FÜÜSIKALISTE SUURUSTE MATEMAATILINE KIRJELDAMINE Nagu eelmises peatükis sai mainitud, jagunevad füüsikalised suurused skalaarseteks ja vektoriaalseteks. Skalaarsed suurused Füüsikalist suurust, mis on esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga, nimetatakse skalaarseks suuruseks ehk skalaariks (scla -- ladina k. redel, astmestik). Skalaarsetel suurustel on arvuline väärtus, kuid neil pole suunda. Skalaarsed suurused on näiteks näiteks aeg, pikkus, mass, rõhk, ruumala, energia, temperatuur. Mõnikord võib jääda ekslik mulje, et mõnel skalaaril on siiski suund olemas. Näiteks aeg voolab muudkui edasi ja soojendatava vee temperatuur muutub suurenemise suunas. Nende näidete puhul on tegemist vaid nähtustega, kus toimub suuruse arvulise väärtuse muutumine. Siin pole tegemist suunaga ruumis nagu üles või läänesuunas. Tehted skalaaridega Skalaarne suurus omab arvulist väärtust ja mõõtühikut. Selline ...
Mudel - loodusobjekti jäljendus, mis asendab originaali selle lihtsamaks mõistmiseks ning uurimiseks Aineline mudel - kasutatakse siis, kui uuritav objekt on palja silmaga vaatlemiseks kas liiga väike või liiga suur. Reeglina kujutab aineline mudel mikro- või megamaailma objekti. Abstraktne mudel - kui loodusobjekti uuritakse ja kirjeldatakse mitte ainelise mudeli, vaid mõtteliste kujutluste ning neid väljendavate matemaatiliste avaldiste abil. Abstraktne mudel on objekti mõtteline visioon, kontseptsioon objektist mõtleva inimese teadvuses. Füüsika üldmudel - mudel, mis sõltumata konkreetsest nähtusest või isegi füüsikaharust on kasutatav kogu füüsikas Füüsikaline objekt kasutatakse kahes tähenduses: üks võimalus on nimetada füüsikalisteks objektideks ainult kehi ja väljasid (kitsam tähendus). Teine variant hõlmab füüsikalise objekti mõiste alla ka loodusnähtused ehk protsessid (lai tähendus). Nähtus - aineliste ja väljaliste objektid...
MEHAANIKA · kõige vanem füüsikaharu · mehaanika lõi Isaac Newton, inglise füüsik, nö ,,füüsika isa" · ta kasutas teiste saavutusi kuid süstematiseeris ja lõi kompaktse teaduse füüsika Mehaanika jaguneb kolmeks: · Kinemaatika- kuidas kehad liiguvad? (MEHAANILINE LIIKUMINE) · Dünaamika- jõud, miks kehad liiguvad? (LIIKUMISE PÕHJUSED) · Staatika- uurib paigalseisu ja tasakaalutingimusi Füüsika uurib loodust kuid on tehnoloogia aluseks. Uuurimismeetodid: · Vaatlus · Katse · Andmetöötlus Kasutatakse rahvusvahelist mõõteühikutesüsteemi SI: · aeg (s) · pikkus (m) · mass (kg) On ka tuletatud kiirusi, nt kiirus (m/s) LIIKUMINE Liikumine on keha asukoha muutus teiste kehade suhtes mingi aja jooksul ruumis. Et liikumist kirjeldada, valitakse üks keha, mille suhtes asukoha muutust uuritakse (see keha on taustkeha) Mõnikord jäetakse arvestamata liikumisel keha mõõtmed (kui keha mõõtmed on palju väiksemad läbitud teepikkusest). Sellist keha ...
49. kontaktpinged- Kontaktpinge on pinge kahe detaili kokkupuutekohas, kui puutepinna mõõtmed on detaili mõõtmetega võõrreldes väikesed (näiteks kuulide, silindrite, hammaste jne vastastikune surve). Staatilisel koormusel põhjustavad lubatavaist suuremad kontaktpinged detailide pindadel mõlke ja pragusid.Teineteisel veerevate detailide pinnaosade kontakteerumisel talub pinnaosa iga punkt koormust ainult kontaktiala läbimisel. See tingib muutuvaid kontaktpingeid, mille tagajärjel detailide pinnakihid väsivad, tekivad mikropraod ning pindadelt murenevad maha väikesed metalliosakesed.Kui detailid töötavad õlis, tungib viimane pragudesse. Kontaktialas praod surve tagajärjel sulguvad ning neis olev õli satub kõrge rõhu alla, mis omakorda soodustab pragude suurenemist. Nii kordub see seni, kuni pragusid sulgevad metalliosakesed ära murduvad. Kui aga kontaktpinged ei ületa praktikaga kindlaksmääratud lubatavat väärtust siis murenemist ei esine...
Füüsika- loodusteadus, mis uurib täpisteaduslike meetoditega mateeria põhivormide liikumist ja vastastikmõju Mateeria põhivormid on aine ja väli Aine on mateeria vorm, mida iseloomustab nullist erinev sisumass Väli on mateeria vorm, mis vahendab vastastikmõjusid Mehaanika jaguneb: kinemaatika, dünaamika, staatika Kinemaatika- uurib kuidas keha liigub, ei uuri liikumise põhjuseid. Vastab küs. kuidas keha liigub? Dünaamika- uurib, miks keha liikuma hakkab, uurib liikumise põhjuseid (miks keha liigub?) Staatika- selgitab välja millised on tasakaalutingimused, uurib millal keha on paigal (millal keha on paigal?). Mehaanika seisneb kehade või nende osade ümberpaiknemise uurimises, kusjuures ümberpaiknemine toimub teiste kehade suhtes. Üks vanemaid teadusi. Mehaanika alusepanijad: G. Galilei (1564-1642) avastas mehaanika põhlised seaduspärasused. I. Newton (1642-1727) lõi ühtse seadusliku süsteemi. L.Euler (1707-1783) pani mehaanika kirja val...
Jõu sidemed ja nende süsteemid J'ika keha nim vabaks kui teda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse. tingimusi mis kitsendavad keha liikumist nim. sidemeteks. Sideme reakt. on suuantud vastupidiselt suunale milles side takistab keha liikumist. Kuna reakt. jõud ilmnevad alles kehade tegelikult toimuvate jõudude mõjul siis nim neid kak passiivseteks jõududeks. Aktiivsete jõudude allkõistame aga kõiki neid jõude mis ei ole reakts. jõu. Kolme mitteparalleelse jõu tasakaalutingimused - Kolm mitteparal. jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui nende mõjusirged lõikuvadühes punktis. et neist saab moodustada kinnise hulknurga kindlaümberkäigu suunaga. Et jõudude hulknurga saab moodustada üksnes ühes tasapinnas olevate jõudude puhul siis ilmselt mitu mitte tasapinnas asuvat jõudu taskaalus olla ei saa. Jõu lahutamine komponentideks - Jõu asendamist temaga ekvivalentse jõusüsteemiga nim. jõu lahutamiskes komponentideks. Koondu...
Jõu sidemed ja nende süsteemid J'ika keha nim vabaks kui teda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse. tingimusi mis kitsendavad keha liikumist nim. sidemeteks. Sideme reakt. on suuantud vastupidiselt suunale milles side takistab keha liikumist. Kuna reakt. jõud ilmnevad alles kehade tegelikult toimuvate jõudude mõjul siis nim neid kak passiivseteks jõududeks. Aktiivsete jõudude allkõistame aga kõiki neid jõude mis ei ole reakts. jõu. Kolme mitteparalleelse jõu tasakaalutingimused - Kolm mitteparal. jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis kui nende mõjusirged lõikuvadühes punktis. et neist saab moodustada kinnise hulknurga kindlaümberkäigu suunaga. Et jõudude hulknurga saab moodustada üksnes ühes tasapinnas olevate jõudude puhul siis ilmselt mitu mitte tasapinnas asuvat jõudu taskaalus olla ei saa. Jõu lahutamine komponentideks - Jõu asendamist temaga ekvivalentse jõusüsteemiga nim. jõu lahutamiskes komponentideks. Koondu...
Teoreetiline mehaanika Eksam: 3 teoreetilist küsimust ja 2 lahendus ül. 1. Loeng Teoreetiline mehaanika uurib kehade liikumist. Absoluutselt jäik keha on keha, mille kahe mistahes punktivaheline kaugus on jääv sõltumata kehale mõjuvatest jõududest. Teoreetiline mehaanika jaguneb: · Staatika- uurib kehade tasakaalu tingimus ja neile mõjuvate jõudude süsteeme · Kinemaatika- vaatab mehaanilist liikumisi geomeetria seisukohalt · Dünaamika- uurib kehade liikumisi kui seda põhjustavaid jõude Mehaanika uurimisel kirjeldas Newton integraal ja diferentsiaal arvutust. Kujunes välja 2 uurimismeetodit: geomeetriline ja analüütiline Masspunkt- on keha geomeetriline punkt, kuhu on koondunud ta mass ja mis asub keha raskuskeskmes. Absoluutselt sile keha välistab igasuguse hõõrde. Kasutatakse aksiomaatilisi meetodeid (väited mis ei vaja tõestust) VEKTORID: Skalaarid -suurused mis on määratud täielikul...
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud ma...
1. Teoreetilise mehaanika aine. Teoreetilise mehaanika osad (staatika, kinemaatika, dünaamika, analüütiline mehaanika). Insenerimehaanika. *Mehaanika on teadus reaalsete objektide liikumisest. * Teoreetiline mehaanika on mehaanika osa, mis uurib absoluutselt jäikade kehade paigalseisu ja liikumist nendele kehale rakendatud jõudude mõjul. Absoluutselt jäigaks kehaks nimetame keha, mille kahe mistahes punkti vaheline kaugus on jääv sõltumatult kehale toimivatest välismõjutustest (jõududest). *Seega: absoluutselt jäigas kehas ei toimu iialgi mitte mingisuguseid deformatsioone. On aga selge, et absoluutselt jäiga keha mõiste on abstraktsioon, sest kõik reaalsed kehad tegelikult ikkagi deformeeruvad välisjõudude mõjul. Igapäevases praktikas me aga näeme, et rakendatud jõudude toimel on need deformatsioonid üldiselt väga väikesed ja paljudes ülesannetes võib nad esimeses lähenduses jätta arvestamata. See asjaolu õigustabki jäiga keha kasutami...
JÜRI KIRS TEOREETILINE MEHAANIKA I Loenguid ja harjutusi staatikast Tallinn 2010-2011 J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast 2 Käesolev õppevahend on esimene osa neljaköitelisest interneti õpikust, mis on pühendatud teoreetilisele mehaanikale. Selle õpiku osad on: I) Loenguid ja harjutusi staatikast, II) Loenguid ja harjutusi kinemaatikast, III) Loenguid ja harjutusi dünaamikast, IV) Loenguid ja harjutusi analüütilisest mehaanikast. Nendest II ja III osa on internetis juba ilmunud, II osa 2008. aastal, III osa 2004. aastal. I osa valmis 2011. aastal. Õpik on mõeldud eeskätt TTÜ üliõpilastele, aga seda võivad edukalt kasutada ka teiste kõrgkoolide ning kolledžite üliõpilased, kus õpitakse teoreetilist mehaanikat. TTÜ-s õpetatakse praegu teoreetilist mehaanikat kahes osas: 1) Staatika ja Kinema...
1. RAHVUSVAHELINE MÕÕTÜHIKUTE SÜSTEEM SI. PÕHIÜHIKUD, ABIÜHIKUD JA TULETATUD ÜHIKUD SI-süsteem kasutab 7 füüsikalist suurust põhisuurustena ning nende suuruste ühikuid nimetatakse põhiühikuteks. Ülejäänud füüsikaliste suuruste mõõtühikud SI-süsteemis on tuletatud ühikud, need on määratud põhiühikute astmete korrutiste kaudu. Põhiühikud: m, kg, s, A, K, mol, cd. Abiühikud: rad, sr (steradiaan). Tuletatud ühikud: N, Pa, J, Hz, W, C 2. KLASSIKALISE FÜÜSIKA KEHTIVUSPIIRKOND. MEHAANIKA PÕHIÜLESANNE. TAUSTSÜSTEEM Seda makromaailma kirjeldavat füüsikat, mille aluseks said Newtoni sõnastatud mehaanikaseadused, nimetatakse klassikaliseks füüsikaks. Mehaanika põhiülesandeks on leida keha asukoht mistahes ajahetkel. Taustsüsteem on mingi kehaga (taustkehaga) seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Taustkeha, koordinaatsüsteem ja ajamõõtmisvahend (kell) moodus...
Sissejuhatus füüsikasse. Kulgliikumise kinemaatika Sissejuhatus füüsikasse • Enamik kaasaja teaduste juuri ulatub kaugesse antiikaega. • Sõna füüsika tuleb kreekakeelsest sõnast φυσικός [fisikos], mis tähendab looduslikku või loomulikku. Füüsika kui loodusteadus • Füüsika uurib looduse kõige üldisemaid ja põhilisemaid seaduspärasusi. • Füüsika keele oskussõnad ehk füüsikaliste nähtuste, suuruste ja nende mõõtühikute nimetused. Füüsikalistel suurustel ja mõõtühikutel on olemas kindlad tähised. • Suuruste tähiste abil kirja pandud füüsikalise sisuga lauseid nimetatakse füüsika valemiteks. Maailm • Maailm on lai mõiste. Seda sõna kasutatakse vägagi erinevates tähendustes. Maailmaks võib pidada planeeti Maa koos tema elanikega, ainult inimkonda või kogu universumit. • Maailma mõiste alla saab paigutada kõik, mis olemas on, meie ise oma mõtete ja harjumustega kaasa arvatud. Ühe konkreetse maailma tunnuseks on see, et se...
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksi...
Eksamiküsimused Staatika, kinemaatika ja dünaamika 1. Mida nimetatakse jõuks? Jõud on vektoriaalne suurus, mis väljendab ühe materiaalse keha mehaanikalist toimet teisele kehale ja mille tulemuseks on kas kehade liikumise muutus või keha osakeste vastastikuse asendi muutus (deformatsioon). 2. Mis on jõu mõjusirge? Sirget, mida mööda on jõud suunatud, nim jõu mõjusirgeks. Jõu mõjusirge saadakse jõuvektori sirge pikendamisel mõlemale poole. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nim sellist keha, mille mistahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks? Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või tasakaalus mitte midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nim ekvivalentseteks. 5. Millal võib kahte jõusüsteemi n...
Eksamiküsimused Staatika, kinemaatika ja dünaamika 1. Mida nimetatakse jõuks? Jõud on vektoriaalne suurus, mis väljendab ühe materiaalse keha mehaanikalist toimet teisele kehale ja mille tulemuseks on kas kehade liikumise muutus või keha osakeste vastastikuse asendi muutus (deformatsioon). 2. Mis on jõu mõjusirge? Sirget, mida mööda on jõud suunatud, nim jõu mõjusirgeks. Jõu mõjusirge saadakse jõuvektori sirge pikendamisel mõlemale poole. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nim sellist keha, mille mistahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks? Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või tasakaalus mitte midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nim ekvivalentseteks. 5. Millal võib kahte jõusüsteemi n...
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 ...
annaabi.ee 
