Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u*v= u * v *cos v u v cos 0°=1 u =180° v v . =90°
0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u·v= u · v ·cos v u v cos 0°=1 u =180° v v . =90°
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z v° = r v = ; ; .
- Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22 - Vektori koordinaadid ja pikkus - Nullvektor ja vastandvektor - Vektorite liitmine - Vektorite lahutamine x + x 2 y1 + y 2 - Vektori korrutamine arvuga C = 1 ; 2 2 - Lõigu keskpunkti koordinaadid a b = a b cos
02 + ⃗ 01 = ⃗ 02 . nullvektoriks Aksioomist 1) järeldub, et viimaste võrduste vasakud pooled on võrdsed, seega ⃗ 01= ⃗ 02 , mis on vastuolus tehtud oletusega. LAUSE: Vektorruumis on igal vektoril ainult üks vastandvektor. ⃗a ⃗b ≠ ⃗c ⃗a + b⃗ =0⃗ ⃗a + ⃗c =⃗0 . Tõestus: Olgu vektori vastandvektorid , s.t ja ⃗b =⃗0 + b⃗ =( ⃗a + ⃗c ) + b⃗ =( a⃗ + ⃗b ) + c⃗ = ⃗0 +⃗c =⃗c
on a * n jam is on suunatud samas suunas kui a. Vektor a ja negat skalaari korrutiseks on n vector jam is on suunatud vastas suunda kui a. Vektorite liitmine- Selleks, et liita mitut vektorit, tuleb esimese (I) vektori lõpust tõmmata teine vektor (II), II vektori lõpust kolmas (III) vektor jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud I vektori algusest viimase vektori lõppu. Vektorite lahutamine-Selleks, et lahutada ühte vektorit teisest, tuleb teisele vektorile liita esimese vastandvektor. Antud vektori vastandvektoriks nimetatakse vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja võrdne pikkus, kuid vastupidine suund. Vektori projektsioon- Vektori projektsiooniks teljele x nim telje lõigu a*b pikkust mille algus on vektori alguse projektsioon teljele ja lõpuks vektori lõpuprojektsioon teljele. Vektori projektsioon on posit kui telje lõigu sound langeb ühte telje suunaga, millele projekteeritakse vector ja minus kui need suunad on vastupidised. 14
y-y1=a(x-x1) Ax+By+C=0 üldvõrrand Sirged kattuvad s=t (võrrandid on samad) A1/A2=B1/B=C1/C2 Sirged on paralleelsed s||t (tõusud on võrdsed) A1/A2=B1/BC1/C2 Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on 1) a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt. Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis.
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega
Siinus- ja koosinusteoreem. Kolmnurga lahendamine Rakendusülesande d. Kahe punkti Õpilane: Lõiming Vektor tasandil. Joone vaheline kaugus. 1) selgitab mõisteid vektor, ühik-, füüsikaga. võrrand. Vektori mõiste ja null- ja vastandvektor, vektori Vektori tähistamine. koordinaadid, kahe vektori käsitlemine. Nullvektor, vaheline nurk; ühikvektor, 2) liidab, lahutab ja korrutab vastandvektor, vektoreid arvuga nii seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul;
Järeldus1 AC = BD AB + BC = BC + CD AB + BC = BC + AB vektorite liitmine on kommutatiivne. Järeldus2 AB + ( BC + CD ) = ( AB + BC ) + CD vektorite assotsiatiivsus. Järeldus3 BB = 0 AB = AB + BB on olemas null vektor. Järeldus4 BA = ( -a ) AA = AB + BA 0 = a + ( -a ) eksisteerib vastandvektor. Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega. Aksioom*1 Igale reaalarvule ja vektorile a seatakse vastavusse parajasti üks vektor b, nii et b = a. Aksioom*2 ( a ) = ( ) a Aksioom*3 ( a + b ) = a + b Aksioom*4 ( + ) a = a + a Aksioom*5 1 a = a Viimastest aksioomidest saab teha järeldused:
36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37. Vektorite liitmine · Lineaar u + v = ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) y = ax + b 38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool
............................................................ 31 Vektorite liitmine....................................................................................................................32 Geomeetriliselt....................................................................................................................32 Algebraliselt........................................................................................................................32 Nullvektor, vastandvektor...................................................................................................... 32 Vektorite lahutamine.............................................................................................................. 32 Vektori korrutamine arvuga....................................................................................................32 Vektorite kollineaarsus....................................................................................................
2D-s d=Ax0+By0+C/rj(A^2+B^2) Vektorruum Vektorruumi mõiste ehk lineaarne ruum V on elementide (vektorite) x,y,... hulk, mis on vektorite liitmise ja arvuga alf R (või alf C) korrutamise suhtes kinnin ( tulemusex on vektor) ning mille puhul kehtivad nn vektorruumi aksioonid: 1) x +y= y+x( liitmise kommutatiivsus) 2) x+ (y+z) = (x+y)+ z (liitmise assotsiatiivsus), 3) leidub 0 V => 0+x=x (nullvektorite olemasolu), 4) iga elemendi x V leidub (-x) V => x+(-x)= 0( vastandvektor olemasolu) 5) 1*x=x ; 6) alf(bet x) = (alf*bet)*x (assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes) 7)alf( x+y) =alfx + alfy; 8) (alf + bet)x= alfx + betx; . Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Geomeetrilised vektorid on suunatud sirglõigud tasandil või ruumis. Iga vektorit iseloomustab tema siht, suund ja pikkus. Kaks vektorit a ja b on võrdsed, kui nad on paralleelsed, samasuunalised ja sama pikad, st. iga vektorit võib kanda ruumi mistahes punkti.
T~ oestus. Ilmselt -a + (a + u) = -a + (a + v) Kasutades k~oigepealt liitmise assotsiatiivsusest, seej¨ arel vastand- vektori ja nullvektori definitsiooni, saame viimasest v~ordusest (-a + a) + u = (-a + a) + v = o + u = o + v = u = v 3.4 Vastandvektori u ¨ hesus Lause 4. Igal vektoril on parajasti u ¨ks vastandvektor. T~oestus. Olgu b V samuti vektori a V vastandvektor, s.t a + b = o. Et a + (-a) = o, siis ilmselt a + b = o = a + (-a) Kasutades koondamisreeglist 3.3 saame b = -a. 6 V. Vektorruumid 3.5 Vahevektor Vektorite a ja b vahe a - b defineeritakse valemiga a - b := a + (-b) 3.6 Teist liiki lineaarne vektorv~ orrand Lause 5
a + b + c =(3 + 4 – 7; –2 + 5 – 3) = (0; 0). Vektorit koordinaatidega (0; 0) nimetatakse nullvektoriks. Vektorite geomeetrilisel liitmisel näeb pilt välja nii: summavektor © Allar Veelmaa 2014 22 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium NULLVEKTOR. VASTANDVEKTOR. VEKTORITE VAHE Vektorit O (0;0) nimetatakse nullvektoriks. Vektori v = (a; b) vastandvektoriks nimetatakse vektorit – v = (–a; –b) Näide. Vektori v = (4; –3) vastandvektor on vektor – v = (–4; 3).
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks,...
Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z v° = r v = ; ; .
Nende r uuu r kaudu avaldub vektor v AB X ; Y ; Z järgmiselt: r uuu r r r r v AB Xi Yj Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 0; 0; 0 . uuur uuu r Vastandvektor: kui AB X ; Y ; Z , siis BA X ; Y ; Z . r uuu r Vektori pikkus: v AB X Y Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z
nurga, ja kui kuue vektori summa on null, siis kuusnurga. Hoolikas lugeja muidugi märkab, et oleme siin natuke luisanud. Kui võtame vek- torid ja , siis ei teki ju siiski kolmnurka, sest kõik vektorid on samal sirgel. Õnneks ongi see pisiasi ainus, mis saab muidu nii ilusa seose untsu ajada. Nullvektor, vastandvektor Arvude liitmisel on ühel arvul eriline roll: arv null. Mõnda arvu temaga kokku liites saame tulemuseks selle arvu enda. Analoogne objekt vektorite hulgas on nullvek- tor: vektor, millega liitmisel on tulemuseks vektor ise. Kolmemõõtmeline nullvek- tor on siis muidugi . Sarnaselt arvudega võib siis defineerida ka vastandvek- tori: vektori, millega liitmisel saame tulemuseks nullvektori. Näiteks vektori
elektrivälja tugevuse x-projektsiooni vastandväärtus. Sama kehtib ka potentsiaali osatuletiste kohta teist koordinaatide järgi. Järelikult p p p E i j k grad p . (10.11) x y z See tähendab, et elektrivälja tugevuse vektor on potentsiaali gradiendi vastandvektor. Meenutame, et mingi skalaarse suuruse gradient on selline vektor, 1) mille projektsioonid on selle skalaari osatuletised vastavate koordinaatide järgi, 2) mis näitab selle skalaari kõige kiirema kasvu suunda. Esitades valemi (10.10) kujul d E dr , saaksime mööda mingit lõplikku trajektoori liikudes lõpp- ja alguspunkti potentsiaalide vahe arvutada integraaliga r2
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
