Tõenäosusteooria 11 klass (0)

Tõenäosusteooria 11 klass kitsas iseseisvaks õppimiseks Miina Sarv 1


Klassikaline tõenäosus        👀 Töenäosus - soodsate võimaluste arv / kõikide võimaluste arvuga P või p  - 
tõenäosus k- soodsate võimaluste arv n- kõikide võimaluste arvuga        2


 Lihtne ülesanne nr.1 Täringu veeretamisel on võimalik saada 6 tulemust 1, 2, 3, 4, 5, 6 P2 = 1/6  P2,3  = 2/6 = 1/3 P1,2,3 =3/6 = 1/2 4/6 = P      5/6 =P     6/6 =P   P7 =0/6 =0    3


Tõenäosus ja sündmus   👀                                                SÜNDMUS KINDEL  SÜNDMUS          JUHUSLIK SÜNDMUS        VÕIMATU SÜNDMUS               P (A) = 1                    P(C) = 0….1                                  P(B) =0 4  A = 1                              0    ＞  C <  1                        B = 0


Sündmuste  toimumise kaks  erinevat võimalust 👀 Võrdvõimalikud ja juhuslikud sündmused - 6 või  4 ( kaardipakis punased) Üksteist välistavad sündmused -  Kui  6 tuleb, siis 4 ei saa tullaSündmuse A 
vastandsündmus Ā     Näited: Kui sa magad, siis sa ei ole ärkvel. Kui on päev, siis ei ole öö, jne. Neid 
sündmusi nimetatakse vastandsündmus. 5                  Ā = 1- A            Ā + A = 1 


Sündmuste toimumise erinevad tingimused ja nende 
märgsitus Sündmuse A, B korrutis  A ∩  B   “ja”  ehk nii kui ka. Seda kasutatakse juhul, kui 
sündmused on üksteist välistavad. Kui meil on mitu erinevat võimalust, samas 
valida tuleb nii A kui ka B võimalustest, siis kasutame korrutamislauset, millest on 
rohkem juttu slaidil nr. 12 Sündmuse A; B summa  A U B  “või kui ka” - kasutatakse juhul kui sündmused on 
üksteisega seotud.  Valida tuleb kas üks või teine! Sellisel juhul kasutame liitmislauset 
kombinatoorikast, millest on rohkem juttu slaidil 10 ja 11. 6


Ülesanne nr.1.  Kaardipakis on 36  kaarti. Juhuslikult  võetakse üks  kaart. Leiame  tõenäosuse, et : 1) Võetakse ruutu 6  P= 1/36
2) Võetakse punane kaart  P = 18/ 36  = 1/2 3) Võetakse äss P= 4/36 = 1/9
4) Ei võeta ärtu kaarti  võetakse siis  Ri, Ru, Po  P= 3/4   Võrdseid võimalusi on esialgu neli, 
neist üks langeb ära, jääb järgi 3 5) Võetakse 6-st väiksem kaart P = 0 7


Ülesanne nr 2. joonis ja lahendus
Kahe täringu  visete korral:                1.Täppide summa on vähemalt 10; P = 6 / 36                                                           2.Täppide summa on ülimalt 6; P= 15/36 =      
                                                                                           = 5/12  (ülimalt on väiksem kui)                                                           3. Silmade summa ei ole algarv; P= 21/36=                                                               = 7/12                                                           4. Silmade summa on vähemalt 7, kuid pole                                                              suurem kui 10; P= 18/ 36 = 1/2  1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 8


Ülesanne nr 3. Urnis on 6  valget ja 4 musta kuuli. 
Võetakse üks kuul,  vaadatakse selle värvi ja 
pannakse urni tagasi. Kui 
suur on tõenäosus, et: 1) Järgmisena võetakse valge kuul  P= 6/ 10 = 3/5 2) Järgmisena ei võeta valget kuuli  P= 4/ 10 =  ⅖ 3) Järgmisena võetakse valge või  must kuul P=1  4) Järgmisena võetakse punane kuul  P=0 9


Kombinatoorika Hulk  on matemaatikas üksteisest erinevate objektide kogum. Sellest järeldub, et 
hugas ei esine korduvaid elemente. Kombinatoorika uurib, kuidas antud hulga elementidest moodustatakse uusi 
hulki, mis täidavad teatud tingimusi. Uusi hulga elemente nimetatakse ühenditeks. Kombinatoorika reeglid on liitmislause ja korrutamislause 10


Kombinatoorika  põhireegel Kui esimesele kohale on võimalik valida n1 elemendi vahel, pärast 
ükskõik millise elemendi saamist teisele kohale võimalik valida n2 
elemendi vahel jne ning pärast ükskõik millise eelviimase elemendi 
saamist on viimasele kohale võimalik valida nk elemendi vahel, siis 
kokku on võimalik saada n1 · n2 · · · · · nk erinevat k-elemendilist 
järjestatud kogumit. 11


Liitmislause       👀 Kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks 
on m erinevat võimalust ning valida tuleb kas objekt A või objekt 
B, siis kõigi erinevate valikuvõimaluste arv on n+m. (liitmislause) Näide: Lapsele anti võimalus valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku 
seast üks mänguasi, siis erinevaid valikuid on 3 + 2 = 5. Selle näite 
korral on objektiks A auto ja objektiks B nukk ja valikuvõimalused 
n= 3 ja m=2. 12


Korrutamislause         👀 Kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks on m erinevat 
võimalust ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi erinevate 
valikuvõimaluste arv on n 𑁦 m. Näide: kui lapsel on kolm erinevat autot ja kaks nukku ja tal lubatakse võtta nii üks 
auto kui üks nukk, on erinevaid võtmise võimalusi 3 𑁦 2 = 6. Kombinatoorika korrutamislauset on võimalik üldistada kolme ja enama objekti 
juhtumile, lugedes eelnevalt kaks objekti juba valituks. 13


Liitmis- ja korrutamislause kasutamine ülesannete lahendamisel
Et saada aru, kumba lauset kasutada, tuleb sõnastada küsimus selgelt! Liitmislause puhul on see kas A või B (A või B) Korrutamislause korral on see nii A kui ka B ( A ja B) Lapsel on neli kaarti numbriga 0,1,2,3. Ta paneb neist juhuslikult kolm kaarti 
kõrvuti lauale. Kui suur on tõenäosus, et võetud kaartidest tekib kolmekohaline 
arv. Kõigi võimaluste arv n, mille seas on ka sündmuste soodsad juhtumid. Et 
kaartide kõrvuti seadmine käib põhimõttel nii 1 kui ka 2 kui ka 3 kaart, tuleb 
vastavad võimaluste arvud korrutada. n= 4*3*2= 24.  Soodsate juhtude arv k. Arv ei saa alata numbriga 0, esimese kaardi võtmiseks 
on 3 sobivat võimalust. Teise numbri võtmiseks on 3, sest nüüd sobib ka 0 ja 
kolmanda kaardi valikuks jääb järgi 2 võimalust. k= 3*3*2=18. P= 18/ 24 = 0,75 14


Statistiline tõenäosus Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse selle sündmuse  toimumise suhtelist sagedust küllalt pikas katseseerias.                  m - sündmuse A toimumise arv katseseerias  n  - katsete arv seerias Suhtelisest sagedusest saame rohkem teavet statistikat õppides! 15


Geomeetriline tõenäosus  m - sündmuse A toimumiseks soodsa osapiirkonna mõõt  n -  kogu piirkonna mõõt 16


Sõltumatute 
sündmuste 
korrutis Sõltumatute sündmuste A ja B korrutise tõenäosus võrdub 
nende sündmuste  tõenäosuste korrutisega. P(A 𑁦  B) = P(A) 𑁦  P(B) Suurema arvu sõltumatute sündmuste korral kasutatakse 
sama reeglit. P(A   ₁  👀 A   ₂  👀 ………. An)= P(A )  ₁  👀 P(A )  ₂  👀……..P(An) Kaks sündmust on sõltumatud, kui neist ühe tõenäosus ei 
sõltu sellest, kas neist teine sündmus toimus või ei toimunud. Sündmust C, mis toimub siis, kui toimuvad sündmused A 
ja B, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks. C= A 𑁦 B 17


Ülesanne 29 lk. 21 Avita õpikust Juku kooliteele jääb kaks valgusfooridega reguleeritavat jalakäijate 
ülekäigukohta.Foorid toimivad üksteisest sõltumatult. Üks foor näitab punast tuld 
ühe tsükli jooksul 30% ajast, teine foor 60%. Leidke tõenäosus, et Juku 1) Peab peatuma mõlema foori all  0.3 * 24/ 24 * 0,6 *24/ 24 = 0,18 2) Ei pea peatuma kummagi foori all 0,7* 24/24 * 0,4* 24/ 24 = 0,28 18


Ülesanne 30 lk 21 Avita õpikust Kertu külvab potti ühe sidruniseemne ja ühe apelsiniseemne. Ta on eelnevalt 
internetist uurinud, et enamasti on sidruniseemne idanevusprotsent 40 ja 
apelsiniseemnetel 30. Missuguse täenäosusega  1) idanevad mõlemad seemned 40/ 100 * 30/ 100 = 0,4*0,3 = 0,12
2) ei idane kumbki seeme 60/100 * 70/100 = 0,6* 0,7 = 0,42
3) 40/100 * 70/ 100 = 0, 4 * 0,7= 0,28
4) 0,3* 0,6  =0,18 19


Ülesanded ülesanne 31 lk 21 Avita õpikust Valikvastustega testis on 8 küsimust. Neist kolm on nelja valikvastusega ja viis 
kolme valikvastusega. Igas valikus on vaid üks õige vastus. Missuguse 
tõenäosusega on testi täiesti juhuslikult täitaval õpilase  1) kõik vastused õiged ¼ * ¼ * ¼ *⅓ *⅓ * ⅓ * ⅓* ⅓ =0,000064
2) kõik vastused valed  ¾ * ¾ *¾ * ⅔ * ⅔ * ⅔ * ⅔ * ⅔ = 27/64 *  34/243=0,42*0,14= 0,058 20


Ülesanne 32 lk 21 Avita õpikust    Kas tasub vedada kihla selle peale, et nelja täringuviskega ei tule ükski kord esile 
kuus silma? Kihla vedada tasub, kui võitmise tõenäosus on suurem kui 0,5.  Kõiki  võimalusi 6 * 6 * 6 * 6 = 1296 Soodsaimad võimalused 5 * 5 * 5* 5 = 625 Tõenäosus 0,48 21


Ülesanne 33 lk 21 Avita kitsas õpikust Visatakse kaht tavatäringut. Kui suur on tõenäosus, et ühel tuleb kuus silma ja 
teisel vähemalt 4 silma.   ⅙  * ¼ = 1/24 = 0,04   22


Ülesanne 34 lk 21 Avita kitsas õpikust Loteriipiletitest on võiduga 25%. Mare otsustab osta pileteid nii kaua, kuni tuleb 
esimene võit. Millise tõenäosusega tuleb Marel osta 1) üks pilet = 25/ 100 = 0,25
2) kaks piletit  0,25 *0,75 = 0,19
3) kolm piletit  0 23


Tõenäosusteooria - mis on meelde jäänud seoses 
selle teemaga? Enesekontrolli test. 1. Mille tõenäosust me saame arvutada?
2. Millisel viisil saame sündmusi grupeerida ehk jagada?
3. Too näiteid sündmustest mida iseloomustatakse valemiga  P = A +Ā.
4. Mis on hulk? Millistest elementidest koosneb hulk.
5. Milliste sünmduste toimumise iseloomustamiseks saame kasutatad  liitmislauset?  6. Meenuta korrutamislauset. 24


FAKTORIAAL !      👀?  järjekord omab tähtsust Arvude n • (n-1) • (n-2) • ( n-3) •........• 2 • 1 nimetatakse faktoriaaliks  ja 
tähistatakse hüüumärgiga arvu n!  järel: näiteks: 3! = 3 • 4 • 2 • 1 = 24 On defineeritud ehk üldteada, et:    0! =1  arvu 0 faktoriaal on 0 1! =1   arvu 1 faktoriaal on 1 25


Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Variatsioonid on  kõik võimalikud ümberjärjestamised, milles järjekord on oluline. KARU     A       R      U    - iga tähega saame moodustada 6 sõna. 4 X 6 = 24 KAUR                                                               👀? KUAR                           KURA                                                                KRAU            KRUA                  n- kõik objektid, k- objekt, mille Sa valid                                               26


Variatsioonide valem   n- kõigi objektide arv r- valitud objektide arv             27


      ?     Kombinatsioonid Klassis on 20 õpilast, kellest juhuslikult valitakse välja 5 õpilast (n − r)!    Ck,n  on  kombinatsioonide arv n elemendist k kaupa 
ilma kindla järjekorrata 20 õpilast 5 õpilast 28


Kombinatsioonid - järjekord ei oma tähtsust 29 👀


Kombinstsioonid ehk variatsioonid  ja nende sõnastus         = 15504   Kombinatsioonil 20-st õpilasest 5 kaupa valides on võimaluste arv  15504.        = 1  Tõenäosus kombinatsioonil 20-st õpilasest 0 kaupa valides,  tekib ainult 1 
võimalus.           = 20    20-st õpilasest on võimalik valida ühe kaupa 20 erinevat  korda.          Mitu korda saan valida 20-st õpilasest 20 kaupa?  Vastus on 1         NB! Pane tähele sõnastust tekstülesannetes! Mitu võimalust on kokku?            30


Ülesanne kombinatoorikast Kui klassis on 20 õpilast ja me kutsume nad 
15 kaupa, siis: C nk = n!/ k! ( n!- k!) = = 1860480/ 120 = 15504 kombinatsioonid 20-st 5 kaupa =  C20, 5 = 15504 31


Ülesanne : Kast kus on 7 punast ja 4 rohelist õuna K Võtame 3 punast õuna Cpunane7 3 = 35 erinevat võimalust võtta punane õun.  4 rohelise õuna hulgast võtan 2 rohelist õuna =  Croheline 4 2 = 4! / 2! 2! = 
1*2*3*4/ 1*2*1*2= 6  erinevat võimalust võtta 2 rohelist õuna. 32


Kastis on 4 punast ja 3 kollast õuna  Võtame suvaliselt kaks õuna ja leiame tõenäosuse, et mõlemad õunad on kollased.  Valime kollaste hulgast 2 õuna ehk võtame 3-st 2 õuna ja jagame selle kõigi võimaluste 
arvuga ehk siis 7-st 3 õuna. See on 3/ 21 = 1/7 Võtame 2 õuna, mis on punased ehk valime see on 6/ 21 = 2/7 Vaatame, et need õunad on eri värvi: võtame 3-st õunast 1 ja korrutame selle 4-st õunast 1- 
ga ning jagame kõikide võimaluste arvuga, mis on 7-st õunast 2 õuna. 4/7 Sama värvi, mõlemad õunad on punased või kollased. Punane ja punane või kollane ja 
kollane. C kahest kolmeni pluss C 4st 3ni jagatud / C 7 st 2 kaupa = 3+6/ 21 = 3/7 tõenäosus, et võtame  sama värvi õunad 33


Õpi selgeks tõenäosuse ja 
kombinatoorika arvutamine 
kalkulaatoril, sest seda on Sul vaja 
eksamil! Oma taskuarvutil saad tõenäosuse arvutamise kohta teavet  passi lugedes, sest 
erinevatel arvutitel võib see erineda! NB! Hea võimalus on kasutada ka Exceli funktsioone, kus on olemas valem 
kombinatsioonidele kui ka variatsioonidele. Inglise keeles combination, variataion.   34


Kordamisküsimused 
enesekontrooliks 1. Selgita endale, millal on õige kasutada permutatasioonide arvutamise valemit ning millistel  juhtudel kombinatsioonide arvutamise valemit. 2. Milline seos on kombinatoorikal tõenäosusteorriaga? Joonista endale valem.
3. Jäta meelde variatsioonide kirjutamise viis. Kuna matemaatilisi märke ei ole paljudes  arvutiprogrammides, siis võib kirjaviis erineda, nagu ka eelnevatel slaididel on näha. See ei 
takista meil matemaatiliste tehete tegemist! 4. Kui sa ei saa ülesande tekstist aru, siis loe mitu korda. Lahenduskäik on antud. Lahenda mitu  korda, kuni saad ise aru, miks ülesanne on lahendatud antud viisil. 5. Jäta meelde, et ülesannete lahendustel võib olla mitu erinevat lahenduskäiku, aga vastus on  kõigil sama. 6. Proovi teemale läheneda võimalikult rahulikult ja stressivabalt, liigu väikeste sammude kaupa!  Jäta endale aega, kui iga päev omandad 10 slaidi teooria, jääb veel pool nädalat terviku 
omandamiseks, selleks kuluta päevas max. 0,5 tundi!  35


Tõenäosusteooria ülesanded Kui saad aru, kuidas täita erinevaid töövihiku lehti erinevate sõnastustega, 
tead millist valemit valida ülesande lahenduseks, oled teema  peaaegu 
omandanud! Täielikuks omandamiseks on vaja iseseisvalt lahendada 
ülesandeid, mis on natukene teisiti sõnastatud.Selleks varu paberit ja 
kannatust. Kui esimene lahenduskäik ei õnnestu, siis saad vigadest õppida!  Võid enda jaoks ülesanded joonistada. Mida küsitakse? Millised andmed on 
antud? Millised valemid valin? Mida saan tuletada antud andmete ja valitud 
valemite põhjal. 👀 👀 👀     X  =?     Pea meeles! Mõni inimene õpib kiiresti, mõni inimene aeglasemalt, see ei oma 
mingit tähtsust, kas said ülesandest aru esimesel lahendamisel või kolmandal, 
sest see ei ole kontrolltöö ega eksam. See on ainult õppimine, mis ongi kohati 
raske. 36


Pascali kolmnurk  See on teemaga tutvumiseks. On võimalik tutvuda esmaste mudelitega, mida kasutati. Leia ise seaduspärasus või  otsi internetist selle tähendust! 37


Mõned võtted ja teadmised, mis võivad kasuks tulla Duaalsuse reegel A Ū B = Ā ∩ B A ∩ B  = Ā U B   Olgu A ja B mingi sündmused. Siis ka hulgad A   B, A ∩ B ja A \ B on  ∪ B, A ∩ B ja A \ B on  sündmused. 38


Binoomjaoutus. Bernoulli valem 👀 Binoomjaotus: Juhuslik suurus X on mingi sündmuse A toimumine n katse jooksul. 
A toimumise tõenäosus on igal üksikkatsel p. Tõenäosus avaldub Bernoulli valemi 
kaudu. Kui sündmuse A tõenäosus igal katsel on p, siis tõenäosus, et n 
katse korral sündmus A toimuks k korda leitakse valemiga, 
mille q= 1-p 39


Ülesanne Bernoulli valemiga arvutamiseks Kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on 
tõenäosus, et Kivipallur 20 viske korral tabab korvi täpselt 12 korda? Kas saab ilma variante välja kirjutamata öelda, kui palju on võimalusi 12 tabava viske tegemiseks 
20 viske korral? Jah, saab küll. Võimalusi on C20,12. Lahendame nüüd Bernoulli valemiga ülesande: kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et Kivipallur 20 viske 
korral tabab korvi täpselt 12 korda? Bernoulli valemi järgi on tõenäosus   P20, 12 = 125970 * 0,0138 * 0,0000656 = 0,11           40


Kivipalluri ülesanne ilma Bernoulli  valemita ehk pikk lahenduskäik 
I osa
Kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et 
Kivipallur 20 viske korral tabab korvi täpselt 12 korda? Kivipallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et Kivipallur 
nelja viske korral a) ei taba üldse korvi, b) tabab täpselt ühe korra, c) tabab kaks korda, d) tabab kolm korda, e) tabab kõik visked? Kivipallur tabab tõenäosusega p = 0,7 ja ei taba tõenäosusega q = 1 – 0,7 = 0,3. 41


Kivipalluri ülesanne ilma Bernoulli  valemita ehk pikk lahenduskäik II osa Kirjutame välja kõik võimalused, kuidas Kivipallur võib visata, tähistades 
tabava viske T-ga ja möödaviske M-ga: TTTT – kõik visked tabavad TTTM TTMT TMTT MTTT – kolm tabavat viset TTMM TMTM MMTT TMMT MTMT MTTM – kaks tabavat viset TMMM MTMM MMTM MMMT – üks vise tabab MMMM – kõik visked lähevad mööda 42


Kivipalluri ülesanne ilma Bernoulli  valemita ehk pikk lahenduskäik IV osa a) Kivipallur ei taba ühtegi korda: P4,0 = 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,34 = 0,0081; b) Kivipallur tabab täpselt ühe korra: P4,1 = 0,7 · 0,3 · 0,3 · 0,3 + 0,3 · 0,7 · 0,3 · 0,3 + 0,3 · 0,3 · 0,7 · 0,3 + 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,7 = 4 · 0,7 · 
0,33 = 0,0756; c) Kivipallur tabab täpselt kaks korda P4,2  =  0,7·0,7·0,3·0,3  +  0,7·0,3·0,7·0,3  +  0,3·0,3·0,7·0,7  +  0,7·0,3·0,3·0,7  +  0,3·0,7·0,3·0,7  + 
0,3·0,7·0,7·0,3 = 6 · 0,72 · 0,32 = 0,2646; d) Kivipallur tabab kolm korda P4,3 = 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,3 + 0,7 · 0,7 · 0,3 · 0,7 + 0,7 · 0,3 · 0,7 · 0,7 + 0,3 · 0,7 · 0,7 · 0,7 = 4 · 0,73 
· 0,3 = 0,4116; e) Kivipallur tabab kõik visked P4,4 = 0,74 = 0,2401. Kontrollimiseks  liidame  saadud  tõenäosused  P4,0  +  P4,1  +  P4,2  +  P4,3  +  P4,4.  Tõenäosuste 
summa  on  1,  ja  nii  peabki  olema,  sest  Kivipallur  tabab  4  korda,  kolm  korda,  kaks 
korda, ühe korra või ei taba üldse. Kõik võimalikud variandid on arvesse võetud. 43


Kivipalluri ülesanne ilma Bernoulli  valemita ehk pikk lahenduskäik V osa Kui palju on üldse variante? Eespool olevast ülesande lahendusest näeme, et 4-st viskest 0 tabamuse saamiseks on 1 võimalus s.o. C4,0; 4-st viskest 1 tabamuse saamiseks on 4 võimalust s.o. C4,1; 4-st viskest 2 tabamuse saamiseks on 6 võimalust s.o. C4,2; 4-st viskest 3 tabamuse saamiseks on 4 võimalust s.o. C4,3 ja 4-st viskest 4 tabamuse saamiseks on 1 võimalus, s.o. C4,4. Kas selle arutelu põhjal saab ilma variante välja kirjutamata öelda, kui palju on 
võimalusi 12 tabava viske tegemiseks 20 viske korral? Jah, saab küll. Võimalusi on C20,12. Edas vaata lk. 14 44


Lõpuslaid      X  =?     Pea meeles! Mõni inimene õpib kiiresti, mõni inimene aeglasemalt, see ei 
oma mingit tähtsust, kas said ülesandest aru esimesel lahendamisel või 
kolmandal, sest see ei ole kontrolltöö ega eksam. See on ainult õppimine, 
mis ongi kohati raske. Õppimine algab sellest hetkest kui tunned, et on raske (Maria Montessori) 45

Document Outline

• Tõenäosusteooria
• Klassikaline tõenäosus 👀
• Lihtne ülesanne nr.1
• Tõenäosus ja sündmus 👀
• Sündmuste toimumise kaks erinevat võimalust 👀
• Sündmuste toimumise erinevad tingimused ja nende märgsitus
• Slide 7
• Ülesanne nr 2. joonis ja lahendus
• Slide 9
• Kombinatoorika
• Kombinatoorika põhireegel
• Slide 12
• Korrutamislause 👀
• Liitmis- ja korrutamislause kasutamine ülesannete lahendamisel
• Statistiline tõenäosus
• Geomeetriline tõenäosus
• Sõltumatute sündmuste korrutis
• Ülesanne 29 lk. 21 Avita õpikust
• Ülesanne 30 lk 21 Avita õpikust
• Ülesanded ülesanne 31 lk 21 Avita õpikust
• Ülesanne 32 lk 21 Avita õpikust
• Ülesanne 33 lk 21 Avita kitsas õpikust
• Ülesanne 34 lk 21 Avita kitsas õpikust
• Slide 24
• FAKTORIAAL ! 👀? järjekord omab tähtsust
• Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel
• Variatsioonide valem
• ? Kombinatsioonid
• Kombinatsioonid - järjekord ei oma tähtsust
• Kombinstsioonid ehk variatsioonid ja nende sõnastus
• Ülesanne kombinatoorikast
• Ülesanne : Kast kus on 7 punast ja 4 rohelist õuna
• Kastis on 4 punast ja 3 kollast õuna
• Slide 34
• Kordamisküsimused enesekontrooliks
• Tõenäosusteooria ülesanded
• Pascali kolmnurk
• Mõned võtted ja teadmised, mis võivad kasuks tulla
• Binoomjaoutus. Bernoulli valem 👀
• Ülesanne Bernoulli valemiga arvutamiseks
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Lõpuslaid