Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi elementaar-teisendusi. Need on: 1. maatriksi rea/veeru korrutamine nullist erineva teguriga a; 2. ühele reale/veerule k-kordse teise rea veeru liitmine; 3. maatriksi kahe rea veeru ümberpaigutamine. Elementaarteisenduste abil teisendatakse maatriksit nii et kõik maatriksi
.., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) öeldakse, maatriksi astak on r. reaalarvud, nimetatakse vektorite järgi Maatriksi astaku hõlpsamaks a1, a2, . . . , ak lineaarseks l. omadus. leidmiseks teisendataks maatriksit kombinatsiooniks. Kui vektor on Determinant ei muutu kui tema read ja enne nii, et ta kõrgeimat järku esitatud mingite vektorite lineaarse veerud omavahel ümber paigutada. See nullist erinev miinor tuleks kombinatsioonina, siis öeldakse, et omadus väljendub determinantide
olla muud moodi nimetatud. Kui nõnda, siis vasted võivad olla järgmised: Parameetriline Mitteparameetriline 2 sõltumatu valimiga t test Mann-Whitney U Test Sõltuva valimiga t test Wilcoxon Signed Ranks Test Sõltumatute valimitega t-testi raporteerimine käib nõnda: Selles suvalises näidislauses leiti, et loengutes kohalkäijate keskmine tulemus (N = kohalkäijate arv, Mastak = keskmise astaku väärtus) on statistiliselt oluliselt kõrgem kui neil, kes magavad sisse ja kohale ei tule (N = kohalkäijate arv, Mastak = keskmise astaku väärtus), U = U väärtus, p = toodud Sig. Sõltuva valimiga t-testi mitteparameetrilise analoogini jõudmine järgi eeltoodud käsklusterea loogikat: Analyze Nonparametric Tests Legacy Dialogues 2 Related Samples Tulemused: a) Väljundiaknas näete erinevust statistikutes ehkki nii parameetrilistes kui ka
kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu.
r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad
r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad
Kui nõnda, siis vasted võivad olla järgmised: Parameetriline Mitteparameetriline 2 sõltumatu valimiga t test Mann-Whitney U Test Sõltuva valimiga t test Wilcoxon Signed Ranks Test Sõltumatute valimitega t-testi raporteerimine käib nõnda: Selles suvalises näidislauses leiti, et loengutes kohalkäijate keskmine tulemus (N = kohalkäijate arv, Mastak = keskmise astaku väärtus) on statistiliselt oluliselt kõrgem kui neil, kes magavad sisse ja kohale ei tule (N = kohalkäijate arv, Mastak = keskmise astaku väärtus), U = U väärtus, p = toodud Sig. Sõltuva valimiga t-testi mitteparameetrilise analoogini jõudmine järgi eeltoodud käsklusterea loogikat: 8
.. + ann; a1, ...an K - vektori koordinaadid vaadeldavas baasis B = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; c K + = (a11 + ... + ann) + (b11 + ... + bnn) = (a1 + b1)1 + ... + (an + bn)n = (a1+b1; ...; an+bn)B c = c(a11 + ... + ann) = (ca1)1 + ... + (can)n = (ca1; ...; can)B n-mõõtmeline vektorruum V üle korpuse K on isomorfne n-mõõtmelise aritmeetilise ruumiga Kn. V <-> Kn; <-> (a1; ...; an)B = A; <-> (b1; ...; bn)B; + <-> A + B; c <-> cA 20. Miinori defnitsioon. Maatriksi astaku defnitsioon. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Astaku leidmine. Valime maatriksist A välja k rida reanumbritega i1, i2, ..., ik (i1 < i2 < ... < ik) ja k veergu veerunumbritega j1, j2, ..., jk (j1 < j2 < ... < jk). k <= m,n. Moodustame väljavalitud k rea ja veeru ühistest elementidest k-ndat järku determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema kõrgeimat järku nullist erineva miinori
Üleminekut maatriksilt A maatriksile B kahe reegli abil- 1) maatriksi A mingile reavektorile liidetakse arvu C kordne teine reavektor , CR , C 2) maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi arvuga C , CR , C seda tähistatakse A Maatriksi veergude elementaarteisendamieks 1) , CR , C, CR , C Kasutatakse lineaarvõrrandite süsteemide, maatriksvõrrandite lhendamiseks ja pöördmaatriksi leidmiseks.Maatriksi astaku r(A) leidmiseks on 2 meetodit.selle aluseks on elementaarteisendamine A .1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat
Maatriksi A veergude arv peab olema sama kui maatriksi B ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, 2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine, 3. maatriksi kahe rea (veeru) ümbervahetamine. Nt:
erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid,
elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Definitsioon. Maatriksi ridade (veerude) elementaarteisendusteks nimetakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1. maatriksi mistahes rea (veeru) korrutamine arvuga. 2. mistahes reale (veerule) arvkordse teise rea (veeru) liitmine (lahutamine). Lause 2. Kui maatriks B saadakse maatriksist A elemntaarteisenduste abil, siis nende astakud on võrdsed e. Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada nn. treppmaatriksiks. Definitsioon. Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Definitsioon. Öeldakse, et maatriks on trepikujuline ehk treppmaatriks, kui 1) read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all); 2) mistahes rea juhtelement (kui leidub) asetseb rangelt paremal temale eelneva rea juhtelemendist. Näide. Maatriksitest
.. a 2 n ... ... ... ... a am2 ... a m3 Olgu antud maatriks A = m1 . Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu. Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks. Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r. Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks. Vajadusel võib teisendada kõik peadiagonaalivälised elemendid nullideks.
... ... ... ... a am2 ... a m 3 m1 Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu. Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks. Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r. Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks. Vajadusel võib teisendada kõik peadiagonaalivälised elemendid nullideks.
. . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Gauss'i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kontrolltöö teemad 1. Pöördmaatriks ja selle leidmine ridade elementaarteisendustega. Maatriksvõrrandite lahendamine. 2. Maatriksi astaku leidmine. 3. Gauss'i meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahendi leidmine. Eksamiteemad 1. Pöördmaatriksi mõisted. Ruut-, ühik- ja nullmaatriks. Regulaarne ja singulaarne maatriks. 2. Maatriksi astak ja selle leidmine. 3. Lineaarvõrrandisüsteemi mõiste, lahend, süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 4. Kronecker'i-Capelli teoreemi sõnastus. Cramer'i peajuht. 5. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks
VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi lineaarse katte m~ o~otmega. T~ oestus. J¨areldub teoreemist 11.2. VI. Vektorruumid 29 11.6 Astakuteoreem VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi vektorite koordinaatide maatriksi astakuga. Astakuteoreemi on mugav kasutada VS-i astaku leidmiseks. 12 Lineaarse s~ oltuvuse uurimine Kirjeldame l¨ uhidalt, kuidas leida VS-i baasalams¨ usteemi. 12.1 ¨ Ulesanne Olgu dim V = k. Uurida VS-i {v1 , . . . , vn } lineaarset s~ oltuvust. Lahendus Peame uurima v~orrandit (seost) 1 v1 + 2 v2 + · · · + n vn = o Tundmatud on 1 , . . . , n
annaabi.ee 
