(keskpunktist) võrdsel kaugusel(raadiuse kaugusel). Kui keskpunkti koordinaadid on (0;0), siis joonevõrrand on : x2+y2=r2 Kui keskpunkt on antud koordinaatidega (a;b) , siis joonevõrrand on: (x-a)2+(y-b)2=r2 Need kaks olid kanoonilised ehk tavapärased võrrandid. Ringjoone võrrandi üldkuju: x2+y2+ax+by+c=0 Näiteks: K(-2;3) r=3 (x+2)2+(y-3)2=(3)2 (x+2)2+(y-3)2=3 kanooniline võrrand X2+4x+4-y2-6y+9=3 X2+y2+4x-6y+10=0 üldvõrrand
1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ..................................................
Kas sirge on tõusev või langev? X -XA Y - YA Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X B - X A YB - Y A X -5 Y - ( -2) X -5 Y -2 Asetame arvud võrrandisse: = = ( x - 5) 0 = ( y + 2)(-8) - 3 - 5 - 2 - ( -2) -8 0 -8 y -16 = 0 13. Tee kindlaks sirgete x + 2y + 3 = 0 ja 3x + 6y 9 = 0 vastastikuse asendi. X 0 -3 x + 2y + 3 = 0 Y 3 0 Sirgete lõikepunkti leidmine: x + 2 y + 3 = 0 x = -2 y - 3 - 2 Asendame x = 2y 3 võrrandisse 3x + 6y 9 = 0 -3( -2 y -3) + 6 y -9 = X 0 -3
2 x + 3 y = -4 2 x + 3 y = -4 (-2) - 4 x - 6 y = 8 Tekkisid vastandarvud. 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 2. Liidame võrrandid. Edasi toimime nagu kirjalikus liitmises, kuna võrrandsüsteemis esines vastandarve, võime -6y ning 6y näiliselt maha tõmmata. - 4 x - 6 y = 8 5 x + 6 y = -7 x + 0 =1 Alles jääb x=1 3. Kuna meil on üks tundmatu nüüd teada, saame selle teada ka teise tundmatu. Selleks valime kummagi võrrandi võrrandsüsteemist. 2x+3y=-4 3y=-4-2x Asendame nüüd x-i tema väärtusega 3y=-4-2 3y=-6 y=-6 |:3 y=-2 x = 1 y = -2 Vastuseks on Kontroll: Vp=2-6= -4 Pp= -4 Vp=Pp Vp2=5-12= -7 Pp2= -7 Vp2=Pp2
Negatiivsete ja positiivsete arvudega arvutamine 1) Liidan samamärgilised arvud ja vastuses sama märk Lahutan erimärgilised arvud ja vastuses absoluutväärtuselt suurema arvu ees olev märk (see, mis on nullist kaugemal) 2) Märgid korrutamisel ja jagamisel Kaks samamärgilist annavad alati positiivse vastuse ja kaks erimärgilist annavad alati negatiivse vastuse Võrrandi omadused Kõiki liidetavaid võib jagada või korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga Liidetavaid võib viia vasakult paremale ja vastupidi kui muudad liidetava ees oleva märgi vastupidiseks Vii tundmatut sisaldavad liikmed võrrandi vasakule poole ja arvud paremale poole 1) a - 7 = -3 2) 25 y =11 3) 2x = 3 - x 4) b = 3b - 8 Korruta võrrandi mõlemat poolt sobiva arvuga, nii et vabaned murdudest x y 1 3 5 3 1) =8 2) + = 3) + a =a 6 ...
Millistel juhtudel on tegemist võrrandiga : a) x - 1 = 1 .................. d) 4 - 7 + 14 = 11 ......... g) 13x - 2y - 24 = 0 ......... b) 3x + 4 = 4 ............... e) 2x - 2x = 6 - 6 .......... h) 21 + 12 - 14 - 7 .......... c) 5x - 4 + 2 = 5x .......... f) 7x + 3 = 7y - 9 ........... i) 3x +4y - 7 - 13 ............. 2. Vii võrrandi kõik liikmed vasakule poole ja koonda sarnased liikmed: a) 12x - 7 = 3x + 5 d) 4x + 13 = x + 21 g) 6y - 14 = 8y - 14 ........................ ........................ ........................ b) 7x + 8 = 5x + 9 e) 3x + 19 - 7x = 23 h) 4x + 16 = 5y - 16 ........................ ........................ ........................ c) 6 - 9x = 11 - 6x f) 0 = 3x + 34 - 12x - 29 i) 7x + 24 - 6z = 1 - x ........................ ........................ ........................ 3
Avalda teise lõigu pikkus ja lõikude pikkuste summa. Lahendus: Teise lõigu pikkus on 3a 5 + a + 4 = 4a 1. Kahe lõigu pikkuste summa on 3a 5 + 4a 1 = 7a 6. Vastus: Teise lõigu pikkus on 4a - 5 ja lõikude pikkuste summa on 7a 6. 3. Kolmnurga küljed avalduvad muutuja y kaudu järgmiselt: 2y 1, y + 2 ja 3y 4. Avalda kolmnurga ümbermõõt ja arvuta see, kui y = 12 cm. Lahendus: Kolmnurga ümbermõõt on 2y 1 + y + 2 + 3y 4 = 6y 3. Kui y = 12 cm, siis ümbermõõt on 6 * 12 3 = 72 3 = 69 cm. Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on 6y 3 ehk 69 cm. 4. Rööpküliku lähisküljed on 4y + 6 ja 2y 4. Esimese ja teise külje vahe on 26 cm. Leia arv y ja rööpküliku ümbermõõt. Lahendus: Esimese ja teise külje vahe on 26 cm ehk 4y + 6 (2y 4) = 26, milles y väärtuseks saame 4y + 6 2y + 4 = 26; 2y = 16; y = 8.
Kui kuldmedaleid oleks 25 % rohkem ja hõbemedaleid 40 % vähem, siis oleks kokku 11 medalit. Kui pronksmedaleid oleks kaks korda rohkem ja hõbemedaleid viiendiku võrra vähem, oleks neid kokku 14. Kui palju sai Iraan olümpiamängudelt kuld , hõbe , ja pronksmedaleid? Olgu kuldmedalite arv x, hõbemedalite arv y ja pronksmedalite arv z, kokku on medaleid 12. Kui kuldmedaleid oleks 25 % rohkem ehk 1,25x ja hõbemedaleid 40 % vähem ehk o.6y, siis oleks kokku 11 medalit. Kui pronksmedaleid oleks kaks korda rohkem ehk 2x ja hõbemedaleid viiendiku võrra vähem ehk 0.8y, oleks neid kokku 14. Koostan võrrandisüsteemi Lahendan determinandi abil Leian determinandi D = = = 1.2 + 1 + 1 0.6 0.8 2.5 = - 0.7 Leian Dx i Dx = = = 14.4 + 14 + 8.8 8.4 9.6 22 = 2
AC = (4; -3; 7) AP = ( x -2; y + 1; z 5) AP = AB + AC Tasandi võrrand determinant kujul: 1 1 2 4 -3 7= 0 x -2 y+1 z- 5 Tasandi üldvõrrand: 13x + y 7z 10 = 0 2. Tasand läbib punkti P0( -3; 4; 5) ja normaalvektor on n = (2; -6; 7). Leia tasandi üldvõrrand. (toon sisse muutuva punkti P( x; y; z) P0P n = 0 P0P = (x +3; y -4; z 5) Ax + By + Cz + D = 0 n = (A; B; C) 2 ( x +3) -6 (y 4) + 7 (z 5) = 0 2x + 6 -6y +24 +7z 35 = 0 2x - 6y +7z -5 = 0 3. Tasand läbib punkti P0(6; 0; 8) ja rihivektorid on u = (3; -1; 4) ja v = (2; 5; -7). Toon sisse muutuva punkti P (x; y; z). u × v = n n = ( -13; 29; 17) AP = u + v AP = ( x 6; y; z 8 ) = ( 3; -; 4) + ( 2; 5; -7) = ( 3 + 2; - + 5; 4 -7) x 6 = 3 + 2 y = - + 5 z 8 = 4 - 7 (parameetriline võrrand) Sirge võrrandid P0( x0; y0; z0 ) s = (sx; sy; sz ) Toome sisse muutuva punkti P ( x; y; z). P0P = t s
x1, 2 = = = x1= = 7, x2 = =1 2 2 2 2 2 ehk x2 8x + 7 = (x 7)(x 1). 2 Ülesandeid · Lahutada tegureiks: 1) x2 3x 10 2) z2 + 15z 54 3) 5y2 6y + 1 4) v2 + v · Taandada murd: x 2 + 10 x + 25 y2 -5y + 6 m3 - 8 1) 2) 3) x 2 - 3 x - 10 7 y 2 - 22 y + 3 m 2 - 5m + 6 3
Kõigepealt leiame tabelisse (Tabel 5) vajalikud suurused ülesandes 1 antud võrranditest 1-3. Tabelis olevad suurused a on muutuja X ees olevate kordajate väärtused; b on muutuja Y ees olevate kordajate väärtused ning l on võrrandites paremal poolel olevate mõõtmistulemuste väärtused. Tabel 5. Normaalvõrrandite moodustamine tabeli kujul Normaalvõrrandite koostamiseks on meil vaja leida suuruste a 2, b2, ab, al ja bl väärtuste summad. Saame kaks normaalvõrrandit: 9x-6y=41.5 ja -6x+14y=-5.5. Nende normaalvõrrandite lahendamiseks maatriksite abil on meil tarvis leida maatriksid N ja B. Maatriks N koosneb normaalvõrrandite muutujate ees olevatest kordajatest ning maatriks B võrrandite paremal poolel asuvatest väärtustest. Tabel 6. Maatriks N 9 -6 -6 14 Tabel 7. Maatriks B 41.5 -5.5 Otsitavate parameetrite X ja Y väärtuste leidmine käib valemi X= N-1B abil. Suurus N-1 tähistab maatriksi N pöördmaatriksit (MINVERSE)
ÜLESANNE 1: ON VÕRRAND VÕI EI OLE (SUULISELT) 1) 3,5 + 2,1 = 2x 2) 5-3=2 3) 6(3-1)=24:2 4) 5c+2c=14 5) (3-a) x 5 =12 6) x2 + 3=4 ÜLESANNE 1 VASTUSED 1) 3,5 + 2,1 = 2x On võrrand 2) 5-3=2 Ei ole võrrand 3) 6(3-1)=24:2 Ei ole võrrand 4) 5c+2c=14 On võrrand 5) (3-a) x 5 =12 On võrrand 6) x2 + 3=4 On võrrand ÜLESANNE 2 LAHENDA VÕRRAND 1) 2a-a=5 2) 3x+4=x 3) 2(t-1)=6 4) 5c+2c=14 5) 6y+12=2y 6) (z+3):2=2 ÜLESANNE 2 VASTUSED 1)x=5 2) x=-2 3) x=4 4) x=2 5) x=-3 6) x=1 ÜLESANNE 3: MISSUGUSED VÕRRANDID ON SAMAVÄÄRSED 1.x-5=1 ja x-6=0 2.2x=8 ja x+3=7 3.u-2=4 ja u-5=2 4.m+4=1 ja m=-3 5.x+2=5 ja x=7 6.t-2=3 ja t=5 ÜLESANNE 3 VASTUSED 1. Samaväärsed, lahendiks x=6 2. Samaväärsed, lahendiks x =4 3. Pole samaväärsed, lahend muutub 4. Samaväärsed, lahendiks x=-3 5. Pole samaväärsed, lahend muutub 6. Samaväärsed ,lahendiks x=5
· Teab erinevate toitainete tähtsust organismi elutegevuses · Omandab tervislikust toitumist teadmisi , omandab seda teemat haaravad mõisted. Tunniks vajalikud materjalid, vahendid, tarkvara ja veebiaadressid: Valged A3 paberid, markerid, värvipliiatsid, töölehed, lehed grupi teemaga, inimese õpetuse õpik ja töövihik 5.klassile Kersti Leppik 2012, PowerPoint esitlus "Tervislik toitumine" slaidid 1-7, Video http://www.youtube.com/watch?v=RsfDyOv0-6Y Tunnikäik: Aeg Tunni osad Õpetaja tegevus Õpilaste tegevus Märkused 1 min TUNNI Kontrollib, et õpilased oleksid tunniks valmis. Seisavad tunni algul püsti,tervitavad õpetajat. ORGANISEERIMINE Tervitab õpilasi. Palub istuda. Istuvad.
o L1n-,J*.1r9 ;i""r&"e. / /od,.4/.G"+f^-,{q/*p I )- t /1 ^,oFAi- A'a4tr1ck /Lr^^/1,A<4,l.aauvOl I 1 l W T'^d- / 7 r^a,l,*' X, - t, +6Y',,. " t lrr tl ',2 x3 ' x.*4Kt2,9 t'lz*aytz,9 Yq' 12f dxrt '/ t1 .l, ( L.,l'2, x,= x4 ox'r,, (L.^,h) ' 1, = Y r c t 1 t . t ( C - ^ n ) w'tL^Lkt,; *4,^ r^tr 4J.^te4Aa^.L? G
a) 6; b) 11; c) 9; d) 3; e) 8. Kui korrapärase kümmenurga külje pikkus on 16mm, siis kümmenurga ümbermõõt on a) 8mm; b) 32cm; c) 160mm; d) 32mm; e) 1,6mm Kui korrapärase kolmnurga ümberringjoone raadius on 10dm, siis selle kolmnurga pindala on a) 100dm2; b) 130dm2; c) 20dm2; d) 5m2; e) 100cm2. VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! Avaldise (2x-3y)+(4x-6y) väärtus on a) 6x-3y; b) 6x-9y; c) 2x-3y; d) 4x-9y; e) 6x+9y Avaldise (-5t+6u)-(2t+3u) väärtus on a) -3t+9u; b) -7t+3u; c) -3t-3u; d) -7t+3u: e) -3t+9u Avaldise (-2a4x5)3 väärtus on a) 2ax2; b) 8ax2; c) 8a12x15; d) 2a7x8; e) 8a12x15. Hulkliige 8a+4b-4a-8b+11 on pärast sarnaste liikmete koondamist ja korrastamist a) 4b-4a+11; b) 4a+12b+11; c) 4a-4b+11; d) 27ab; e) 16ab+11 Tegurdades kaksliiget 4x2-16 saame tulemuseks
^ ln 08's9 '9 6TS Q ,O n'/)z's .0 V - of '.9 6Y yO',o tT'o - o) 'L") 'v 6 oo 'o lrJ'O o+'t j 't 6gt o'0 -I- !,'rl og't) L 6h oo',O LO'O o$ 'f? .I
274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x - y = 6(1) xy = 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 ± 9 + 247 = -3 ± 256 = -3 ± 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 = - 13 y1 = - 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi
274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 13 y1 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi
274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13 1) kui y 1 = -19, siis x 1 = y 1 +6 = -19 +6 = -13 x1 13 y1 19 Kontroll: -13(-19 = 247 arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi
x+5y=48 x-y=66 avaldan II võrrandist tundmatu x NB kasutada juhul, kui süsteemi pole x=y+66 võimalik lahendada liitmisvõttega asendan selle I võrrandisse, nii saan y (võrrandites esinevad tundmatute ruudud väärtuse või korrutised) y+66+5y=48 6y=-18 |:6 y=-3 x=-3+66 x=63 Kontroll. Lahend on x=63 ja y=-3 V1=3(63-3)=3 60=180 P1=48+2(63+3)=48+132=180 V1=P1 V2=2 (-3)-2 63=-132
5##<~f$/#K"kkrMoQE##M- =s5-
F5#/m mZ7JZ#:#[Ve#UbS2hC}e; #
u!jRyd#5.X1##g:#YiJEFV2#?
<7 ) D_y#VCSCXC5|##-
*# h} dS z}%#A{8zU#;P^PM R?
&}OOh#O#~t?#?
##2^ ^_z#@i.#
w e#]KHP'tR###ZY##wb#gS#qg#'lO#J#o3${~g5
d# S#]~O ## #^5E#Z##3M&5#;"
E7R##N#~M#3A#u+
QY) #6oI#$k#">#==/##5>,[P
~sM}&W6
erijuht) Olgu kaks sirget võrranditega s: a1x + b1y + c1 = 0 ja t: a2x + b2y + c2 = 0. Võrrandite järgi on võimalik määrata sirgete vastastikulist asendit. a1 b1 c1 1) s || t = a2 b2 c2 Näiteks: 3x + 2y + 5 = 0 || 6x + 4y 1 = 0 a1 b1 c1 2) s=t = = Näiteks: 10x + 6y + 4 = 0 = 5x + 3y + 2 = 0 a2 b2 c2 a1 b1 3) s lõikub t-ga a2 b2 Näiteks: 10x + 7y 4 = 0 lõikub 4x + 12y 7 -ga. Paralleelsete sirgete tõusud on Ristuvate sirgete tõusude korrutis on -1. võrdsed. K1 = K2 K1 K2 = -1 Näide 1: Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(-2;3) ning sirge on paralleelne sirgega y = 5x + 7.
Lahendus: 24 54 1 150 b) 3 5 6 9 4 5 9 Lahendus: 10. Lahenda võrrand. a) x2 + 11x + 30 = 0 Lahendus: ; ; ; . Kontroll: x1 = 5 ( 5)2 +11 . ( 5) + 30 = 25 55 + 30 = 0; x2 = 6 ( 6)2 +11 . ( 6) + 30 = 36 66 + 30 = 0; Vastus: x1 = 5, x2 = 6 b) (3y + 1)2 = (2y + 5)2 33 Lahendus: 9y2 + 6y + 1 4y2 20y 25 + 33 = 0; 5y2 14y + 9 = 0; ; ; ; Kontroll: x1 = 1,8 vasak pool: (3 . 1,8 + 1)2 = 6,42 = 40,96 parem pool: (2 . 1,8 + 5)2 33 = 8,62 33 = 40,96 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = 1 vasak pool: (3 . 1 + 1)2 = 42 = 16 parem pool: (2 . 1 + 5)2 33 = 72 33 = 16 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 1,8; x2 = 1 c) (2x + 3)3 316 = (2x 1)3 Lahendus:
mis vastavalt annavad otsitava tasandite võrranditeks 2 2 18 0 ja 2 2 12 0. Uurime nüüd, kuidas saab leida sirgete ja tasandite vahelised kaugused: Kaks tasandit: Kaks tasandit on kas lõikuvad (erijuhul langevad kokku) ja siis nende vaheline kaugus on null või on paralleelsed. Paralleelsete tasandite vahelise kauguse võrdub ühel tasandil asuva punkti kaugusega teisest tasandist. Näide 2: Leida tasandite 3x - 6y- 2z + 1 = 0 ja 6x - 12y - 4z + 3 = 0 vaheline kaugus. Lahendus. Uurime, kas tasandid on parallelsed või lõikuvad. Kui tasandid on parallesed, siis nende normaalvektorid peavad olema parallelsed. Esimese tasandi normaalvektor on (3,-6,- 2) ja teise tasandi normaalvektor on (6,-12,-4). Vektorid on parallelsed, kuna 23, 6, 2 6, 12, 4. Võtame mingi punkti esimesest tasandist, nt. kui x=y=0, siis 3 · 0 6 · 0 2 1 0, kust 1/2
f f x 2xy y 2y 2f 2f 2f 2f x2 2y x y 2x y x 2x y2 6y Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks.
E a,= i E E :g :i:;i F* 4 E= !;.Et: t i=-o 2 - -: E r ? ni ,4 E iEa == ;=E;; i'ir*a! *I irS :!i. 1g: E=!{} : 'iT i + Ei'r ,-gPzd =?.,,6y : H -E= d^.f ;Is =e9o=E 3f E1,l e = H t U= ii ErEs;E,: tf; E?E !iEEE -r!= c.= .F :i€F=: i it .=., F._= '.=='!: izE: EEstIEE;iE: = ! E; l.= FE;I''E; :EE7 y, o.;: _j,l ?iEE=ry;E.ET"E +t.E'=.c.'l : S'a g =
#}K7$GQ
#/!h^##f
M,fWw/#a$#/_#|
#utw~+#7¿>#VqjHX:# [#(Q#1J*
a=#$Iwm,dg[#VUR2yRIjVJwv+?#?#RX!Q
tc,c#X
08 '#W~#>%~##O##{
sa]oLKK$s##¿-#
Od#
#qgrF4YPb
}G###5hleT^Zp#
!]6
q#^"n$'w]{%m4z#$0YAKNMthrM
c=#
WHo#w#GWa*x,7_N#W!##EA#
S#(.?
j##.v2E<#Þ#M:mMm(H#Uc#Pi/#|:iS|#j_#-|<
#KhJD#b(#&X ? 8.##v`0GcN#x>SV
3h]is
F~Y'Do2###ah45H)F2#!$[ _0
annaabi.ee 
