Ökonomeetria MS.0151 Laboratoorne töö nr. 10 Analüüsida järgmist astmefunktsiooni (Cobb-Douglas'e tootmisfunktsioon) , kusjuures a0 = 1 a1 + a 2 = 1 a1 = 0,888 (de on õpinguraamatu numbrikohad) a2 = 1 - a1 0,112 x1 - kapital x2 - tööjõud Selleks: a) arvutada funktsiooni väärtused kui x1 muutub vahemikus 10 kuni 20 (samm 0,5) ja x2 muutub vahemikus 2 kuni 20 (samm 1);
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n
kus k1 reaktsiooni kiiruskonstant p reaktsiooni järk aine A suhtes q reaktsiooni järk aine B suhtes p+q reaktsiooni summarne järk Temperatuur Mida kõrgem on temperatuur, seda intensiivsem on molekulide soojusliikumine ja suurem nende kineetiline energia. Van´t Hoffi reegel- Temperatuuri tõstmine 10 °C võrra suurendab reaktsioonikiirust kaks kuni neli korda. Seega pole kiiruse sõltuvus temperatuurist lineaarne, vaid sellist temperatuurisõltuvust kirjeldab astmefunktsiooni graafik. Katalüsaatorite toime Katalüsaatorid on ained, mis muudavad reaktsioonikiirust. Heterogeensete reaktsioonide korral, kus reageerivad ained on erinevates agregaatolekutes, mõjutab reaktsioonikiirust ka reageerivate ainete kokkupuutepinna suurus. Eksperimentaalne töö 1 Töö ülesanded ja eesmärk Ülesanne: Ainete kontsentratsiooni muutuse mõju tasakaalule. Eesmärk: Reaktsioonikiirust mõjutavate tegurite mõju uurimine, reaktsiooni järgu
Oluliste argumentide varieeruvuse mõju regressioonanalüüsi tulemustele. Sõltumatute muutujate mitteküllaldane varieeruvus ei võimalda avada kogu arvandmetes sisalduvat infot ning seeläbi vähendavad regressioonmudelite kasutamise efektiivsust ja usaldusväärsust. Sõltumatute muutujate varieeruvus vähenemine, vähendab ka arvandmetes olevat info hulka. Seega sõltumatute muutujate mitteküllaldane varieeruvus vähendab regressioonkordajate stabiilsust. 8. Astmefunktsiooni (Cobb Douglase funktsiooni) parameetrite leidmine. Isokvandid. Nende kasutamine. Astmefunktsioon on ruutfunktsiooni kõrval teiseks enam kasutamist leidnud mitmese mittelineaarse regressioonimudeli regressioonivõrrandiks. Astmefunktsiooni iseärasused on järgmised: 1.Võrrandi parameetrid leitakse astmefunktsiooni logaritmimise teel; 2.Astmefunktsioon on minimaalse parameetrite arvuga mitmene mittelineaarne
tekkimiseni mõni minut. · Van´t Hoffi reegel- Temperatuuri tõstmine 10°C võrra suurendab reaktsiooni kiirust kaks kuni neli korda. 4 t 2 - t1 vt2 = vt1 * 10 Seega pole kiiruse sültuvus temperatuurist lineaarne, vais sellist temperatuurisõltuvust kirjeldab astmefunktsiooni graafik. KATSE 1 Reaktsioonikiiruse sõltuvus lähteainete kontsentratsioonist Jagasin kaheksa katseklaasi neljaks paariks. Ühte katseklaasi igast paarist panin väävelhappelahuse, teisse naatriumtiosulfaadilahuse, milee konsentratsioon paariti erineb. Algul täitsin neli katseklaasi H2SO4 lahusega- igasse katseklaasi 6 cm3 . Erineva konsentratsiooniga lahused valmistasin järgnevalt: Ühte katseklaasi mõõtsin 6 cm3 H2SO4 lahust,
Logaritmiline diferentseerimine Seega logaritmilise diferentseerimise võtte rakendamisel tuleb: Logaritmida funktsiooni avaldise y = f (x) absoluutväärtus: ln | y |= ln | f ( x) | Võtta tuletis mõlemalt poolt: 1 y ' = (ln | f ( x) |)' y Avaldada y': y ' = f ( x)(ln | f ( x) |)' 15 Astmefunktsiooni tuletis y = x n , n R, x > 0 ln y = ln x n ln y = n ln x 1 1 y' = n y x 1 n 1 y ' = yn = x n = nx n -1. x x ( x n )' = nx n -1 Valem kehtib ka siis, kui x < 0, kui vaid xn omab mõtet. Ülesanne (kodus): Kasutades logaritmimisvõtet leida eksponentfunktsiooni tuletis. 16
Lõpptulemusena tootmist kõige rohkem mõjutavad tegurid varieeruvad kõige vähem.Varieeruvuse suurenedes regressioonikordaja varieeruvus väheneb ehk regressioonikordaja stabiilsus (ustavus) suureneb. Järelikult mitteküllaldas varieeruvuse korral regressioonikordaja varieeruvus suureneb ehk regressioonikordaja stabiilsus(ustavus) väheneb. Seega sõltumatute muutujate mitteküllaldane varieeruvus vähendab regressioonikordajate stabiilsust (ustavust). .Astmefunktsiooni parameetrite leidmine. Isokvandid. Nende kasutamine. Astmefunktsioon on ruutfunktsiooni kõrval teiseks enam kasutamist leidnud mitmese mittelineaarse regressioonimudeli regressioonivõrrandiks. Astmefunktsiooni iseärasused on järgmised: 1. Võrrandi parameetrid leitakse astmefunktsiooni logaritmimise teel; 2. Astmefunktsioon on minimaalse parameetrite arvuga mitmene mittelineaarne funktsioon 3. Astmefunktsioon on ruutfunktsiooniga võrreldes tunduvalt jäigem 4
seega tegemist on esimest järku reaktsiooniga . Temperatuuri tõstmisel reaktsioonikiirus kasvab, sest mida kõrgem on temperatuur, seda intensiivsem on molekulide soojusliikumine, mis suurendab molekulide efektiivsete kokkupõrgete tõenäosust. Uuritud reaktsioonikiirus temperatuuri tõstmisel 10 kraadi võrra tõusis u 1,8 korda. Seega pole kiiruse sõltuvus temperatuurist lineaarne, vaid sellist temperatuursõltuvust kirjeldab astmefunktsiooni graafik. 12
nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Sin( x+2)=sinx )c=2) Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määaramispiirkonna alamhulk. Valime h ulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis f on kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks st f(x1) > f(x2), siis f on kahanev hulgas D. Astmefunktsiooni mõiste (määramispiirkonda ei küsi). kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Eksponent- ja trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0 ja Antud funktsiooni korral X = R ja Y = (0;1). 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Kui iga y korral hulgast Y
42. Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletiste valemid. 43. Konstandi valem: C'=0 44. Summa valem: (u+v)'=u'+v' 45. Korrutise valem: (uv)'=u'v+uv' u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du = 49. dx du dx 50. 51. Eksponentfunktsiooni ja logaritmfunktsiooni tuletis ning astmefunktsiooni tuletis mistahes reaalarvulise astendaja puhul (valemid). Funktsioonide y = tan x ja y = ln x tuletiste valemid. Logaritmiline diferentseerimine. Arkusfunktsioonide tuletiste valemid 52. ( x) = 1 53. ( x ) = x -1 54. (e x ) = e x 55. ( a x ) = a x ln a 1 (ln x) = 56. x 1 (log a x ) = 57. x ln a 58. (sin x) = cos x 59
tuletise mõiste. neid; Funktsiooni 6) leiab funktsiooni esimese ja tuletise teise tuletise. geomeetriline tähendus. Funktsioonide summa ja vahe tuletis. Kahe funktsiooni korrutise tuletis. Astmefunktsiooni tuletis. Kahe funktsiooni jagatise tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Funktsiooni teine tuletis. Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised. Eksponent- ja logaritmfunktsioon i tuletis.
van't Hoff, 1852...1911) reegel. Temperatuuri tõstmine 10 °C võrra suurendab reaktsioonikiirust kaks kuni neli korda. Matemaatiliselt võiks selle kirja panna järgmiselt: t2−t1 10 v t 2=v t 1∗γ vt1- reaktsioonikiirus temperatuuril t1 vt2-reaktsioonikiirus temperatuuril t2 y-reaktsiooni temperatuuritegur (y=2…4) Seega pole kiiruse sõltuvus temperatuurist lineaarne, vaid sellist temperatuursõltuvust kirjeldab astmefunktsiooni graafik. Van't Hof reegel kehtib siiski vaid toatemperatuurile lähedastel temperatuuridel ning täpsemate sõltuvuste saamiseks tuleb kasutada Arrheniuse võrrandit. Katalüsaatorite toime. Katalüsaatorid on ained, mis muudavad reaktsioonikiirust. Osaledes mingis reaktsiooni järgus, taastuvad nad reaktsiooni lõpuks keemiliselt ja endises hulgas. Katalüsaatorite mõju on selektiivne: katalüsaator kiirendab ainult kindlat
Selliseks suuruseks, mis ei sõltu võrreldavate suuruste mõõtühikutest, on protsentides mõõdetav elastsus. Astmefunktsioon Astmefunktsioon Y=a0*Xa1*e ei ole lineaarne muutujate suhtes. Regressioonimudeli parameetrite hindamiseks kasutatakse lineariseerimist (võrrandi mõlemad pooled logaritmitakse) lnY=lna0+a1lnX Nüüd on mudel lineaarne parameetrite suhtes ja lineaarne ka muutujate Y ja X logaritmide suhtes. Log-log või log-lineaarne mudel Kui astmefunktsiooni mudel on teisendatud logaritmilisele kujule lnY=c0+a1*lnX+e siis nim sellist mudelit log-log mudeliks, kuna nii sõltuv kui sõltumatu muutuja on logaritmitud kujul. Ning log-lineaarseks mudeliks, kuna sellises mudelis on muutujad logaritmitud kujul, mudel on aga parameetrite suhtes lineaarne. Konstantse elastsusega mudeli korral on muutujad mudelis logaritmitud kujul. Poollogaritmiline mudel Eksponentsiaalne funktsioon logaritmilisel kujul lnY=c0+a1*X
arvutamises. Näide. Olgu meil teada ideaalse gaasi rõhk ja ruumala ning tuleb leida gaasi temperatuur. Selleks kasutame ideaalse gaasi olekuvõrrandit pV = RT. Avaldame temperatuuri T = pV/R ja arvutame T väärtuse. Võrrandid on oma olemuselt mitmesugused. Füüsikas kasutatakse peamiselt võrrandeid, mis kirjeldavad: a) võrdelist sõltuvust y = ax (I) või lineaarset sõltuvust y = ax b (II); b) pöördvõrdelist sõltuvust y = a/x või xy = a; c) astmefunktsiooni y = axn ; d) eksponentfunktsiooni y = ax (graafik sarnaneb astmefunktsiooni graafikule). y y I II x x a) b) y n0 n0 x c)
2. On antud võrrand . Ilmutada selle võrrandiga määratud funktsionaalne sõltuvus y = f(x)! On kaks funktsionaalset sõltuvust: ja 3. Esitage 2 paarisfunktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paarisf-n: 4. Esitage 2 paaritu funktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paaritu f-n: 5. Nimetage elementaarsed põhifunktsioonid! Astnef-nid, eksponentf-nid, logaritmf-nid, trigonomeetrilised f-nid, arkusf-nid 6. Mis on astmefunktsioon? Esitage astmefunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Astmef-n on funktsioon, kus f-n on reaalarvulises astmes. 7. Mis on eksponentfunktsioon? Esitage eksponentfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Eksponentf-n on f-n milles sisaldub e ( ....), mis on võetud astmesse x. 8. Mis on logaritmfunktsioon? Esitage logaritmfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Logaritmf-n on eksponentf-ni pöördf-n. 9
Vabaliikme väärtuse koos määramatusega saab jällegi leida märgitestist (valemid (21) ja (22)). 5.2 Teiste funktsioonide regressioonsirged Keerulisemate ja kumeramate sõltuvuste jaoks regressioonkõveraid ei joonistata. Selle asemel teisendatakse katsetulemusi nii, et need kujutaksid graafikul lineaarset sõltuvust. Mõõdetud suurustest võetakse logaritm, eksponent, pöördväärtus või teisendatakse tulemusi muul sobival viisil. Näiteks astmefunktsiooni y = Axn korral võib graafikul kujutada y-xn sõltuvust või log y−log x sõltuvust. Mõlemal juhul on sõltuvuseks sirge, mille tõus võrdub esimesel juhul konstandiga A, teisel juhul korrutisega n log A. 19 6 Abiks eksperimendis Must kast Must kast on salapärane karp, kuhu on peidetud elektriskeem. Katsetaja ülesandeks on välja selgitada, millised poolid, kondensaatorid ja takistid mustas kastis asuvad ja kuidas on need
() R A^ = c0 + c1 A^ + c 2 A^ 2 + ... + cn A^ n . (26.21) Operaatoril R A^() on ilmselt ühised omafunktsioonid operaatoriga A^ ja ta omaväärtused avalduvad operaatori A^ omaväärtuste kaudu järgmiselt: = c 0 + c1 + c 2 2 + ... + c n n , s t on samasugune funktsioon -st nagu operaator R^ operaatorist A^ . Selle tulemuse, mis astmefunktsiooni korral on valemites (26.11, 20, 21)) otseselt arvutatav, võtame aluseks mistahes funktsiooni F defineerimisel operaatorist A^ . Me ütleme, et operaator G^ on funktsioon operaatorist A^ , s o G^ = F A^ , kui () operaatoritel G^ ja A^ on ühised omafunktsioonid ja nende omaväärtuste ja vahel on samasugune funktsionaalne sõltuvus, s t = F ( ) . Mittekommuteeruvatest operaatoritest ei ole võimalik selle definitsiooni alusel
1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga: c = 0. Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn . Siit y = nxn-1 + Cn2 xn-2 x + ... + xn-1 . x ja y (xn ) = lim = nxn-1 , x0 x
A B Joonis 26. Teoreetilise mudeli kontroll. A) lineaarne sõltuvus B) eksponentsiaalne sõltuvus. Arvutiprogrammid võimaldavad katsepunkte lähendada ka keerulisemate kõveratega. Näiteks võimaldab tabelarvutuse programm Excel XP läbi katsepunktide parve tõmmata kas eksponentsiaalse, logaritmilise või astmefunktsiooni kõvera või kuni 6. järku polünoomi. MathCAD 2001i pakub kõvera tüüpide valikul veelgi laiemaid võimalusi. Seejuures peab eksperimentaator kindlustama, et läbi katsepunktide tõmmatud kõver oleks füüsikaliselt põhjendatud. Kõrget järku polünoomide kasutamisel, eriti veel siis kui katsepunkte on vähe, kipuvad kõveratele sisse tulema sellised jõnksud, mis füüsikaliselt ei ole põhjendatud. Seetõttu tuleb
Meenutagem vaid, et loomade kehamass varieerub väikseimast suurimani 10 suurusjärgu võrra! Suurema kehaga liikidel on tavaliselt ka näiteks suurem aju, suuremad jalad, suurem maks jne. Mingi tunnuse väärtuse sõltuvust keha suurusest nimetatakse allomeetriliseks sõltuvuseks. Enamasti ei ole allomeetrilised sõltuvused isomeetrilised, lineaarse iseloomuga (nii et näiteks kaks korda suuremas kehas oleks ka kaks korda suurem süda), vaid kirjeldatavad mingi kõverjoonelise astmefunktsiooni abil. Isegi juhul, kui erinevad loomaliigid oma kehakuju poolest järgivad üht ja sama "ehitusplaani", ei ole kehaosade suurus üksteise suhtes isomeetriline. Vastupidi, keha suuruse muutumisel muutub üksikute kehaosade ja tunnuste proportsioon nii keha suuruse kui ka üksteise suhtes. Kuninganna Victoria aegsel Inglismaal levis õpetus, et mehed on loomult intelligentsemad kui naised, sest tollased teadlased avastasid, et nende aju on keskmiselt suurem kui naiste oma.
k/y 1/y = lim ln (1 + y) = lim ln (1 + y) = = y0 y0 funktsiooni korral k kasutame Lauset 6 1/y = ln lim (1 + y) = = y0 astmefunktsiooni korral k 1/y = ln lim (1 + y) = ln ek = k. y0 1.8. Joone as¨ umptoodid Vaatleme funktsiooni piirv¨ a¨artuse m~oiste u ¨ht rakendust geomeetrias. Definitsioon 1
¨ I 8 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Algfunktsioonide tabel Algfunktsioonide tabel Ma¨ aramata ¨ integraalide arvutamiseks kasutame fakti, et tegemist on ~ tuletise votmise po¨ ordoperaatoriga. ¨ Seega saame kasutada tuletiste tabelit. Vaatame astmefunktsiooni f (x) = x algfunktsiooni leidmist. Tuletiste tabelist (x ) = x -1 (x ) = x -1 =0 x = x -1 ¨ Tahistame := - 1, seega = + 1 ja = -1 ning x +1 x +1
2 Olgu funktsioonil f lõplikud tuletised hulga X igas punktis x. Siis vas- tavus x f (x) määrab funktsiooni f , mida nimetatakse funktsiooni f tuletisfunktsiooniks. Näiteks, funktsiooni y = x2 , x R tuletisfunkt- siooniks on sirge y = 2x. Konstandi tuletis on alati null, (Const) = 0. 49 PEATÜKK 5. FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL Astmefunktsiooni tuletis. (x ) = · x-1 , = 0. Toome eraldi välja järgmised: 1 1 1 x = 1, (x2 ) = 2x, =- , x = . x x2 2 x Eksponentfunktsioonid ja logaritmfunktsioonid. 1
noomi [lk 266] mõistest. Tuletame alustuseks meelde polünoomide ilusa omaduse [lk 268]. Nägime, et iga funktsiooni saab teatud mõttes väga täpselt kirjeldada hästi valitud polünoomiga. Kas on ehk isegi võimalik leida polünoomi, mille tuletis on igas punktis peaaegu võrdne tema endaga? Teame, et iga astmefunktsiooni tuletis on . Seega kui polünoomis on liige , peab seal olema ka liige , sest muidu poleks algne polünoom ja tule- tise võtmisel saadud polünoomi võrdsed. Vastupidi, kui polünoomis on liige , peab olema ka liige Oletame nüüd, et polünoomis on konstantne liige 1. Siis peab kindlasti leiduma ka liige , edasi liige ja nii edasi. 106
annaabi.ee 
