Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on komar z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks
suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks. 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Liitmine: z1 + z 2 = (a1 + b1i ) + (a 2 + b2 i ) = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 )i Lahutamine: z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i Korrutamine: z1 z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + b1a2i + a1b2i + b1b2i 2 = (a1a2 - b1b2 ) + (b1a2 + a1b2 )i Trigonomeetriline: z1 z 2 = r1r2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )] a +b i a a +b b a b +a b z r Jagamine: 1 1 = 1 22 12 2 + 2 21 12 2 i Trig: 1 = 1 [cos(1 - 2 ) + i sin(1 - 2 )] a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k
Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)- 5 P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) │Ω│=n= C10 =12 Tinglik tõenäosus: DEF. P(A/B)=P(AB)/P(B) ; 3 2 P(B/A)=P(AB)/P(A)
z1 - z2 = ( a1 + b1i ) - ( a2 + b2i ) = ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) i . (2) Kahe kompleksarvu vahe moodul võrdub neid arve komplekstasandil kujutavate punktide vahelise kaugusega: ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) . 2 2 z1 - z2 = 3. Kompleksarvude korrutamine. z1 z2 = ( a1a2 - b1b2 ) + ( b1a2 + a1b2 ) i Kui kompleksarvud on kirjutatud trigonomeetrilisel kujul: z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1 ) ja z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 ) Siis z1 z2 = r1r2 cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 ) , 4. Kompleksarvude jagamine. Kompleksarvude jagamine defineeritakse korrutamise pöördtehtena. z1 Olgu z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ja z2 = a22 + b22 0
Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on komar z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i 2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks.
SOOJUSMASIN Soojusmasinaks nim perioodiliselt töötavat masinat, mis muudab siseenergiat mehaaniliseks energiaks http://www.abiks.pri.ee Soojendi T1 Q1 Töötav keha >>> kasulik töö A=Q1|Q2| Q2 Jahuti T2 Töötav keha gaas läheb olekust M olekusse N ja teeb positiivse töö A1=kmcnl. Tagasi algolekusse toomisel on gaasi töö negatiivne A2=kmdnl. Ringprotsessis tehakse kogutöö A=A1A2, mille suurust kujutab graafikute vaheline pindala Soojusmasin saab töö käigus soojendilt soojushulga Q1 ja annab ära soojusjahutile soojushulga Q2 tehtud töö A=Q1Q2 Soojusmasina kasuteguriks nim soojusmasina poolt tehtud töö ja soojendilt võetud soojushulga suhet =A/Q1 Soojusmasina maksimaalse kasuteguri valemi tuletas prantsuse inseneer Carnot 1824 ideaalse gaasiga töötava masina kohta m=(T1T2)/T1
a1a0 00 0 0 0 0 01 1 0 0 0 11 1 1 0 1 10 1 1 0 0 17.3.14 T. Evartson 31 G b1b0 00 01 11 10 a1a0 00 0 0 0 0 01 1 0 0 0 11 1 1 0 1 10 1 1 0 0 17.3.14 T. Evartson 32 L b3b4 00 01 11 10 a1a2 00 0 1 1 1 01 0 0 1 1 11 0 0 0 0 10 0 0 1 0 17.3.14 T. Evartson 33 L b1b0 00 01 11 10 a1a0 00 0 1 1 1 01 0 0 1 1 11 0 0 0 0 10 0 0 1 0 17.3.14 T. Evartson 34 a1 a0 b1 b0 1 1 1
..+an):n Pöördvõrdeline seos : y = a - b - (b - a) 1 Geomeetriline keskmine Ruut =a x n = = -1 b-a b-a a a1a2 a>0 a<0 P=4a; S= a2 d =a 2 a a
Ringjooneks nimetatakse tasandil antud punktist (ringjoone keskpunktist) jääval kaugusel (ringjoone raadius) asetsevate punktide hulka. Ring on tasandi osa mida piirab ringjoon. Ümbermõõt P = 2 r = d 1 Pindala: S = r 2 = d 4 Ringjoone kõõl on lõik, mis ühendab kaht punkti ringjoonel. Kõõluga ristuv raadius poolitab kõõlu. Kui kaks kõõlu lõikuvad, siis ühe kõõlu lõikude korrutis võrdub teise kõõlu lõikude korrutisega a1a2 = b1b2 Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Ringjoone sektori kaare pikkus: l = rx , kus x -nurga suurus radiaanides r l= r kaare raadius 180 r l 1 2 Sektori pindala: S= = r x 2 2 r 2 S= 360
a − b − (b − a) ⎛1⎞ Geomeetriline keskmine Ruut ⎜ ⎟ =a x n = = −1 b−a b−a ⎝a⎠ a1a2 a>0 a<0 P=4a; S= a2 d =a 2 a
Olgu kuulikese järel saadakse sinine kuulike, saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks sündmuseks B -- juhuslikult valitud P(A2|A1) = 3/9=0,33. Olgu sündmus A3 kasutada geomeetrilise valimisõiguslik kodanik on rikas. Selle - rohelise ja sinise kuulikese järel tõenäosusevalemit.P(A)=S(A)/S(V) sündmuse statistiliseks tõenäosuseks on saadakse punane kuulike, P(A3|A1A2) Asümmeetriakordaja on juhusliku suuruse P(B) = 0,05. sündmused sõltumatud. = 5/8 =0,625. Kasutame tõenäosuste kolmandat järku tsentraalse momendi ja siisP(AB) = P(A)P(B) = 0,1 0,05 = korrutamise lauset. P(A1A2A3) = standardhälbe kuubi suhe, mille valem
2. 0F(x) sest
sõltumatud, kui sündmuse A toimumise tõenäosus ei sõltu ühegi sündmuse sh. ka sündmuse X
· Standard hälve ruutjuur dispersioonist Sirge tõus on tõusunurga tangens. Siis kui x kordaja on +, siis sirge tõuseb. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1 x-x1/v1=y-y1/y2 y=ax+b (a sirge tõus; b algordinaat) y-y1=a(x-x1) Ax+By+C=0 üldvõrrand Sirged kattuvad s=t (võrrandid on samad) A1/A2=B1/B=C1/C2 Sirged on paralleelsed s||t (tõusud on võrdsed) A1/A2=B1/BC1/C2 Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on 1) a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt. Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t
Ellips teist järku joon, mille iga punkti kauguste summa kahest fikseeritud punktist (fookusest) on konstantne. X(x;y) suvaline punkt joonel; F1 ja F2 fookused |F1X| + |F2X| = const. = 2a. e. |r1 + r1| = 2a. Vôrrandiks on vaja fikseerida koordinaatteljestik. F1(-c;0) ja F2(c;0), |F1F2| = 2c. Saab joone vôrrandi: [(x+c)2 + y2]1/2 + [(x-c)2 + y2]1/2 = 2a. lihtsustades (a2 c2 =täh. b2): x2/a2 + y2/b2 = 1 ellipsi (kanooniline) vôrrand. A1,2 ja B1,2 on haripunktid |A1A2| = 2a pikem telg; |B1B2| = 2b lühem telg. Ektsentrilisus ringjoone ümarus: = c/a < 1. Ringjoon selliste punktide kogum, kus asuvad fikseeritud punktist teatud kaugusel olevad punktid. A(a;b) fikseeritud punkt. X(x;y) teatud kaugusel asuv punkt. r etteantud raadius. r = |AX| r = [(x-a)2+(y-b)2]1/2 (x- a)1 + (y-b)2 = r2 ringjoone vôrrand. 26. Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand).
Normaalvektorit tähistatakse harilikult n või n. Normaalvektorist üksi ei piisa tasandi määramiseks. Tuleb võtta veel üks tasand punkt M1. Tasandil tekib siis vektori M1M=r-r1. Et M1M on risti vektoriga n siis nende skalaaekorrutis on null, st n(r-r1)=0 so tasandi vektorvõrrand. Ax+By+Cz+D= 0 tasandi üldvõrrand. Ristseis ja paralleelsus Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nurgaga nende tasandite normaalvektorite vahel. Tasandite ristseisu tunnus on A1A2+B1B2+C1C2=0 ja tasandite parallelsuse tunnus on A1/A2=B1/B2=C1/C2 Võrrandid telglõikudes Tasand võrrandiga Ax+By+Cz+D=0 ei läbi koordinaatide alguspunkti siis ja ainult siis kui vabaliige D0. Tasand ei ole paralleelne ühegi koordinaatteljega siis ja ainult siis kui A0, B0, ja C0. x/a+y/b+z/c=1- nim tasandi võrrandiks telglõikudes, arve a b ja c nim telglõikudeks. Telglõikude abil on võimalik anda teatud ettekujutus tasandi orientatsioonist ruumis, kui tasandi
x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi:
1. a>c ja kuna a>0, võime oletada, et ka b>0 (pane tähele, et b2 = a2 -c2).
2. Ellipsi kõigis punktides on |x|a ja |y|b.
3. Võrrandi (12) põhjal on ellips sümmeetriline kõver ja ülaloleva joonise põhjal asub
ellips joontega x=+-a ja y=+-b piiratud ristkülikus, olles selle puutujaks
4. Kordajate a, b ja c seos fookustega on näha Pütagorase kolmnurgast a2=b2+ c2.
Ellipsi sümmetriatelgedeks on sirged A1A2 ja B1B2, mida kutsutakse vastavaks
suuremaks ja väiksemaks teljeks. Suurema pooltelje OA1 =OA2 pikkus on a ja väiksema
pooltelje OB1=OB2 pikkus on b.
5. Suhet e=c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Kuna 0c
erinevad. Klassikaline konstrrrktsioon on esitatud sele 34. Jūtides läbi ankrumähise (5) piisava tugevusega eĮektrivoolu (rakendusvool) tõmbub ankur (3) lūlitades ūmber relee kontaktid. Vžįhendades voolutugewst teatava vžiįįrhrseni (ennisfusvooĮ) üib vedru (6) ankru tagasi lįihteasendisse. PaljudeĮ jūtudel sisatdab reįee mitmeid kontaktignrppe (vt. Sele 35.). 32 A1A2 42 1 Sele 35 - Elek&omaņeūelee lo' l't l" l" l" Klņ--_ -Ę, l,. ),. ),. )". SeIe 36 - Mitme kontaktigrupiga elektromaņetrelee JJ 7 Eįekūoonsed andurid 7. l Ülevaade elektoonsetest anduritest. Automaatikaskeemides on ĮaiemaĮt kasutuseį optilised-, induktiiv-, magnet_, mahtuvus- ja rõhuandurid. Kuna suuremat osa siņaalidest automaatika-
Vedru siseküljel: Sise = D Vedru välisküljel: Välis = D Sise > Välis , 2O 1 O 2 2A1 A 2 kuna O1O2 < A1A2 Joonis 14.13 · suurima nihkepinge väärtuse 16 FR 4F ohtlikus punktis O1 saab avaldada max = T max + Q max = + 1.23 2 ; komponentide summana: D 3
2 kus pi on alleeli Ai sagedus, hii - homosügootse genotüübi (AiAi) sagedus, hij - heterosügootsete genotüüpide (AiAj) sagedused, k - alleelide arv seerias. 5 Näide: seerias on 3 alleeli: A1, A2 ja A3. Populatsioonis on 1000 looma. Vastavad genotüübiarvud ja -sagedused on järgmised: A1A1 150 looma, sagedus 0,15 A1A2 200 looma, " 0,20 1 3 AA 90 looma, " 0,09 A2A2 220 looma, " 0,22 A2A3 180 looma, " 0,18 A3A3 160 looma, " 0,16 ______________________________ N = 1000 1,00 2 Alleeli A sageduse arvutamine: 0,20 + 0,18 p A2 = 0,22 + = 0,22 + 0,19 = 0,41
L(M) = U {Rij | qi on algolek, qj on lõppolek}. 5 Keele regulaarsuse tarvilik tingimus (pumpamise lemma). Kui L on regulaarne keel, siis leidub konstant p, nii et iga sõne z ∈ L, |z| > p (sõnes on rohkem kui p tähte) on jaotatav kolmeks alamsõneks z = uvw, nii et |v| > 0 (keskmine osa pole tühi) ja uvjw ∈ L iga j = 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ*
Duplikaatsus Duplikaatse ehk kordse geenitoime puhul kujundavad uhe ja sama dominantse tunnuse kaks dominantset geeni, kusjuures nende koostoime ei erine fenotuubilise avaldumise poolest nende eraldi toimest (A-B-=A-bb=aaB-). Retsessiivne tunnus ilmneb ainult neil isendeil, kelle genotuubis puuduvad koigi duplikaatsete geenide dominantsed vormid (aabb). Nende geenide samaviisilise fenotuubilise toime rohutamiseks tahistatakse neid tavaliselt samade tahtedega (A1A2). Duplikaatse geenitoime korral esineb F2-s lahknemine 15:1. Naitena voib tuua sulisjalgsuse paritavuse kanadel. Sulisjalgsete (A1A1 A2A2) ja paljasjalgsete (a1a1 a2a2) kanatougude ristamisel saadakse alati sulisjalgsed jarglased. Teises polvkonnas ei toimu aga lahknemine mitte 3:1, vaid 15:1. Kui jarglasel on kasvoi uksainus dominantne geen, arenevad tal sulisjalad. Polumeersus Polumeersus kui geenide koostoime tuup tahendab geenide uhesuunalist ja
Duplikaatsus Duplikaatse ehk kordse geenitoime puhul kujundavad ühe ja sama dominantse tunnuse kaks dominantset geeni, kusjuures nende koostoime ei erine fenotüübilise avaldumise poolest nende eraldi toimest (A-B-=A-bb=aaB-). Retsessiivne tunnus ilmneb ainult neil isendeil, kelle genotüübis puuduvad kõigi duplikaatsete geenide dominantsed vormid (aabb). Nende geenide samaviisilise fenotüübilise toime rõhutamiseks tähistatakse neid tavaliselt samade tähtedega (A1A2). Duplikaatsuse korral esineb F2-s lahknemine 15:1. Näitena võib tuua sulisjalgsuse päritavuse kanadel. Sulisjalgsete (A1A1 A2A2) ja paljasjalgsete (a1a1 a2a2) kanatõugude ristamisel saadakse alati sulisjalgsed järglased. Teises põlvkonnas ei toimu aga lahknemine mitte 3:1, vaid 15:1. Kui järglasel on kasvõi üksainus dominantne geen, arenevad tal sulisjalad. 43 Polümeersus
a1=2 2 3 a1 t 0 1 2 3 2 4 6 8 10 12 14 16 T b. c. Joonis 4.5 2a1a2 - 9a2 + 27 = 0 kui a1a2 < 27, a2 a22 - 4 a1a2 + 2 + 18a2 = 27 kui a1a2 27. a1 Antud võrrandi lahendite kõver on joonisel 4.5, b. Piirkond 1 tähistab võnkelisi protsesse, piirkond 2 aperioodilisi ja piirkond 3 ebastabiilseid protsesse. Seega sõltub suletud juhtimissüsteemide võnkelisus ja stabiilsus ajakonstantide suhtest või, täpsemini öeldes, nende absoluutväärtustest.
annaabi.ee 
