I. Laulmine 1. Laulmiseks vajalikud algteadmised: hingamine, fraseerimine, intonatsiooni puhtus, väljendusrikkus. 2. Astmetaju arendamine. Astmete tabamine astmetabelil: noodinimedega, vabalt valitud silbil, astmenumbritega ja/või astmenimedega. Laulmine noodijoonestikult rändnoodi järgi. 3. Heliredeli laulmine: tervikuna, tetrakordide kaupa, erinevates taktimõõtudes, rütmiseeritult, kaanonina. 4. Solfedzeerimine. Harjutuste laulmine sõnadega ja/või noodinimedega. Õpitud harjutuse transponeerimine. Õpitud harjutuse laulmine peast. Tundmatu harjutuse laulmine. Taktiviipamise skeemid. 5. Mitmehäälsuse arendamine. Eelharjutused õpitud astmetega. Heliredelid intervallides (terts, sekst jne.). Intervallide laulmine kahehäälselt. Akordide laulmine 3-4-häälselt. Järgnevuste laulmine. Mitmehäälsed harjutused (sh. kaanonid). Saatega laul. II.Rütm Rütmis liikumine. Rütmisilpide omandamine. Rütmiharjutused ühele ja kahele käele. Rütmi koputamine koos taktiviipamisega
nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist. Transponeerimine m=i A=aij (A read on veergudes) transp-d maatriks on =bij . bij= aij iga i ja j korral Reeglid , , 8. Elementaarteisendused maatriksi ridadega ja veergudega.ühik maatriksi leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil.
M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused. Arvutamine koordinaatide abil. Vektoriks nimetatakse suunaga sirglõik Ühikvektor vektor, mille pikkus võrdub 1-ga Nullvektor vektor, mille pikkus võrdub 0-ga (ei saa räägida vektori suunast) Vabavektor vektor, mille algpunkt ei ole fikseeritud
● arvuga korrutamine Ehk kõik liikmed korrutatakse sama kordajaga läbi. ● maatriksite korrutamine Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv võrduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise eksisteerimise eeldust võib nimetada tegurite järkude kooskõla tingimuseks. Seejuures on saadud maatriks C, kus on maatriksi A ridade arv ja maatriksi B veergude arv. ● transponeerimine ja nende omadused 5 1. Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 2. (A + B)T=AT + BT. 3. (AB)T = BTAT. Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui maatriksist A ära jätta i-s rida ja j-s veerg, siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks ja tähistatakse Mij. Maatriksi elemendi algebraline täiend Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks).
Maatriksite A R ja B R korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt 1 reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= 2 ja 12n )korrutise leidmiseks kasutatakse m skalaarkorrutist. mn T Transponeerimine m=i A=aij R (A read on A veergudes) transp-d maatriks on A T =bij Rmn . bij= aij iga i ja j korral AB T T ¿ Reeglid ( A ) = A , ( A+ B)T = A T + BT , ¿ (CA)T =CA T , ¿
ruutmaatriksi X,Y,Z korral (XY)Z=X(YZ) Mistahes ruutmaariksi X ning vastava ühikmaatriksi E korral XE=EX=X Mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral ( X ±Y ) Z=XZ ± YZ , X ( Y ± Z )= XY ± XZ Mistahes ruutmaatriksite X ja Y korral (XY) T=YTXT Maatriksite korrutamine on mittekommutatiivne, st AB ≠ BA 48.maatriksi transponeerimine-transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel tähis AT 49.Maatriksi elemendi täiendusmiinor- tähis Mij . Kui maatriksist ära jätta i-s rida ja j-s veerd, siis saadud (n-1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij täiendusmiinoriks. 50.maatriksi elemendi algebraline täiend- Arvu (−1)i+ j M ij nimetatake elemendi aij algebralieks täiendiks 51
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS. LAUSE
a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS. LAUSE
length, mat.massiiv.length),
Math.max (massiiv[0].length,
mat.massiiv[0].length));
for (int i=0; i
Tasub meelde jätta, et ühikmaatriksit tähistatakse alati I-ga. Lisaks peaks meeles püsima, et nii nagu tegurit ühega korrutades on ka ühikmaatriksiga korrutades tulemuseks tegur ise, IA = AI = A. Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine. Tehe Definitsioon Näide Summa A+B kahe m × n maatriksi A ja B vahel leitakse elemethaaval: Liitmine (A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 i m and 1 j n. Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c: Skalaariga korrutamine
vahetavad märki. · Maatriksite korrutamine : erimese teguri A veergude arv peab võrduma teise teguri B ridade arvuga. A (m*n) ja B (n*p). A*B = C, mille elemendid c ik leidakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1: Nt 2: · Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks.
vastavad elemendid ning tulemused liita (m x n)-maatriksi A = (aij) ja (n x p)-maatriksi B = (bjk) korrutiseks nimetatakse (m x p)- maatriksit C = (cik), mille elemendid cik leitakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Maatriksi transponeerimine: maatriksi transponeerimiseks vahetatakse selle read ja veerud. (m × n)-maatriksi A = (aij ) transponeeritud maatriksiks nimetatakse (n × m)-maatriksit AT = (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi
1. maatriksite korrutamine pole kommutatiivne, st üldjuhul AB BA; kui AB = BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC) 3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud. (Kehtib omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A) 4. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC 5. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB) = (aA)B = A(aB), a R 8. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused. Maatriksi A = ||aij|| Rmxn transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ||bji|| Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui A T = A Maatriksite transponeerimise omadused 1. (AT)T = A iga maatriksi A korral 2. (A + B)T = AT + BT iga A, B Rmxn korral 3. (cA)T = cAT iga c R ja maatriksi A korral 4
OMADUSED: *Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatriks A kui ka tema pöördmaatriks on regulaarsed *Maatriksi ja tema pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud *Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E. * Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmiseoperatsioon on kommuteeruvad ehk vahetatavad, s. t.(AT )-1= (A-1)T . VEKTORRUUM (ÜLE REAALARVUDE HULGA): Mittetühja hulka V nimetame vektorruumiks üle reaalarvude R, kui hulgal V on järgmine ehitus: I On antud kujutus + : V × V ->V; (x, y) -> x + y, mida nimetame (hulga V) elementide liitmiseks. II On antud kujutus : R × V -> V; (, x) -> x, mida nimetame (hulga V) elemendi korrutamiseks reaalarvuga (vasakult) .
ummeetria) II. Maatriksarvutus 11 2) [A ± B, C] = [A, C] ± [B, C] (aditiivsus) 3) [A, B] = [A, B] = [A, B] (homogeensus) 4) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] (Leibnizi valem) 5) [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 (Jacobi identsus) Omadused 1) - 5) on nn Poissoni-Lie algebra definitsioonseo- sed. Neid algebraid kasutatakse laialdaselt mehhaanikas. 4 Transponeerimine ja selle omadusi 4.1 Transponeerimine Maatriksi A Matk × n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT Matn × k , mille veergudeks on maatriksi A read (loomulikus j¨arjestuses). N¨ aide Transponeerime maatriksi 1 4 1 2 3 A= Mat2 × 3 AT = 2 5 Mat3 × 2 4 5 6 3 6 1 2 3
ja XA-1 = E. Ilmselt neid v~orrandeid rahuldab, t¨anu eelmisele reale, maatriks A. ¨ Omadus 6.6. Uhikmaatriksi E p¨o¨ ordmaatriksiks on tema ise, s.o. -1 E = E. 46 T~oestus. Valemi (6.1) kohaselt on vaja kontrollida, et maatriks E rahuldab v~orrandeid EX = E ja XE = E. Valemi (1.22) kohaselt siit saame X = E, s.o. E -1 = E. Omadus 6.7. Maatriksi transponeerimine ja p¨ o¨ ordmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (A )-1 = (A-1 ) . T~oestus. Me eeldame, et |A| = 0, mist~ottu ka |A | = |A| = 0. Seega eksisteerivad A-1 ja (A )-1 . T~oestatavas omaduses me v¨aidame, et maatriksi A p¨o¨ordmaatriksiks on (A-1 ) . Silmas pidades valemeid (6.1), meil tuleb kontrollida, et (A-1 ) on v~orrandite A X = E ja XA = E. lahendiks. T~oepoolest on see nii, sest
ja XA−1 = E. Ilmselt neid v˜orrandeid rahuldab, t¨anu eelmisele reale, maatriks A. ♠ ¨ Omadus 6.6. Uhikmaatriksi E p¨o¨ ordmaatriksiks on tema ise, s.o. −1 E = E. 46 T˜oestus. Valemi (6.1) kohaselt on vaja kontrollida, et maatriks E rahuldab v˜orrandeid EX = E ja XE = E. Valemi (1.22) kohaselt siit saame X = E, s.o. E −1 = E. ♠ Omadus 6.7. Maatriksi transponeerimine ja p¨ o¨ ordmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (A )−1 = (A−1 ) . T˜oestus. Me eeldame, et |A| = 0, mist˜ottu ka |A | = |A| = 0. Seega eksisteerivad A−1 ja (A )−1 . T˜oestatavas omaduses me v¨aidame, et maatriksi A p¨o¨ordmaatriksiks on (A−1 ) . Silmas pidades valemeid (6.1), meil tuleb kontrollida, et (A−1 ) on v˜orrandite A X = E ja XA = E. lahendiks
. . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Näiteid maatriksalgebra kasutamisest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Oleku- ja üleminekumaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
