konstantne lõigul ja punktiks c sobib suvaline vahemiku (a;b) punkt. Kui vähemalt üks punktidest c 1 või c2 ei ole lõigu [a;b] otspunkt, siis selles punktis on Fermat´ teoreemi põhjal f´(c)=0. Teiseks vaatleme järgnevalt juhtu f(a)=f(b)≠0. Moodustame abifunktsiooni F(x)=f(x)f(a). Funktsioon F(x) rahuldab lisatingimust F(a)=F(b)=0.Et ka F(x)∈C[a;b] ∩ D(a;b)∧F(a)=F(b), siis tõestuse esimese osa põhjal leidub selline punkt c∈(a;b), et F´(c)=0. Arvestades tingimust f´(x)=F´(x), saame f´(c)=0. Arv c∈(a;b) on esitatav ka kujul c=a+θ(ba), kus 0<θ<1.☐ 18.Cauchy keskväärtusteoreem
F1(x1; ... ; xn) = 0 F2(x1; ...; xn) = 0 Fr (x1; ... ; xn) = 0 DEF. Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses U(A) ning olgu antud lisatingimused F1(x1; ... ; xn)=0,F2(x1; ... ; xn)=0,Fr(x1; ... ; xn) =0. Kui iga punkti P U(A) (P A) korral f (P) f (A) (f (P) f (A)) ning F1(A) = F2(A) = ... = Fr (A) = 0, siis on funktsioonil f punktis A tinglik lokaalne maksimum (miinimum). LAUSE: Funktsiooni f (x; y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F(x; y) = 0 võib olla abifunktsiooni (x; y; ) = f (x; y) + F(x; y) statsionaarsetes punktides. Funktsiooni f (x1;...; xn) tinglik ekstreemum lisatingimustel F1,F2,Fr=0 võib olla abifunktsiooni statsionaarsetes punktides. Globaalse ekstreemumi ülesande korral on vaja leida funktsiooni f (x; y) suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas . Seda tüüpi ülesannete lahenduskäik koosneb reeglina kolmest osast: 1 Leiame esialgse funktsiooni f (x; y) statsionaarsed punktid.
eraldi. Kui lõigu [a,c] üheks jaotuspunktiks on b, siis saame jagada integraalsumma kaheks osaks. Tõestus. Kui valida integraalsumma jaoks sama tükelduse ja samad punktid i, siis saame: Tõestus. Olgu f(x) integreeruv lõigul [a,b]. Et f(x)I[a,b]|f(x)|I[a,b] ja lause 2 põhjal |f(x)|I[a,b]-|f(x)|I[a,b] ning -|f(x)|f(x)|f(x)|, x[a,b] ning lausete 2 ja 4 abil saame selle välja kirjutada nii . 2.13 Integraal ülemise raja funktsioonina f(x)I[a,b]f(x)I[a,c], cb. Võtan kasutusle abifunktsiooni G(x)[a,b]. DEF1. x[a,b] Tõestus. G=G(x+x)+G(x). joonis! G=f(x+x)x, kui minna piirile x0 siis ka |G|0 ja siis ka G0ja s.t DEF2. Enne tõestasin, et G'(x) on f(x) algfunktsioon. F(x)=G(x)+C s.t, et suvaline algfunktsioon 2.14. Newton-Leibnizi valem Lause. Funktsiooni f(x) suvaline algfunktsioon on kirja pandav sellisel kujul: x=a: Näide. 2.15 Muutuja vahetus ja ositi integreerimine U(x), v(x) d(uv)=vdu+udv N.
a). Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g (x) 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et 9. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c (a,b), et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Tõestus: Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni L(x) + f(a). Funktsioon g=f-L rahuldab Rolle´i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c (a,b), kus 0=g´(c) = f´(c)-L´(c)=f´(c)- 10. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b),kusjuures g´(x) 0,siis leidub vahemikus (a,b) punkt c, et = s Tõestus: Kasutame Lagrange´i keskväärtusteoreemi
siis leidub punkt c ϵ (a; b), et f (b) - f (a) = f ′(c)(b - a). Leibnizi valem: Funktsioonide korrutise f(g)g(x) n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga: Tõestus: Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni L(x) + f(a). Funktsioon g=f-L rahuldab Rolle´i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c ∈ (a,b), kus 0=g’(c) = f’(c)-L’(c)=f’(c)- Kus binoomkordajad
polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult: Kui n=p-1 siis p=n+1 Ja siit saame, et Saame Taylori valemi Lagrange'i kujuga: Kui f-n f(x) on punkti x ümbruses n+1 korda
funktsioonil tuletist 11. Cauchy keskväärtusteoreemi tõestus. Tarvilik tingimus: Funktsioonil y = f(x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f'(x) = 0 või ei eksisteeri Piisavad: Kasutame Lagrange'i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x) := (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) -g(a))f(x). Lagrange'i keskväärtusteoreemi põhjal leidub punkt c (a, b), kus 0 = (f(b)-f(a))(g(b)-g(a)- (g(b)-g(a))(f(b)-f(a)) = h(b)-h(a) 13. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb)
lim ∗ lim = ∗ = 𝑔´(𝑓(𝑥)) ∗ 𝑓´(𝑥). LAUSE: Kui lõigul [𝑎, 𝑏]pideval ja rangelt ∆𝑢→0 ∆𝑢 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f - L(x): = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎
Fn(x1,...,xn) = 0". Kui iga punkti P C Ue(A) (P<>A) korral f(P) <= f(A) (f(P)>= f(A)) ning F1(A) = F2(A) = ... = Fr(A) = 0, siis Vaatleme funktsiooni f tuletist punktis P(x1, ..., xn) vektori s=AP suunas. on funktsioonil f punktis A tinglik lokaalne maksimum (miinimum). 1. Kui leidub selline punkti A ümbrus U(A), milles: Funktsiooni f(x,y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F(x,y) = 0 võib olla abifunktsiooni (x , y ; ) = f (x , y ) + F (x , y ) a. fs(P) > 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on miinimumkoht; statsionaarsetes punktides. b. fs(P) < 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on maksimumkoht; Funktsiooni f(x1, ..., xn) tinglik ekstreemum lisatingimusel F1(x 1,...,xn) = 0, F2(x 1,...,xn), ..., Fn(x1,...
l xdx ; f ( x ) n =1 bn sin l x Suvaliste funktsioonide Fourier´ ridadest Sisalduvad üldsiselt nii cos kui ka sin. Kui tahame arendist saada(0,l) on võimalik saada koosinus rida või sinus rida. 1. kui defineerime abifunktsiooni : F(x) { f(x), 0xL { -f(x), -Lx0 paarisfunktsioon F(x) esitub koos koosinusreana Nt: F(x)= x- x2/ 2, [0,2] 14
Tõestada lause 5.6 liitfunktsiooni diferentseerimisest: Olgu funktsioon f : D → R kohal a ∈ D diferentseeruv. Kui f (x) ∈ E iga x ∈ D korral ja funktsioon h: E → R on punktis b := f (a) diferentseeruv, siis ka liitfunktsioon h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) on punktis a diferentseeruv ja (h ◦ f)′(a) = h′ (b) f′ (a) . Eeldame, et funktsioon u = f (x) on kohal a ja funktsioon y = h (u) kohal b = f (a) diferentseeruv. Meie eesmärgiks on veenduda, et Defineerime abifunktsiooni Kuna funktsioon h on punktis b diferentseeruv, siis φ on kohal b pidev: (5.8) Paneme tähele, et h (u) − h (b) = φ (u) (u − b) iga u ∈ E puhul, niisiis h (f (x)) − h (f (a)) = φ (f (x)) (f (x) − f (a)) iga x ∈ D korral. (5.9) Kuna funktsioon f on kohal a diferentseeruv, siis lause 5.1 kohaselt on ta selles punktis pidev. Et funktsioon φ on pidev kohal b = f (a) (vt. (5.8)), siis liitfunktsioon φ ◦ f on lause 4
Kogu see tegevus, mida teevad haldusorganid. Avaliku halduse olemus tuleneb võimude lahususe printsiibist. PS § 4 sätestab võimude lahususe ja tasakaalustatuse põhimõtte. Kaasajal mõistetakse võimude lahususe all avaliku võimu kolme liiki. Kogu riigivõim on jaotatud erinevate riigifunktsioonide vahel: 1. Seadusandlik – parlament – õigusnormide kehtestamine (põhifunktsioon), haldusfunktsioon (abifunktsioon), jurisdiktsiooniline (abifunktsiooni). 2. Täidesaatev – haldusorganid – täidesaatev (põhifunktsioon). Alaliigid on haldus, valitsemine (riigi poliitilise juhtimise funktsioon); legislatiivfunktsioon (abifunktsioon). Mõistavad õigust väärteoasjades kohtuvälises menetluses. Riigi ja KOV isikute distsiplinaarvastutusele võtmine. 3. Õigusemõistmine – kohus – õigusemõistmine (põhifunktsioon), haldusfunktsioon (abifunktsioon)
M - f (x) K K st, et oleme saanud funktsiooni v¨ a¨artuste hulgale {f (x)}x[a,b] v¨aiksema u ¨lemise t~okke M - 1/K, kui on seda u ¨lemine raja M = sup f (x). See on vastuolu, mis on tingitud x[a,b] v¨aitevastasest oletusest. Analoogiliselt t~oestatakse lause v¨aite teine pool, kasutades abifunktsiooni 1 g(x) = , f (x) - m kusjuures m = inf f (x). T~ oestage! x[a,b] Esitame l¨uhidalt m~oningad tulemused, mis leiavad edaspidi kasutamist. Lause 4 (vt [5], lk 129130). L~oigul pidev funktsioon omab iga v¨a¨artust, mis paikneb ekstremaalsete v¨a¨artuste vahel. Lause 5 (vt [5], lk 132133)
on punktis a diferentseeruv ja (h ◦ f )′ (a) = h′ (b) f ′ (a) . Tõestus. Eeldame, et funktsioon u = f (x) on kohal a ja funktsioon y = h (u) kohal b = f (a) diferentseeruv. Meie eesmärgiks on veenduda, et h ◦ f (x) − h ◦ f (a) lim = h′ (f (a)) f ′ (a) . x→a x−a Defineerime abifunktsiooni h(u)−h(b) , kui u 6= b, ϕ : E → R, ϕ (u) := u−b ′ h (b) , kui u = b. Kuna funktsioon h on punktis b diferentseeruv, siis ϕ on kohal b pidev:
¨ I 1 / 13 Keskva¨ artusteoreemid ¨ Lause (Lagrange'i keskva¨ artusteoreem) ¨ ~ Kui funktsioon f on pidev loigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub punkt c (a, b), et f (b) - f (a) = f (c)(b - a). ~ Toestus. Kasutame Rolle'i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni f (b) - f (a) L(x) = (x - a) + f (a). b-a Funktsioon g = f - L rahuldab Rolle'i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c (a, b), kus f (b) - f (a) 0 = g (c) = f (c) - L (c) = f (c) - . b-a
Samas ei saa ka üle anda võimuhalduse funktsioone riik peab seda teostama ise, oma organite kaudu. Ta peab tagama kõige optimaalsema õigusriigi printsiibist tuleneva õiglase ja ausa isikute kohtlemise Peab tagama põhiõiguste ja vabaduste kaitse. Meruski isiklik seisukoht: teatud võimuhalduse ülesanded võib üle anda, kui on täidetud tingimused: Lõplik otsustusõigus on siiski riiklikul institutsioonil Täidavad abifunktsiooni Lihthaldusega on olukord keerulisem: eelkõige puudutab see sotsiaalseid põhiõigusi, mille sätestamisel on PS väga napp. Nt igaühel on õigus tervise kaitsele. Siit otseselt ei tulene, et tervise kaitse peab tagama just riik riiklikus organisatsiooni vormis, riigil on lihtsalt kohustus tagada ja selle üle järele vaatama. Kui riik anna ülesande üle, siis peab ta tagama selle täitmise. Põhiõiguste tagamise nõue õiguste ja vabaduste tagamine on seadusandliku, täitev- ja kohtu
3! n! (n + 1)! Funktsiooni Q(x) avaldamiseks vaatleme valemi (3.40) paremat poolt s~oltuvana a-st mitte x- st. T¨ apsemalt: t¨ ahistame konstandi a u ¨mber t-ga ja defineerime j¨ argmise muutujast t s~ oltuva abifunktsiooni: f (t) f (t) F (t) = f (t) + (x - t) + (x - t)2 (3.41) 1! 2! f (t) f (n) (t) Q(x) + (x - t)3 + . . . + (x - t)n + (x - t)n+1 . 3! n! (n + 1)!
3! n! (n + 1)! Funktsiooni Q(x) avaldamiseks vaatleme valemi (3.40) paremat poolt s~ oltuvana a-st mitte x- st. T¨ apsemalt: t¨ ahistame konstandi a u ¨ mber t-ga ja defineerime j¨ argmise muutujast t s~ oltuva abifunktsiooni: f (t) f (t) F (t) = f (t) + (x - t) + (x - t)2 (3.41) 1! 2! f (t) f (n) (t) Q(x) + (x - t)3 + . . . + (x - t)n + (x - t)n+1 . 3! n! (n + 1)!
annaabi.ee 
