 1-2-2-3 01-- A4 0100* x 010- x 1000 A1 01-0 x 2 0101 x 2-3 01-1 x 2-3-3-4 -1-1 A5 0110 x -101 -11- A6 011- x -110 3 0111* x 3-4 -111 1011 x 1-11 3
T Karnaugh' kaartide topoloogia 2muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 2 (või 1 4) ruutu ; 3muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 4 = 8 ruutu ; 4muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 4 4 = 16 ruutu ; e h n ik a t või i 6 - muutuja Karnaugh' kaart v ut Karnaugh' kaartide põhiomadused r 2 - muutuja 3 - muutuja 4 - muutuja Karnaugh' kaart Karnaugh' kaart Karnaugh' kaart A Karnaugh' kaardil on 2 põhiomadust.
ruut 1 peab olema kaetud kontuuridega 1-kordselt või 3-kordselt. 00 0000 0001 0011 0010 Valitud kontuuride koguarv võib seejuures olla nii paarisarv kui ka paaritu. Kontuuride valiku reegel tasub sõnastada lihtsustatud kujule: 01 0100 0101 0111 0110 a kõik 1-d tuleb katta (võimalikult suurte) mittelõikuvate kontuuridega k 11 1100 1101 1111 1110 (misjuhul saavad kõik 1-d olema kontuuridega kaetud 1-kordselt) h n i
Tulemus tuleb sama: fTDNK = ( 1 2x3) v ( 1x2 3 4) v (x1 2x3 4) MDNK ja DNK ei ole võrdsed. MDNK on lihtsam, kuna DNK leidmisel ei arvestatud määramatuspiirkonnaga. 6. Leida ja näidata, milleks (0 või 1) väärtustuvad (punktis 3) leitud MDNK ja MKNK määramatuspiirkonna kõikide argumentvektorite korral. Otsustada (hinnata), kas leitud MDNK ja MKNK on teineteisega võrdsed või mitte. X1 X2 X3 X4 fD fK 1 0001 0 0 5 0101 0 1 6 0110 1 0 9 1001 0 0 12 1100 1 1 14 1110 1 0 15 1111 0 0 Antud tabelist selgub, et leitud MDNK ja MKNK ei ole teineteisega võrdsed. 7. Realiseerida (punktis 3) MDNK-na saadud loogikafunktsioon minimaalseima keerukusega loogikaskeemina, kasutades vabaltvalitud loogikaelemente AND OR ja NOT. Esmalt lihtsustan veidi loogikafunktsiooni tuues 4 sulgude ette:
...3 4. Teisenda MKNK DNK kujule.......................................................................................5 5. Leida vabaltvalitud viisil MDNK-ga loogiliselt võrdne Taandatud DNK ja Täielik DNK...................................................................................................................................6 6.MKNK-ga võrdne Täielik KNK......................................................................................7 7.Shannoni disjunktiivne arendus rohkeima muutuja järgi........................................8 8. Shannoni disjunktiivne arendus 1 muutuja järgi.....................................................8 9.Shannoni konjuktiivne arendus MDNK-le 2 muutuja järgi.......................................8 10.Tuletis kõigi nelja muutuja järgi................................................................................8 10.1.x1 järgi:................................................................................................................
1 1 1 1 1 1 — — s 00 In rakendades kleepimisseadust x = x y w x ¯ y teisendame avaldise 01 — — korraks keerulisemaks, lisades liiasele liikmele seal puuduva muutuja x4 11 1 1 — 1 Siis tekkivad avaldises neeldumised kujul x w xy = x 10 1 1 x1 x¯2 x¯4 w x1 x¯2 x3 w x3 x4 = x1 x2 = 00 x1 x2 = 01 x1 x2 = 11 x1 x2 = 10
3 7 x 5-13 8 x 13 x 6-7 1 x 9-13 4 x Seega on taandatud DNK: Ehk taandatud DNK langeb kokku MDNK-ga. * Leian TDNK. Kirjutan TDNK eelnevalt leitud f1-e tõeväärtustabeli ühtede piirkonnast. 5. Leida vabaltvalitud viisil punktis 2 saadud MKNK-ga (loogiliselt) võrdne Täielik KNK. Teisendan punktis 2 saadud MKNK TKNK-ks. 6. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus selle muutuja (muutujate) x i järgi, mida esineb MDNK-s kõige rohkem. Minu MDNK-s esinevad muutujad x1 ja x3 mõlemad 3 korda. Seega teen Shannoni disjunktiivse arenduse kahe muutuja järgi. = 7. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni disjunktiivne arendus vabaltvalitud 2he muutuja järgi. Kui punktis 6 juba tehti Shannoni disj. arendus just 2 muutuja järgi, siis tuleb siin teha
4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 -1 1 -1 0 Täielik DNK: x1x2x3x 00 01 11 10 4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 -1 1 -1 0 5. Täielik KNK: x1x2x3x 00 01 11 10 4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 - 1 -0 0 6. Shannoni disjunktiivne arendus (x1x2x4 järgi) = = 7. Shannoni disjunktiivne arendus (1 muutuja järgi) = 8. Shannoni konjunktiivne arendus (järgi) & & =[ 9. Reed-Mulleri polünoom
All on saadud TKNK ning peale seda võrdlen MKNK tõeväärtustabeliga. ( x 1 V x 2 V x3 V x´4 ) ( x1 V x´2 V x´3 V x´4 )( x´1 V x´2 V x´3 V x´4 ) ( x´1 V x´2 V x´3 V x 4 ) ( x´1 V x 2 V x 3 V x 4 )¿ ¿( x´1 V x 2 V x 3 V x´4 )( x´1 V x2 V x´3 V x´4 ) 7. Leian Shannoni disjunktiivse arenduse punktis 3 leitud MDNK-le muutuja x 2 järgi, seda esineb kõige enam. MDNK : ´x 3 x 2 x´ 1 ´x2 x 3 ´x 2 x 3 x´ 4 ´x 1 x´ 4 ´x 3 x 2 ´x 1 x´ 2 x3 ´x 2 x 3 x´ 4 ´x 1 ´x 4 =¿ ¿ x´ 2 ( ´x 3 0 x´ 1 1 x 3 1 x 3 ´x 4 ´x 1 ´x 4 ) V x2 ( ´x 3 1 ´x 1 0 x 3 0 x 3 x´ 4 ´x 1 x´ 4 )=¿ ¿ x´ 2 ( ´x 1 x 3 x 3 ´x 4 x´ 1 ´x 4 ) V x 2 ( ´x3 ´x 1 ´x 4 ) 8
2. Esitada oma loogikafunktsiooni tõeväärtustabel x1 x2 x3 x4 0000 0 0001 1 0010 1 0011 1 0100 1 0101 - 0110 - 0111 0 1000 1 1001 0 1010 0 1011 0 1100 1 1101 -
üldsuse kvantorit: ∀ x = 3 saame tõese predikaatlause (predikaatvalemi): Väärtustades ∀ x P ( x) P(3) = (3 > 2) ∧ (3 < 4) = 1 ehk üldkujul: ∀x ( . . . mistahes lause muutuja x osalusel . . . ) ehk Kui kvantorit rakendatakse üksikule predikaaditähisele, võib sulud ära jätta. Üldsuse kvantorit∀ interpreteeritakse valemi lugemisel: "iga". Kvantorit võib predikaaditähise asemel rakendada ka predikaatlausele endale: Kui soovime väita, et predikaat P (x) kehtib vähemalt ühe oma
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 f(x1 , x2 , x3 )= x1 x2x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1x2x3 Erinevate loogikafunktsioonide f(x1 ,x2 ,...xn) arv K on 2 2 n . n=1 K=4 n=2 K=16 n=3 K=256 n=4 K=65536 n=5 K=4,3 · 109 Järgnevalt tutvume kõikvõimalike kahe muutuja funktsioonidega f(x1 , x2 ). x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tabelis on kirjeldatud järgnevad funktsioonid:
1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 f(x1 , x2 , x3 )= x1 x2x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1x2x3 n Erinevate loogikafunktsioonide f(x1 ,x2 ,...xn) arv K on 2 2 . n=1 K=4 n=2 K=16 n=3 K=256 8 n=4 K=65536 n=5 K=4,3 109 Järgnevalt tutvume kõikvõimalike kahe muutuja funktsioonidega f(x1 , x2 ). x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tabelis on kirjeldatud järgnevad funktsioonid: f0 - konstant "0"
...... 5 ÜLESANNE 4 MKNK TEISENDAMINE DNK-KUJULE....................................5 ÜLESANNE 5 DISJUNKTIIVSED NORMAALKUJUD.....................................5 5.1 TAANDATUD DNK........................................................................................... 5 5.2 TÄIELIK DNK.................................................................................................. 6 ÜLESANNE 6 TÄIELIK KNK....................................................................6 ÜLESANNE 7 SHANNONI DISJUNKTIIVNE ARENDUS KOLME MUUTUJA JÄRGI..................................................................................................6 ..........................................................................................................7 ÜLESANNE 8 SHANNONI DISJUNKTIIVNE ARENDUS KAHE MUUTUJA JÄRGI7 ÜLESANNE 9 SHANNONI KONJUNKTIIVNE ARENDUS...............................7 ÜLESANNE 10 TULETISED.....................................................................8
Loogikafunktsiooni implikant Lihtimplikant Taandatud DNK Taandatud DNK (TaDNK) on funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon. Mõistel IMPLIKANT pole mingit seost loogikatehtega implikatsioon. Eelmise näitefunktsiooni Taandatud DNK esitub Karnaugh' kaardil : Ü Loogikafunktsiooni implikandiks nimetatakse tema 1-de piirkonna x 2 x3 T mistahes intervalli ( ehk tema igat "ühtede intervalli" ). x 1 00 01 11 10 T ( meenutame : intervall on kindlate omadustega 2ndvektorite hulk ) /¯¯ näide: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯�
MDNK: Ind Int. M Ind. Int. M Indeks Int. M Indeks Int. M .0 0000 X 0-1 000- X 0-1-1-2 00-- A1 1-2-2-3-3-4 --1- A4 1 0001* X 00-0 X -0-0 A2 0010 X -000 X 1-2-2-3 0--1 A3 1000* X 1-2 00-1* X 0-1- X 0-01 X -01- X 2 0011* X 001- X --10 X 0101 X 0-10 X 2-3-3-4 --11 X 0110 X -010 X -11- X 1010* X 10-0* X 1-1- X 3 0111* X 2-3 0-11* X 1011 X -011X X 1110* X 01-1 X 011- X 4 1111 X -110 X 101- X
5, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 0de piirkond f(x1, x2, x3, x4)=∑(1, 2, 3, 4, 6, 12)1 (0, 7)_ 2. Tõeväärtustabel x1, x2, x3, x4 f 0000 - 0001 1 0010 1 0011 1 0100 1 0101 0 0110 1 0111 - 1000 0 1001 0 1010 0 1011 0 1100 1
M Ind 2-sed intervallid M Ind 4-sed d intervallid 0 0000 X 0-1 -000 A1 0-1-1-2 1 1 0 0 0* X 1-2 100- X 1-2 1 - 0 - A4 1-00 X 2-3 2 0011 X 2-3 0-11 A2 2-3-3-4 1 1 - - A5 1001 X 1-00 X 1 1 1 0* X 11-0 X 110- X 3 0 1 1 1* X 3-4 -111 A3 1101 X 11-1 X 1 1 1 0* X 111- X 4 1111 X 0 3 7* 8* 9 12 13 14* 15 A1 X X
annaabi.ee 
